安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高一数学下学期第四次月考试卷理【word版】.doc

舒城中学2018-2019学年度第二学期第四次统考
高一理数
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
1
{|3},{|
0}4
x A x x B x x -=>=<-，则A B ⋂=
（ ）
A ．∅
B ．(3,4)
C ．(2,1)-
D ．(4,)+∞
2.
若直线经过
(
(1,0),A B 两点，则直线
AB 的倾斜角为
（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒ 3．下列命题中正确的是
( )
A ．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形
B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C ．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形
D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
AB 与CD 的位置关系为
（ ）
A ．相交
B ．平行 C.异面而且垂直 D.异面但不垂直 5.下列命题中，正确的是
（ ）
A ．若a b >，c d >，则
a c
b d ->- B ．若a b >，
c
d >，则
ac bd >
C ．若ac bc >，则a b >
D ．若
22
a b c c <，则
a b <
6．在等差数列
{}
n a 中，
48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列{}n a 的前13项的和为（ ）
A ．24
B ．39
C ．52
D ．104
7.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
① 若α
⊥m ，
n //α，则n m ⊥ ② 若αγ
⊥，
βγ
⊥，则
//αβ
③ 若α//
m ，α//n ，则n m // ④ 若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m
其中正确命题的序号是
（
）
A ．① 和 ②
B ．② 和③
C ．③ 和④ D. ① 和④
8.在正方体
1111D C B A ABCD -中，异面直线1BC 与1CD 所成角的余弦值为
（
）
A ．2
1
-
B ．2
1
C ．2
2 D.
2
3
9．在ABC ∆中，若2=b
，π
3
2
=A ,三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）
A ．
3
B ．32
C ．2
D ．4
10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（
）
A ． 16π
B ．20π
C ．
24π
D
32π
11.已知点I
在
ABC ∆的内部，AI 平分BAC ∠,BAC ACI IBC ∠=∠=∠2
1
,对满足上述条件的所有ABC ∆,下列说法
正确的是；
（
）
A. ABC ∆的三边长一定成等差数列
B.
ABC ∆的三边长一定成等比数列
C ．ABI ∆,ACI ∆,CBI ∆的面积一定成等差数列
D ．ABI ∆,ACI ∆,CBI ∆的面积一定成等比数列
12.已知三棱锥
BCD A -的所有顶点都在球O 的球面上，⊥AD 平面ABC ，2
π
=∠BAC ，
2=AD ，若球O 的表面积为
π
29，则三棱锥
BCD A -的侧面积的最大值为
（
）
A ．4
25
25+
B ．441525+
C ．22736+
D ．2
25
210+ 舒中高一统考理数 第1页 (共4页)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.设数列
{}
n a 的前
n 项和为n S 若13a = 且11
12
n n S a +=
+ 则{}n a 的通项公式n a =_______． 14.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
3 2
4
5
6 10 9 8
7 11 12 13 14 15 21 20 19 1
8 17 16 ......
按照以上排列的规律，第2019行从左向右的第3个数为
15已知四棱锥P ABCD -各顶点均在同一球面上，且满足
3,4PA PD AD BC AB CD ======,5,3PB AE EB ==则过点E 的平面截四棱锥P ABCD -外接
球的截面面积最小值是
16.已知数列
{}
n a 满足
()()
2222n n na n a n n
λ+-+=+，其中
121,2a a ==，若1n n a a +<对*n N ∀∈恒成立，
则实数
λ的取值范围为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）
已知等比数列
{}
n a 的前
n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．
（1）求数列
{}n a 的通项公式； （2）设n b n
n a =
，求
{}
n b 的前
n 项和n T ．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==， ,,E F G 分别是
,,PC PD BC 的中点．
（1）求证：平面
//PAB 平面EFG ；
（2）证明平面
EFG ⊥平面PAD .
19.（本小题满分12分）
如图，在
ABC
∆中，
4
π
=
∠A ，
4=AB ，17=BC ，点D 在AC 边上，且3
1cos -
=∠ADB ． （1）求
BD 的长； （2）求BCD ∆的面积．
20.（本小题满分12分）
如图，四边形
ABCD 是矩形，AB AD 2=，E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD . （1）证明：
AF ⊥EG ；
（2）若
AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知各项均不相等的等差数列
{}
n a 的前五项和
520S =，且1a ，3a ，7a 成等比数列.
A
B
D
E
F
P
G
C
舒中高一统考理数 第3页 (共4页)
（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
（2）若
n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，且存在*
n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
ABCD
P -中，
PC
AB ⊥，
BC
AD //，
CD
AD ⊥，
2
2==BC PC 且
2==CD AD ，2=PA ．
（1）证明：
⊥PA 平面ABCD ；
（2）在线段
PD 上，是否存在一点M ，使得二面角B AC M --的大小为
3
2π？如果存在，求
PD
PM 的值；如果不存在，请说明
理由．
舒城中学2018届高一第四次月考试卷
理科数学试题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
A
C
D
D
C
D
B
C
C
B
A
13.⎩⎨⎧≥⋅==-2
,341
,22
n n a n n
14.2037174 15.π3 16.
[)+∞,0
13.【解析】∵1112n n S a +=
+，∴()11
122n n S a n -=+≥, ∴1111
22n n n n n S S a a a -+-==-，即13n n a a +=。

又111
21
312
a S a a ===+，，解得24a =。

故213a a ≠。

∴数列
{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，故当2n ≥时， 22243n n n a a q --==⋅。

∴2
3,1{
43
,2
n n n a n -==⋅≥。

16.【解析】由()()
22
22n n na n a n n
λ+-+=+得：
22n n a a n n λ+-=+，令n
n a
b n
=，则
{}
n b 的奇数项和偶数项分别
成首项为
1，且公差为λ
的等差数列，所以
()2111k b k λ
-=+-，
()21+1k b k λ
=- ,
*
k N ∈，故
()()2121211k a k k k λ-=-+--， ()2221k a k k k λ=+-， *k N ∈，因为1n n a a +<对*n N ∀∈恒
成
立
，
所
以
()()()2122121122
1
k k a k k k a k k k λλ-=-+--
<=+-恒成立
，同时
()()()22+1
2212+12+11k k a k k k a k k k λλ=+-<=+-恒成立，即()11k λ-<-恒成立，当1k >时，
11k λ-
<-，而k →+∞时1
01
k -→-，所以0λ≥即可，当1k =时， ()11k λ-<-恒成立，综上0λ≥，
故填
[)
0,+∞．
17.【解析】（1）由已知2222S a =-① ，342S a =-②，
①-②得3
422a a a =-即220q q --=，
又 因为
0q >，所以2q =，
因为
2222-=a S ，所以11122a a q a q +=-，即21=a ， 所以
2n n a =.
（2）由（1）知
n
n n b 2=
,
n n n n n T 2
21......232221132+-++++=
-
14322
21......23222121++-++++=n n n n n T .
错位相减
14322
21......2121212121+-+++++=n n n n
T .
所以n
n
n T 22
2+-=. 18.【解析】
（1）,E F 分别是线段
,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，
所以
//EF AB ，
又
EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .
因为
,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ，
又
EG ⊄平面PAB ，所以，//EG 平面PAB .
所以平面
//EFG 平面PAB .
（2）因为
CD AD ⊥，CD PD ⊥，AD PD D =，所以CD ⊥
平面
PAD ，
又
//EF CD ，所以EF ⊥平面PAD ，所以平面EFG ⊥平面PAD .
取
AD 中点H ，连接,FH GH ，则////HG CD EF ，平面EFGH 即为平面EFG ， 在平面
PAD 内，作DO FH ⊥，垂足为O ，则DO ⊥平面EFGH ，
19.【解析】（1）在ABD △中，∵1
cos 3
ADB ∠=-
，
∴sin ADB ∠=
，
由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =
∠∠，
∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵
πADB CDB ∠+∠=，
∴()1cos cos
πcos 3
CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=
． ∴(
)sin sin πsin CDB
ADB ADB ∠=-∠=∠=
，
sin CDB ∠=
A
B
D E F P
G C Q
H O
在
BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，
得
21
179233
CD CD =+-⨯⨯
，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △
的面积11sin 3422S BD CD CDB =
⋅⋅∠=⨯⨯= 20.【解析】(1)在矩形
ABCD 中，AB AD 2=，E 是AD 的中点,易得
2
2
==BC AB AB AE
BCA ABE ∠=∠∴,又2
π
=
∠+∠CBE ABE ,故2
π
=
∠+∠BCA CBE
2
π
=
∠∴BFC ,即AC BE ⊥
由
⊥GF 平面ABCD 得GF AC ⊥
又
F BE GF BGE BE BGE GF =⋂⊂⊂,,面面
BGE AF 面⊥∴,BGE GE 面⊂,EG AF ⊥∴;
(2)由题可设a BC 2=，则
a AE =，a AB 2=，a BE 3=，a FG AF 3
6
=
= 3322a BE AB BF ==，BE
AE FE 2
=a 33=,a FE FG EG =+=22
由（1）可得
两两垂直FA FE FG ,,，a FG BF BG 222=+=，
a AF GF AG 3
3
222=
+= 故
3
9
32131a FG AB AE V ABE G =⨯⨯⨯⨯=-，
()
2
2
2
353323
3
221a a a a S ABG =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯
⨯=∆，
故
E 到平面ABG 为h ，则a S V h ABG ABE G 5
153==
∆-
∴直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值5
15
sin ==
L h θ
21.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则()()1
21
1154520,226,a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12
124,2.
a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠，所以
12,
1.a d =⎧⎨=⎩
所以1n a n =+. （2）因为
()()11111
1212
n n a a n n n n +==-
++++，所以1111
11112334
12222(2)
n n T n n n n =
-+-++
-=-=++++. 因为存在*
n N ∈，使得
10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得
()202(2)n n n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使2
2(2)n
n λ≤
+成立. 又
2
142(2)24n n n n =+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1141624n n ≤⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
（当且仅当2n =时取等号），所以1
16λ
≤.即实数λ的取值范围是
1
(,
]16
-∞. 22.【解析】
（1）∵在底面ABCD 中，
AD BC ∥，AD CD ⊥，且22BC AD CD ===
∴
2AB AC ==，BC =∴AB AC ⊥， 又∵
AB PC ⊥，AC
PC C =，AC ⊂平面PAC ，
PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，
又∵
PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥，
∵2PA AC =
=，PC =∴PA AC ⊥，
又∵
PA AB ⊥，AB AC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．
（2）在线段
AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥， 又由（1）得
PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，
又∵
AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，
又∵
MN NO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，
又∵
MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，
又∵
AC NO ⊥，∴ MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角，
设
PM
x PD
=，则()122MN x AP x =-=-，ON AN x ===，
这样，二面角
B A
C M --的大小为
3
2π
，即
22tan tan60MN x
MON ON x
-∠=
==︒=，
解得
4PM
x PD ==-∴满足要求的点M 存在，且
324-=PD
PM ．。