第四章 第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

－2cos2θ＝
()
A．
B．
C．
D．
解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ 答案： D
3.(2010·黄冈模拟)已知△ABC中，cotA＝－ ，则cosA
＝
()
A．
B．
C．
D．
解析：由cotA＝－ 知A为钝角，又cotA＝ sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝
答案： D
4.若α是第三象限角，则
∵ tanα=
保持题目条件不变，求：(1) (2)sin2α ＋2sinαcosα的值. 解：由例题可知tanα＝－
(2)sin2α+2sinαcosα=
1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α， ±α的三角函数值是 化简的主要工具.使用诱导公式前，要正确分析角的结构 特点，然后确定使用的诱导公式.
1.解决给角求值问题的一般步骤为：
2.解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式 的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联 系，然后恰当地选择诱导公式求解.
已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 求下列各式的值： (1)sinα－cosα； (2)sin3( －α)＋cos3( ＋α).
cosα sinα
π±α
sinα －cosα
±α
－cosα ±sinα
2π－α
－sinα cosα
tanx tanα
cotx cotα
－tanα －cotα
cotα
tanα
±tanα ±cotα
cotα
tanα
－tanα －cotα
诱导公式可以概括为k· ±α的各三角函数值的化简公式. 记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数 倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数 名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作 为结果的符号.
(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，或用一 个角的某一个三角函数值来表示这个角的其他三角函数 值，此类情况需对字母进行讨论或对角α所在的象限进 行讨论，并注意对分类标准适当选取，一般有两组解.
已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝
(1)求tanα的值；
(2)把
用tanα表示出来，并求其值.
2.(2009·北京高考)若sinθ＝－ ，tanθ＞0，则
cosθ＝
.
解析：由sinθ＝－ ＜0，tanθ＞0知θ是第三象限角. 故cosθ＝－
答案：－
1.cos(－ π)的值是
A．
B．
C．
D．
()
解析：cos(－ π)＝cos π ＝cos(12π－ )＝cos ＝ 答案：A
2.(2009·辽宁高考)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ
∴原式＝ ＝－tan2α＝－ 答案：－
·tan2α
6.已知＝
－1，求下列各式的值：
(1)1－3sinαcosα＋3cos2α；
(2)
解：由
＝－1 tanα＝－tanα＋6 tanα＝3.
(1)1－3sinαcosα＋3cos2α
＝
.
解析：∵( －α)＋(α－ π)＝－ π， ∴sin(α－ π)＝sin[－ － (－α)] ＝－sin[ ＋( －α)]＝－cos( －α) ＝－ . 答案：－
5.化简
＝
.
解析：原式 ＝－sinα＋sinα＝0.
答案：0
1.教材对于同角三角函数只给出了三个基本关系式，另外， 还有如下五个关系式： 1＋tan2α＝sec2α；1＋cot2α＝csc2α；cotα＝ cosα·secα＝1；sinα·cscα＝1.
高考对本节内容的考查主要集中在利用诱导公式和 同角三角函数基本关系求值上，09年全国Ⅰ、陕西高 考均以选择题或填空题的形式考查了诱导公式和同角 三角函数基本关系式的应用，也代表了高考对本节内 容的考查方向.
[考题印证] 1.(2009·全国卷Ⅰ)sin585°的值为
A．
B．
C．
D．
()
【解析】 sin585°＝sin(540°＋45°)＝－sin45° ＝－ 【答案】 A
3.Sin π·cos π·tan(－ π)的值是
A．
B．
C．
D．
()
解析：原式＝sin(π＋ )·cos(π－ )·tan(－π－ ) ＝(－sin )·(－cos )·(－tan )
( 3 ).( 3 ).( 3) 3 3 .
2
2
4
答案：A
4.已知cos( －α)＝ ，则sin(α－ )＝
1.掌握同角三角函数的基本关系式. 2.掌握正弦、余弦的诱导公式. 3.能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱导
公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等 式证明.
1.同角三角函数的基本关系式
2.诱导公式 函数
角
sinx
cosx
2kπ＋α(k∈Z) sinα cosα
－α
－sinα cosα
±α
＜α＜π).
[思路点拨]
[课堂笔记] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 得sinα＋cosα＝ 两边平方，得1＋2sinα·cosα＝ 故2sinα·cosα＝－ 又 ＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.
(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ＝1－(— ∴sinα－cosα＝ (2)sin3( －α)＋cos3( ＋α)＝cos3α－sin3α ＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)
若将本例中条件 ＜α＜π，改为－ ＜α＜0，则 两式的值如何？ 解：由已知sinα＋cosα＝ 两边平方得：1＋2sinα·cosα＝ ， 故2sinαcosα＝－ 又－ ＜α＜0，∴sinα＜0，cosα＞0， ∴sinα－cosα＜0
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－(－ ∴sinα－cosα＝ sin3( －α)＋cos3( ＋α)＝cos3α－sin3α ＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)
＝
.
解析： ＝|sinα＋cosα|，
又α在第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0， ∴|sinα＋cosα|＝－(sinα＋cosα).
答案：－(sinα＋cosα)
5.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则
·tan2(π－α)＝
.
解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－ 或2， ∴sinα＝－ ， 又α是第三角限角， ∴cosα＝－ ∴tanα＝

[思路点拨]
[课堂笔记] (1)法一：联立方程 由①得cosα＝ －sinα， 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0， ∵α是三角形内角，
∴tanα＝－
法二：∵sinα＋cosα＝ ， ∴(sinα＋cosα)2＝( )2，即1＋2sinαcosα＝ ， ∴2sinαcosα＝－ ∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋ ∵sinαcosα＝－ <0且0<α<π， ∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0， ∴sinα－cosα＝ ，
(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边落 在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解.
(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象 限或终边落在哪个坐标轴上没有给出，解答这类问题，首 先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边 落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况求解.
2.(2009·陕西高考)若tanα＝2，则
A.0
B.
C.1
D.
【解析】
【答案】 B
的值为( )
[自主体验] 1.已知cos(π＋x)＝ ，x∈(π，2π)，则tanx等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：cos(π＋x)＝－cosx＝ ， ∴cosx＝－ ＜0，∴x∈(π， ) 此时sinx＝－ ，∴tanx＝ 答案：D
1.α是第四象限角，tanα＝－ ，则sinα等于
A．
B．
C．
D．
()
解析：由 ∴sin2α＝ 又∵sinα＜0，∴sinα＝－ 答案：D
得sin2α＋ sin2α＝1，
2.sin330°等于 A． C．
() B． D．
解析：sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－ 答案：B
2.注意同角三角函数关系式的变形应用：
sin2α＋cos2α＝1 sin2α＝1－cos2α cos2α＝1－sin2α，
＝tanα sinα＝cosα·tanα cosα＝
tanα·cotα＝1 tanα＝
cotα＝
3.已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他五种三 角函数值，一般分成三种情况：
(1)化简： (2)若sinαcosα<0，sinαcotα<0，
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)原式＝
(2)原式＝ ∵sinαcosα<0，sinαcotα<0，∴α是第二象限的角， ∴ 是第一或第三象限的角， 当 是第一象限角时，cos >0，∴原式＝2sec ； 当 是第三象限角时，cos <0，∴原式＝－2sec .
2.诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为 终了.特殊角能求值则求值.
3.三角函数式化简的一般要求是：三角函数名尽量少，项 数尽量少，尽量使分母不含三角函数式，能求出具体值 的必须求出具体值.
4.三角函数式的化简过程通常遵循一定的原则，如切割化 弦、化异为同、化高为低、化大为小、从繁到简等.