教育最新K12新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 高考小题综合练(二)理

高考小题综合练(二)
1．(2015·金华月考)已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，B ＝{y |y ＝2－x }，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．R C ．(－∞，2]
D ．[0,2]
2．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5
2，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.56
π 3．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝1
2，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为( ) A ．2 011 B ．1 006 C ．2 013
D ．1 007
4．若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆(x －k )2
＋y 2
＝2相切的概率等于( ) A.12 B.13 C.23
D.34
5．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
6．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )
A ．8＋π3
B ．8＋2π3
C ．8＋8π3
D ．8＋16π3
7．(2015·浙江重点中学协作体第二次适应性测试)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( ) A ．b ≥a 2 B ．b <a 2
C ．a ≤b
2 D ．a >b
2
8．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB →1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →
|的取值范围是
( ) A ．(0，5
2
] B ．(52，72] C ．(
5
2
，2] D ．(
7
2
，2] 9．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，底面是边长为3的正三角形．若
P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
10．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，C 1与C 2的离心
率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
11．设函数f (x )＝log 3
x ＋2
x
－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 12．若圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取
值范围是________．
13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．
14．(2015·杭州联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≥2，
x ≤2，
则z ＝2x ＋y
的最大值与最小值的比值为________．
15．过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．
答案精析
高考小题综合练(二)
1．D [∵A ＝{x |y ＝2－x }＝(－∞，2]，B ＝{y |y ＝2－x }＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝[0,2]．] 2．A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝5
2sin B ，sin B ＝1
2
.
又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π
6
.]
3．C [由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝
f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12
，所以函数f (x )＝0在区间[0，2 013]内根的个数为2 013，选C.]
4．C [点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A 距离大于半径即可，即(1－k )2
＋1>2，解得k <0或k >2，所以所求k ∈[－3,0)∩(2,3]，概率为
P ＝46＝23
.]
5．D [由题意e 1＝ a 2＋b 2
a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b
＋m ，离心率e 2＝ a ＋m
2
＋b ＋m 2
a ＋m 2
＝
1＋⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋m a ＋m 2.
因为
b ＋m a ＋m －b a ＝m a －b
a a ＋m
， 且a >0，b >0，m >0，a ≠b ， 所以当a >b 时，m a －b
a a ＋m
>0，
即
b ＋m a ＋m >b a .又b ＋m a ＋m >0，b
a
>0， 所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2，
所以
1＋⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋m a ＋m 2>
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2，
即e 2>e 1；同理，当a <b 时，
m a －b
a a ＋m
<0，可推得e 2<e 1.
综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.]
6．A [依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个1
4的球体，其中正
方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13
＝8＋π3.]
7．A [由|f (x )－1|<a 可得－a －22<x <a －2
2
，
由|x ＋1|<b 可得－b －1<x <b －1，因为|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，所以可得|x ＋1|<b (a ，b >0)是|f (x )－1|<a 的必要条件，即|x ＋1|<b (a ，b >0)⇐|f (x )－1|<a ，可得－b －1≤－a －22，b －1≥a －22，解得b ≥a
2
，故选A.]
8．D [根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2为坐标轴建立直角坐标系，设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(a ，b )，由|OB 1→|＝|OB 2→
|＝1
得⎩⎪⎨⎪⎧ x －a 2
＋y 2
＝1，x 2＋y －b 2
＝1，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x －a 2
＝1－y 2
，
y －b
2
＝1－x 2
，
又由|OP →|<12，得(x －a )2＋(y －b )2<14，则1－x 2＋1－y 2<14
，
即x 2＋y 2>7
4
，①
又(x －a )2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax ≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1；同理，由x 2＋(y －b )2
＝1，得x 2
≤1，即有x 2
＋y 2
≤2，②
由①②知74<x 2＋y 2≤2，所以72<x 2＋y 2
≤ 2.
而|OA →|＝x 2＋y 2
， 所以
72
<|OA →
|≤ 2.] 9．B [过点P 作底面的垂线，射影是P ′，则∠PAP ′即为所求角，根据已知条件得，三棱柱的底面积是：S ＝12×3×3×sin π3＝334，根据柱体体积公式得：94＝33
4×h ，
∴h ＝3，在△ABC 中，
AP ′＝2
3×3×sin π3
＝1，
∴tan ∠PAP ′＝3，∴∠PAP ′＝π
3.]
10．A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a
， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝
c 1c 2a 2＝
3
2
. 又∵c 2
1＝a 2
－b 2
，c 2
2＝a 2
＋b 2
，
∴c 21c 2
2
a 4＝a 4－
b 4a 4＝1－(b a
)4， 即1－(b a )4＝34
，
解得b a ＝±
22，∴b a ＝22
. 令x 2a 2－y 2
b
2＝0， 解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.] 11．(log 32,1) 解析 ∵x ∈(1,2)， ∴
x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2
x
∈(log 32,1)，故要使函数f (x )在(1,2)内存在零点，只要a ∈(log 32,1)即可． 12．(2－1，2＋1)
解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离， 所以|2－2|2<r <|－2－2|2，
即2－1<r <2＋1. 13．[2，＋∞) 解析 如图，连接AQ ，
∵PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线
段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a
2≥1，a ≥2.
14．2
解析 约束条件对应的区域如图所示，当直线z ＝2x ＋y 经过点A (2,2)时，z 取得最大值6，当直线经过点B (1,1)时取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2.
15.322
解析 如图所示，
由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，
由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2
＝4x 得y 2
＝8， 由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，
∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧
y ＝22x －
，
y 2＝4x ，
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝12，
y ＝－2
或⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝2 2.
由图知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， ∴S △AOB ＝1
2|OF |·|y A －y B |
＝1
2×1×|22＋2| ＝3
2 2.。