高中数学必修一学业分层测评(十一) 奇偶性

学业分层测评(十一)奇偶性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高一检测)函数f(x)＝1
x－x的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
【解析】∵f(－x)＝－1
x
＋x＝－f(x)，∴f(x)＝1
x
－x是奇函数，所以f(x)的图
象关于原点对称，故选C.
【答案】 C
2．(2016·洛阳高一检测)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.
【答案】 C
3．(2016·济南高一检测)已知f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选
C.
【答案】 C
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1-3-5，下列说法正确的是()
图1-3-5
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【解析】根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
故选C.
【答案】 C
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()
【导学号：97030064】
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
【答案】 B
二、填空题
6．(2016·沈阳高一检测)函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝f(－x)＝－x＋1，即x＜0时，f(x)＝－x＋1.
【答案】－x＋1
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是________．
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－
2)＝f(2)＝0，∴当x＞2或x＜－2时，f(x)＜0，如
图，即f(x)＜0的解为x＞2或x＜－2，即不等式
的解集为{x|x＞2或x＜－2}．
【答案】{x|x＞2或x＜－2}
8．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
【解析】由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，
∴f(1)＝g(1)－2＝－1，
又y＝f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝1，
从而g (－1)＝f (－1)＋2＝3. 【答案】 3 三、解答题
9．若函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋x ，x >0
ax 2＋x ，x ≤0，当a 为何值时，f (x )是奇函数？并证明．
【解】 假设f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )． 当x >0时，即－x <0，则f (－x )＝a (－x )2＋(－x )＝ax 2－x . 又∵x >0时，f (x )＝－x 2＋x ，∴－f (x )＝x 2－x . ∵f (－x )＝－f (x )，即ax 2－x ＝x 2－x ，∴a ＝1.
下面证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x ，x >0
x 2＋x ，x ≤0
是奇函数．
证明：当x >0时，即－x <0，则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；
当x ＝0时，f (0)＝0＝－f (0)；
当x <0时，即－x >0，则f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )，
于是f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(－x 2＋x )，x >0
－(x 2＋x )，x ≤0，
∴f (－x )＝－f (x )．
∴假设成立，即a ＝1时，f (x )是奇函数．
10．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．
【导学号：97030065】
【解】 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，∴不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．
又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数． ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
|1－m |>|m |－2≤1－m ≤2－2≤m ≤2，
解得－1≤m <1
2.
故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－1，12.
[能力提升]
1．若x ∈R ，n ∈N *，规定H n
x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，
例如：H 4－4＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·H 5x －2的奇偶性为( )
A ．是奇函数不是偶函数
B ．是偶函数不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 由定义可知，f (x )＝x ·H 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－
1)(x 2－4)，因为f (－x )＝x 2(x 2－1)(x 2－4)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数不是奇函数．故选B.
【答案】 B
2．(2016·四平高一检测)若x ，y ∈R ，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则( ) A ．f (0)＝0且f (x )为奇函数 B ．f (0)＝0且f (x )为偶函数 C ．f (x )为增函数且为奇函数 D ．f (x )为增函数且为偶函数
【解析】 ∵对任意的x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＝2f (0)，
∴f (0)＝0，令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．
【答案】 A
3．(2016·德阳高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝0，且在(0，
＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x <－12或x >12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
0<x <12或－1
2<x <0 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12或x <－12 D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪ －1
2<x <0或x >12
【解析】 ∵函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝0，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减， ∵当－12＜x ＜0时，f (x )＜0，此时xf (x )＞0，当0＜x ＜1
2时，f (x )＞0，此时xf (x )＞0，
综上，xf (x )＞0的解集为x ⎪⎪⎪
0<x <12或－12<x <0.
【答案】 B
4．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．当x ＞0时，f (x )＞0. 【导学号：97030066】
(1)求证：f (x )是奇函数；
(2)若f (1)＝1
2，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．
【解】 (1)证明：令x ＝0，y ＝0，则f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，。