2020高考文科数学复习第二章第12节【导数的综合应用】课时练

2020高考文科数学复习

第二章第12节【导数的综合应用】课时练

A 组 基础对点练

1．已知函数f (x )＝1

3

x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A.⎣⎡⎭⎫179，＋∞

B.⎝⎛⎭⎫179，＋∞ C ．(－∞，2] D ．(－∞，2) 解析：f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0. ∴f (x )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．

∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179

.

答案：A

2．对x ∈R ，函数f (x )的导数存在，若f ′(x )>f (x )，且a >0，则以下说法正确的是( ) A ．f (a )>e a ·f (0) B ．f (a )<e a ·f (0) C ．f (a )>f (0) D ．f (a )<f (0) 解析：设g (x )＝f (x )

e x ，则g ′(x )＝

f ′(x )－f (x )e x

>0，故g (x )

＝f (x )e x 为R 上的单调递增函数，因此g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0 ＝f (0)，所以f (a )>e a ·f (0)，选A. 答案：A

3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)

解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －1

2

x .

令f (x )＝x －1

2x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0.

∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，

∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案：D

4．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )

A.a b

B.a 2b

C.b a

D.b 2a 解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，

则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR

2＝

2πaR 2＋

2bV

R

，所以y ′＝4πaR －2bV

R 2.

令y ′＝0，得2R h ＝b

a

.

答案：C

5．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与 存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为( ) A ．3.2% B ．2.4% C ．4% D ．3.6% 解析：依题意知，存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，银行应获得的利息是0.048kx 2，所以银行的收益y ＝0.048kx 2－kx 3，故y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．因为k >0，所以当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0.因此，当x ＝0.032时，y 取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益． 答案：A

6．设1＜x ＜2，则ln x x ，⎝⎛⎭⎫ln x x 2，ln x 2

x 2的大小关系是( )

A.⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x 2

x 2 B.ln x x ＜⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x 2x 2

C.⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x 2x 2＜ln x x

D.ln x 2

x 2＜⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x x 解析：令f (x )＝x －ln x (1＜x ＜2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ＞0，

所以函数y ＝f (x )在(1,2)内为增函数． 所以f (x )＞f (1)＝1＞0，

所以x ＞ln x ＞0⇒0＜ln x

x

＜1.

所以⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x x .

又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2＞0，

所以⎝⎛⎭⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x 2x

2.

答案：A

7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．

解析：令f ′(x )＝3x 2

－3＝0，

得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，

如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点． 答案：(－2,2)

8．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－39

2

x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为

________． 解析：令y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；