(新课标)高考数学 三轮必考热点集中营(09)(教师版)

（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营（09）（教师版）
【命题意图猜想】
1.在2010年和2011年高考中，2010年没有考查二项式定理，但2011年考查一道，主要考查二项式定理系数和、通项公式的应用，且有一定的难度.在2012年本考点没有考查.故本热点具有隔年考查的特点，并且难度控制时高时低。

猜想2013年高考题很有可能考查，考查估计难度应为中低档，与积分或复数计算相联系均有可能。

为此，我们需全面掌握各种类型，以不变应万变.
2.从近几年的高考试题来看，考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．预测2013年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用． 【最新考纲解读】 二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理．
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】
1.二项式定理的展开式011
()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+，其中组合数
r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.
注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1
时，系数就是二项式系数。

如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1
()n
x x
+的展开式中的系数就是二项式系数；
（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：
1
(1)1n r r
n n x C x C x x +=++
++
+
2.二项式定理的通项
二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,
r n r r
r n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项，二项展
开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
注意：()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数
r
n
C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . 3.项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m
n n
C C -=）． (2)增减性与最大值： 当12n r +≤
时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当1
2
n r +≥时,C r n 的值逐渐减小，且在中间取
得最大值。

当n 为偶数时，中间一项（第2
n
＋1项）的二项式系数2n
n C 取得最大值。

当n 为奇数时，
中间两项（第21+n 和21
+n ＋1项）的二项式系数11
22n n n n C C -+=相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和：∵1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+，令1x =，则
012
2n r
n
n n n n n C C C C C =++++++ ，
0213
n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=
(4)用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α很小时，有()()21
1112
n
n n n ααα±≈±+
-. 【方法技巧提炼】
1. 如何把握转化类似二项式结构
二项式定理作为一个重要的知识点，几乎每年高考都要涉及一道.其中对于二项式结构的延伸和扩展是一个重点,丰富多彩的结构犹如“乱花”，迷住了不少同学的“眼”,如何把握？
（1）二项式展开式结构：根据给出的结构特征，通过拼凑使其满足二项式定理展开式的特点，然后合并，从而达到化简作用.
(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察
()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、的通项公式，综合考虑.
（3）()n a b c ++结构:①()(())n n a b c a b c ++=++,即把其中两项看作一项，然后展开求解；②()()n m a b c p q ++=+即利用公式把三项变成二项.
(4)()()n m a b c d ++++⋅⋅⋅结构:观察各项是否组成等比数列，若是可利用求和公式合并然后求解；若不能，就分别求解.
（5）n a 结构：(())n n a a b b =-+，然后展开分析求解.
2.赋值法的应用
由于二项式定理是一个恒等式，对于a b 、的一切取值均成立，因此可将a b 、设定为一些特殊的值.使用赋值法时，令a b 、取多少，应视情况而定，常见常见的赋值有0，1，-1.应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为(1)f 、“奇数 (偶次)项”系数和为
)]1()1([21--f f ，以及“偶数 (奇次)项”系数和为)]1()1([2
1
-+f f 。

3. 系数最大项的求法
对于()n
a b +的系数最大项，设第r 项的系数r A 最大，由不等式组1
1
r r r r A A A A -+≥⎧⎨
≥⎩确定r .
若给出的是()n a b -的结构，因各项之间正负相间，因此先转换为()n
a b +的最大项，然后分析哪一项满足条件.
4. 应用()()n n a b a b +-和的关系解题
由01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈
01()11()n n n r r n r r
n n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*-=-+
+-+
+-∈（）（）
得到关系:两个展开式的奇数项的系数一样，偶数项的系数互为相反数；
()()n n a b a b +-=+0222
2222()n n r n r r
n n n C a C a b C a b n N --*++
++∈（）
【考场经验分享】
1．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．
2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念． 3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项． 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1．
5．在化简求值时，注意二项式定理的逆用．要用整体思想看待a 、b .
6.本热点，一般位置在填空题的前两道或选择题的中间位置，试题难度中低档，故为得全分的题目，试题的解法比较固定，抓住通项公式是关键，仔细运算是根本,灵活赋值是保证.在整理通项公式的时候，务必认真仔细，尤其是-1的次幂，不要想当然，一般可采用将演算过程清楚的呈现，然后再检查一遍是否忽略. 【新题预测演练】
2.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若223*
11()n n n C C C n N --=+∈，则
n 的常数项为（ ）
A ．6-
B ．12
C ．52
D ．5
2
- 【答案】C
【解析】由223*
11()n n n C C C n N --=+∈得
(1)(1)(2)(1)(2)(3)
2121321
n n n n n n n ------=+⨯⨯⨯⨯
n=5或n=1（舍去），所以
n 的常数项为23255
(2
C =
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练】设
2220122(1)n
n
n x x a a x a x a x ++=+++
+，则242n a a a ++
+的值为（ ）
（A ）312
n + （B ）312
n
- （C ）32n
- （D ）3n
【答案】B
【解析】当x=1时，01223n n a a a a ++++= （1） 当x=-1时，01221n a a a a -+-+= （2）
当x=0时，01a = （3） （1）+（2）得：02231
2
n n a a a +++
+=
将（3）代入得：24
231
2
n n a a a -++=
6.【山西省忻州实验中学2013届高三第一次月考摸底】5=n 是n x
x )1
2(3
+)+∈N n （的
展开式中含有常数项的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】因为n
x
x )1
2(3
+
)+∈N n （的展开式中n r r
r
n r
23
n
C 2
x
-+-含有常数项时满足
-+=023n r r ，15r
6
-=0，r=15,此时含有常数项，反之n=2,r=6,也有常数项，但是不满足5=n ,故5=n 是n x
x )1
2(3
+
)+∈N n （的展开式中含有常数项的充分不必要条件，选A.
7.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知a =2
-⎰
，则61
()ax x
-展开
式中的常数项为
A.3
160π- B. 3
120π- C.2π D. 3
160π 【答案】A
【解析】∵表示的曲线为以原点为圆心，半径为2的上半圆，根据定积分的几何
意义可得
a
=
2
-⎰
=2π，故61
()ax x
-展开式中的常数项为
3
3361(2)()C x x
π-=3160π-，故选A.
8.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
10
1x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )
A.0
B.2
C.4
D.6
9.【山西大学附属中学2013届高三3月第二次月考】
88221083)1()1()1()2()1(-+⋅⋅⋅+-+-+=-++x a x a x a a x x ,则______6=a 。

00001001
8888778822001228667788876(2)(1),(2)(1)(1),(2)(1)(1)(1),1,8,28.
a C C a C a C a C a C a C a a a ⨯-=⨯-⨯-=⨯⨯-+⨯-⨯-=⨯-+⨯⨯-+⨯-∴==-=【答案】28
【解析】由二项式定理得：C C 【考点定位】本题考查二项式定理特殊项系数问题。

10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】 在26
1(3)x x
+的展开式中，常数项为
______.(用数字作答) 【答案】135
【解析】展开式的通项公式为62623616661
()(3)33k
k k k k k k k k k k T C x C x C x x
--+-+==⨯=⋅，由
360k -=得2k =，所以常数项为22363915135T C =⋅=⨯=。

11.【安徽省2013
届高三开年第一考】二项式6
1)x
的展开式所有有理项的系数和 等于 （用数字作答） 【答案】365
【解析】63662
16
6
(1)(1)2
r r r
r x
r
r r
r T C x
C x
----+=∙-∙=-为有理项，则所有有理项的系
数和为06244260
66662222365C C C C +++=
15.【江西省临川二中2013届高三3月月考】已知1
1
(1)a dx -=
⎰
，则
6
1()2a x x π⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦展开式中的常数项为 。

【答案】-160
【解析】∵1
1
(1a dx -=+⎰
∴令1y =∴22(1)1x y +-=(1)y ≥
∴1
1
(1a dx -=
⎰
表示曲线22(1)1x y +-=在(1)y ≥的一段与x 轴和直线x=-1和
x=1所围成的面积，即1
21
1(1211222
a dx π
π-=
+=⨯+⨯⨯
=+⎰
∴6
611()(2)2a x x x x π
⎡⎤--=-⎢⎥⎣
⎦∴66621661(2)()2(1)r r r r r r r
r T C x C x x ---+=-=- ∴令620r -=∴3r =∴常数项为363362(1)160C --=-
16.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 ． 【答案】2或3
【解析】展开式中3x 的系数为3425
666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3．。