浙江省瓯海区三溪中学高中数学2.1.2空间直线与直线之

第二章课题2.1.2空间直线与直线之间的位置关系
【学习目标】
1. 正确理解异面直线的定义；
2. 会判断空间两条直线的位置关系；
3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；
4. 会求异面直线所成角的大小.
【重点难点】
学习重点:异面直线的概念、公理4
学习难点:异面直线的概念
【学习过程】
一、自主预习
（预习教材P44~ P47，找出疑惑之处）
复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.
复习2：平面性质(三公理)
公理1___________________________________；
公理2___________________________________；
公理3___________________________________.
二、合作探究归纳展示
探究1：异面直线及直线间的位置关系
问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?
观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？
结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.
新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).
试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.
问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？
新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：
试试：请你归纳出空间直线的位置关系.
探究2：平行公理及空间等角定理
问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?
观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?
图2-1
新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?
观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?
新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
探究3：异面直线所成的角
问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
图2-2
新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 a '∥a ,b '∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.
反思：思考下列问题.
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?
例1 如图2-3,,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB BC CD DA 的中点，若对角线2,BD = 4AC =，则22EG HF +的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).
图2-3
例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA '和CC ' ⑵B D ''和C A '
图2-4
※ 动手试试
练 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，求异面直线AC 与A D ''所成的角.
三、讨论交流 点拨提升
师生点拨要点记载：
四、学能展示 课堂闯关
1. ,,a b c 为三条直线，如果,a c b c ⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（ ）.
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上答案都不对
2. 已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）.
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
3. 已知l αβ=,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）.
A.至多与,a b 中的一条相交
B.至少与,a b 中的一条相交
C.与,a b 都相交
D.至少与,a b 中的一条平行
4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有__________条.
5. 长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA =1，异面直线AC 与11A D 所成角的余弦
值是______.
五、学后反思
1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；
2. 空间直线的位置关系；
3. 平行公理及空间等角定理.
知识拓展
异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.
如图，,,,a A B B a ααα⊂∉∈∉，则直线AB 与直线α是异面直线. 【课后作业】：
1. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）
2．选择题
（1）两条直线a ,b 分别和异面直线c,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ）
（A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线
（C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线
（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面
3.正四面体 A-BCD 中 , E 、F 分别是边 AD 、BC 的中点，求异面直线 EF 与AC 所成的角？
4. 已知,E E '是正方体AC '棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.
5. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32
PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ，求证：90αβ+=°.
图2-5。