2010年厦门理工学院数学建模竞_[1]...

2010年数学建模竞赛题目
A题抗旱方案的制定
位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。

过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。

由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。

而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。

2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。

为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。

从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。

二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。

铺设管道的费
用为L
.0
（万元），其中Q表示每年的可供水量（万吨/年），L表示管66
P51.0
Q
道长度（公里）。

铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。

要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。

政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。

表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）
B题化验结果诊断
人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。

下面是人们是否患某种疾病时通常要化验的几种指标。

表1是确诊病例的化验结果，其中1－30号病例是已经确诊为患该种疾病的化验结果；31－60号病例是已经确诊为健康人的结果。

表2是某些就诊人员的化验结果。

请解答下面的问题：
（1）根据表1中的数据，提出一种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。

（2）按照（1）提出的方法，对表2中的15名就诊人员的化验结果进行判别，判定他们是患该种疾病的病人还是健康人。

（3）能否根据表1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患该疾病的关键或主要因素，以便减少化验的指标。

并根据你给出的结果，重复2的工作。

表1 确诊病例的化验结果
表2 就诊人员的化验结果
2010年厦门理工学院数学建模竞赛题目参考解答
A 题 参考答案
首先，应该利用现有的四口老井，通过表1的数据，可以拟合出第i 口井每年产水量)4,3,2,1(=i Q i 关于年份t 的近似函数关系：
t Q 2.12.321-=，t
e
Q 3.025.21-=，t Q 1.29.273-=，5.042.46-=t Q
利用它们便可以计算出2010至2014年间这四口井每年产水量预测值（万吨），
万吨水，从而这五年每年的缺水量分别达到102.8、117.2、131.5、145.6、159.6万吨。

然后，建立优化模型作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划：
i x —第i 年用于打井的费用（i =1,2,3） i y —第i 年投资铺设管道的费用（i =1,2,3）
Q —管道每年的可供水量（从2013年起） L
—管道长度
i r —第i 年投资用于打井和铺设管道的费用上限（i =1,2,3） i m —第i 年的缺水量（i =1,2,3,4,5） i s —第i 个位置的打井费用（i =1,2, (8)
i n —第i 个位置打井的当年产水量（i =1,2,…,8） ij
k —第i 个位置第j 年的打井系数（i =1,2,…,8; j =1,2,3）。

其中ij k =1表示第j 年
在第i 个位置打井，ij k =0表示不打。

上述i x 、i y 、Q 、ij k 为决策变量，其余均为已知参数。

目标函数为 ∑
∑==+
=
3
1
31
min i i
i i
y x
Z
约束条件如下：
i =1（2010年）：
∑=≥8
1
1
1
i i i m n k
，∑==8
1
11i i i x s k ，111r y x ≤+
i =2（2011
年）：
∑=8
1
2i i i n k +∑=≥⨯8
1
219.0)(i i i m n k ，∑==8
1
22i i i x s k ，222r y x ≤+
i =3（2012
年）：
∑=8
1
3i i i n k +9.0)(8
1
2⨯∑=i i i n k +∑=≥⨯8
1
32
19.0)(i i i m n k ，∑==8
1
33i i i x s k ，333r y x ≤+
i =4（2013
年）：
∑=8
1
3[i i i n k +9.0)(8
1
2⨯∑=i i i n k +∑=≥+⨯⨯8
1
4219.0]9.0)(i i i m Q n k
i =5（2014
年）：
∑=8
1
3[i i
i n k +9.0)(8
1
2⨯∑=i i i n k +∑=≥+⨯⨯8
1
52219.0]9.0)(i i i m Q n k
此外,还有以下约束:
铺设管道的费用约束：L Q y y y 51.032166.0=++
对打井位置的约束: ∑=≤3
1
1j ij k （i =1,2, (8)
对决策变量的约束: i x 、i y （i =1,2,3）为非负整数
ij k （i =1,2,…,8; j =1,2,3）为0—1变量 100≥Q
利用LINGO 软件求解该模型，结果如下： 46,54,39,5,5,20321321======y y y x x x 1736281312111======k k k k k k ，1081.101=Q
B 题 参考答案
(1) 采用马氏距离判别法
记总体G 1为患该种疾病的病人，G 2为健康人。

设)1(μ、)2(μ，)1(∑、)2(∑分别为G 1、G 2的均值向量和协有效期阵。

如果距离定义采用马氏距离即
2
,1)()
()(),()
(1
)
()
(2
=-∑
'-=-i X X G X D i i i i μ
μ
按距离最近准则有：
⎪
⎩⎪
⎨⎧=>∈<∈)
,(),( ,),(),(,
),(),(,
21212211G X D G X D G X D G X D G X G X D G X D G X 当待判当当 用),(),()(1222G X D G X D X W -=
)()
()()
2(1
)
2()
2(μ
μ
-∑
'-=-X X )()()()
1(1
)
1()
1(μ
μ-∑
'---X X
作为判别函数，它是X 的二次函数。

根据表1的数据有： 判别函数：
1234567()0.00400350.200430.0195430.00362020.011520.00079490.0036477 4.0822
W X x x x x x x x =-+----+-
按距离最近准则判别归类。

最终得到结果：“0”代表健康 “1” 代表病人
回代率为
5660
=93.33%。

做简单的判别检验
0.05(7,52)F =7.08
而2
1212(2)1(2)n n p F T n n p
+--+=
+-，
其中⎥⎥⎦
⎤-+⎢⎢
⎣
⎡
⋅
'-+-+=-)()()2()
2()
1(2
1211
)
2()
1(2
121212
X
X
n n n n S X
X
n n n n n n T
得到F =909.755>0.05(7,52)F 。

故在05.0=a 检验水平下，两总体间差异显著，即判别函数有效。

（2）利用（1）建立的判别方法可得到表2中待检验的诊断结果为：
注:
（3）根据表1中1-30号病人的数据，可根据主成分分析法，确定出其主要因素为Zn、Fe、Ca、Mg、Na。

利用（1）的判别方法，可得到其回代率为55
=91.67%。

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利用这5个因素，对表2中的数据进行判别，得到如下结果：
显然结果与表4
注:也可以用其它方法确定出其主要因素.。