(24.6直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定
无～。 ｃ）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。 【补报】ｂǔｂàｏ动①事后报告； 鞋底上装着冰刀。⑦（Ｃｈē）名姓。如叶绿素、血红素等 。 厉害：为害～｜～的斗争。 学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。【差错】ｃｈāｃｕò名①错误：精神不集中，没有细胞结构， 也作唱工。秘密进行鼓动，②动指超过前人：～绝后。放在一边不去管它，②比喻培养：祖国和人民～了我们。 ［英ｉｃｅｃｒｅɑｍ］ 厂礼拜。 正中有孔，
切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. w 即(SSA)是一个假冒产品!!!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
w1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. w求证: △ABC是等腰三角形.
A
F
E
B
D
C
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分 别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF (2)AB∥CD.
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
A
A`
B
C B`
C`
② 边角边（S A S）
A
A`
B
C B`
C`
③ 角边角（A S A）
A
A`
B
C B`
C`
④ 角角边（A A S）
三角形全等的判定
w想一想: w 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等?
全等直角三角形的判定
全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
完整版三角形全等的判定
完整版三角形全等的判定在数学的世界里，三角形全等的判定是一个非常重要的知识点。
它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象力的关键。
接下来，让我们深入探讨三角形全等的判定方法。
三角形全等，简单来说就是两个三角形的形状和大小完全相同。
要判定两个三角形全等，有以下几种常见的方法。
第一种是“边边边”（SSS）判定法。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形DEF，AB 等于 DE，BC 等于 EF，AC 等于 DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
为什么“边边边”能够判定三角形全等呢？我们可以通过制作两个三边长度分别相等的三角形模型，然后将它们叠放在一起，会发现它们能够完全重合，这就直观地说明了“边边边”判定法的正确性。
第二种是“边角边”（SAS）判定法。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB 等于 DE，∠A 等于∠D，AC 等于 DF，那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。
这个判定法也很好理解。
想象一下，我们先确定一条边的长度和一个夹角的大小，然后以这条边的一个端点为顶点，按照给定的夹角和另一条边的长度画出第二条边，最后连接两个端点，得到的三角形是唯一确定的。
接下来是“角边角”（ASA）判定法。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A 等于∠D，AB 等于 DE，∠B 等于∠E，那么三角形ABC 与三角形 DEF 全等。
同样地，我们可以通过实际操作来理解这个判定法。
先确定一条边，然后分别以这条边的两个端点为顶点，按照给定的两个角的大小画出另外两条边，得到的三角形也是唯一确定的。
还有“角角边”（AAS）判定法。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
三角形全等的判定定理总结
三角形全等的判定定理总结
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理
(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)
(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)
(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)
(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)
(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)
三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等。
3、能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4、全等三角形的对应边上的高对应相等。
5、全等三角形的对应角的角平分线相等。
6、全等三角形的对应边上的中线相等。
7、全等三角形面积和周长相等。
8、全等三角形的对应角的三角函数值相等。
两个直角三角形全等的判定条件
直角三角形具有一些特殊的性质 ，如直角边与斜边的关系（勾股 定理）。
直角三角形全等的定义
• 两个直角三角形如果满足一定的条件，它们的形状和大小 完全相同，则称为全等直角三角形。
直角三角形全等的条件
HL全等条件
两角及夹边全等条件
如果两个直角三角形中，一个直角边 和斜边分别与另一个三角形的相应边 相等，则这两个直角三角形全等。
THANKS.
来辅助证明。
HL全等的应用
在几何学中，HL全等是解决几何问题 的重要工具之一。
HL全等也是证明其他三角形全等判定 定理的基础，如SAS、SSS、ASA等。
在实际问题中，如建筑、工程等领域， 经常需要用到HL全等来判断两个直角 三角形是否全等，从而确定物体的形 状和大小。
判定条件二：SAS全
03
等
实际问题解决
在解决实际问题时，如建筑设计、机械制造等领域，经常需要使用SAS全等来判断两个直 角三角形是否相等，从而进行相应的设计和制造。
数学竞赛
在数学竞赛中，如奥林匹克数学竞赛等，SAS全等是重要的知识点之一，常常作为题目考 察的重点和难点。
判定条件三A全等是指两个直角三角形中，一个锐角和斜边分别与另一个三角形的锐角和 斜边对应相等，则这两个直角三角形全等。
2. 根据SSS全等条件，如果两 个三角形的三边分别相等，则
这两个三角形全等。
3. 因此，可以得出这两个直 角三角形全等。
SSS全等的应用
应用场景
当已知两个直角三角形的两边长度相等时，可以使用SSS全等条件来判断这两 个三角形是否全等。
应用实例
在几何图形中，如果两个直角三角形有两边相等，并且其中一个角为直角，则 可以使用SSS全等条件来判断这两个三角形是否全等。
直角三角形判定全等的方法
直角三角形判定全等的方法一种判断直角三角形全等的方法是基于两个三角形的边长和角度的关系。
具体来说，我们可以使用以下三种方法：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和AAS（角-角-边）定理。
1.SSS定理（边-边-边）：SSS定理指出，如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
例如，如果两个直角三角形的三边长度分别为a、b、c和a’、b’、c’，如果a=a’、b=b’、c=c’，则可以判定这两个三角形全等。
这是最直观和直接的方法，但是在实践中，测量和比较三角形的边长可能不够准确。
因此，我们可以使用其他方法来判断直角三角形的全等。
2.SAS定理（边-角-边）：SAS定理指出，如果两个三角形的两边长和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，我们可以注意到其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的一条直角边和两个相邻边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
3.AAS定理（角-角-边）：AAS定理指出，如果两个三角形的两个角度和一条边长分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的两个非直角角度和一条边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
需要注意的是，在使用SAS和AAS定理时，我们需要确保给定的两个三角形中的直角对应于另一个直角。
如果直角不对应，则不能判定两个三角形全等。
除了使用这些方法，我们还可以使用勾股定理来判定直角三角形的全等。
勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设我们有两个直角三角形，分别具有直角边a和b以及斜边c，以及直角边a’和b’以及斜边c’。
如果a²+b²=c²且a’²+b’²=c’²，则我们可以判定这两个直角三角形全等。
总结起来，我们可以使用SSS、SAS、AAS这些几何性质和勾股定理来判定直角三角形的全等。
直角三角形全等判定定理
直角三角形全等判定定理直角三角形全等判定定理，也叫直角三角形全等条件定理、勾股定理或斯托克斯定理，是数学中一个重要的定理，它说明在任何直角三角形中，若有任意两边长度相等，则三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理曾是希腊数学家欧几里得的儿童时代创造，后来被苏格拉底改写为定理形式。
斯托克斯定理是一个有关直角三角形的数学定理，它告诉我们，如果两条边的长度相等，则该三角形是一个直角三角形。
斯托克斯定理也称为勾股定理，又称“直角三角形全等性判定定理”，它是古希腊时期最著名的定理之一，是古希腊数学家欧几里得最早发现的定理之一，他在其《几何》中对此进行了证明。
斯托克斯定理可以用来证明所有直角三角形都具有三条边和两个相等的角，这种特殊的三角形称为全等三角形。
根据斯托克斯定理，如果一个三角形的其中两条边的长度相等，则该三角形必定是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理也可以用来证明股数定理，即如果a2+b2=c2，则这个三角形就是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它能够提供一个简单而又有效的方法来验证一个三角形是否为直角三角形。
它可以被用来证明某一个三角形是否全等，也可以用来检验三角形的长度是否相等。
因此，斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它在多个数学问题中得到广泛的应用，不但在几何和数学中得到应用，而且在工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。
斯托克斯定理可以用大量数学证明来证明，但它的核心思想仍然是：任何直角三角形中，如果有任意两边长度相等，则这个三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理是一个简单而又有效的方法，它可以快速验证一个三角形是否为直角三角形，它的应用领域也十分广泛，在科学、工程学和计算机科学等领域中都有着重要的作用。
两个直角三角形全等的判定定理
两个直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理是指如果两个直角三角形上的三条边长分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
根据此定理，可以把两个直角三角形的两个脚的夹角定义为相同的角度。
从几何学的角度来说，两个全等的直角三角形是同一形状的不同位置的副本，因此可以利用该定理作为基本准则来求解特定形状的直角三角形的解析解。
此外，可以利用直角三角形全等的判定定理来计算两个直角三角形之间距离的大小。
因为当三角形上的三条边都相等时，它们之间的距离也会相等，因此可以计算某个特定角度下两个直角三角形的距离。
这在很多地方都有应用，例如在地图绘制、工程绘图和地质勘测中都有用处。
直角三角形全等的判定定理也可以推广到非直角三角形上。
如果两个三角形的内角的余弦值相等，即cosA=cosB，则这两个三角形就全等了。
具体而言，当以直角三角形为例时，只要边长全等，便可认定两个三角形是全等的。
而非直角三角形在这种情况下，仅当两个三角形上的三边长都相等，而它们的内角的余弦值也相等时，才能说明这两个三角形是全等的。
总之，两个直角三角形全等的判定定理是指，当两个三角形上的三条边长分别相等时，它们就是全等的。
此外，可以利用它来判断两个直角三角形的距离，或者将其应用到非直角三角形上，以判定两个三角形是否是全等的。
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形全等是指两个直角三角形的对边，对应边和
斜边分别相等。
在进行直角三角形全等的判定时，可以使用两种不同的方法，即SAS（边-角-边）和SSS（边-边-边）定理。
1. SAS定理：
SAS定理是指两个直角三角形的一条边、夹角和另一条边分别
相等，则这两个直角三角形全等。
具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。
b) 两个直角三角形的一条边相等。
c) 两个直角三角形的夹角（不是直角的角）相等。
d) 两个直角三角形的另一条边相等。
2. SSS定理：
SSS定理是指两个直角三角形的三条边分别相等，则这两个直
角三角形全等。
具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。
b) 两个直角三角形的三条边分别相等。
需要注意的是，在判定直角三角形全等时，必须要确定
其中一个角为直角。
因为如果两个直角三角形的所有边长相等，但没有一个角为直角，那么这两个三角形并不一定全等。
在解题时，需要根据给定的条件，判断所给的直角三角
形是否全等。
常见的判定方法包括测量边长和角度、利用勾股定理判断是否满足直角条件等。
判断过程中需要小心操作，确保测量准确、计算无误。
总之，直角三角形的全等判定是一种基本的几何判断方法，可以通过SAS定理或SSS定理来进行。
在解题时，要注意给定的条件，准确判断边长和角度是否相等，以确定两个直角三角形是否全等。
直角三角形全等的判定(HL)定理
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三 角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有 一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA 、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的 判定方法——“HL”.
例题
1
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边的滑梯
的高度AC与右边的滑梯水平方向的长度DF相等， 两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？
D
判断： 满足下列条件的两个三角 形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边 对应相等的两个直角三角形.
2.一个锐角及这个锐角相 邻的直角边对应相等的两 个直角三角形.
3.两直角边对应相等的两 个直角三角形.
思考:
如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直 角三角形会全等吗？
A A′
B
直角三角形全等的判定方法
已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，∠C=∠C’ =90°，AB=A’B’,AC=A’C’. 求证：△ABC≌△A’B’C’
A A’
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等。(HL)
C
B C’
B’
A
A’
C
B C’
证明：在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴BC² =AB² -AC² ， 同理： BC’²=A’B’²-A’B’² ∵AB=A’B’,AC=A’C’ ∴BC=B’C’. ∴△ABC ≌△A’B’C’.
C
B′
C′
探究8
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90° B′ C ′，使∠C′=90°Ｂ 再画一个 Rt △A′ ′Ｃ′＝ＢＣ，A′B′=AB.把画好的 Rt △A′ B′ C′ 剪下，放到Rt△ABC 上，它 们全等吗？
直角三角形全等判定(HL)及角平分线性质
教学目标
1.掌握直角三角形全等的判定（HL），运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
2.领会角平分线的性质定理，并掌握其实际应用。
3.掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，熟练运用角平分线实现角和距离的转换。
教学重难点
1.角的平分线的性质定理的实际运用。
2.角平分线两个性质的互逆性以及转换。
3.多次证明三角形全等的应用。
教学内容
一.直角三角形全等的判定（HL）
1.HL判定的推导
任意画出一个 ，使 ，再画一个 ，使 ， ， 全等于 吗？
推导：画一个 ，使 ， ，
1画 ，②在射线 上取 ，③以 为圆心， 为半径画弧，交射线 于点 ，连接 。
因为有且仅有一个交点，所以可得出有且只有一个三角形，从而得到全等。
②截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长至与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，适用于证明线段的和、差、倍、分等类题目。
③遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高，底边的中线，底边所对角的角平分线）的性质解题。
④遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用角的平分线的性质解题。
⑤过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形。
练习8：如图， 求证：AB=AC+BD.
B
C
E
D
A
练习9：如图，在四边形ABCD中， ，AD=CD，BD平分 ，求证： .
D
C
B
A
练习10：如图，在 中， ， ，BD和CE交于点P， ，求证：CD+BE=BC。
三角形全等的判定定理是什么
三角形全等的判定定理是什么
三组对应边分别相等的两个三角形全等、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等、斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判定定理
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）。
全等三角形的性质
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4.全等三角形的对应边上的高对应相等。
5.全等三角形的对应角的角平分线相等。
6.全等三角形的对应边上的中线相等。
7.全等三角形面积和周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
证明三角形全等的题步骤
1.读题，明确题中的已知和求证。
2.要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
3.分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
4.有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角。
5.先证明缺少的条件，再证明两个三角形全等。
直角三角形全等的判定
简写：“斜边、直角边”或
“AHL”
A'
C
B C'
B'
∠C=∠C´=90°
∵ A B=A´B´
A C= A´C´（ 或BC= B´C´）
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
已知线段a、c(a﹤c)
a
画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90 °.
P O
EB
例2：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D， P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
C A
B
PD
练习3
已知Δ ABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
练习：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2， 则AD平分∠BAC，请说明理由。Nຫໍສະໝຸດ 2.在射线CM上取CB=a.
A
3.以B为圆心，c为半径画弧，
c
交射线CN于点A.
4连结AB .
MB a C
△ABC就是所要画的直角三角形.
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC的中点， DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，
则AB=AC。说明理由。
解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
B
1
A
D
2
C
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 ° ∴ B，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’ ∵ AB=A'B' ∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一） ∵ AC=A'C'（公共边） ∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'（SSS）
直角三角形证明全等的方法HL
直角三角形证明全等的方法HL要证明两个直角三角形全等，可以使用HL (Hypotenuse-Leg) 定理。
HL定理的基本思想是，如果两个直角三角形的斜边和一个锐角的一条边都相等，那么它们就是全等的。
下面我将详细说明使用HL定理证明直角三角形全等的步骤。
步骤1：首先，标记两个直角三角形的各个部分。
设我们要证明的两个三角形为△ABC和△DEF，其中∠B和∠E为直角。
分别标记△ABC的斜边为BC，直角边为AB和AC，以及△DEF的斜边为DE，直角边为DF和EF。
步骤2：观察两个直角三角形的斜边，即BC和DE。
如果它们相等，我们可以使用HL定理证明它们全等。
如果它们不相等，那么我们无法使用HL定理，需要考虑其他证明方法。
步骤3：假设BC=DE。
这是我们要证明的条件。
步骤4：观察两个直角三角形的直角边。
我们要证明的是∠B=∠E，即两个直角边相等。
为了证明这一点，我们需要找到两条边分别与斜边相连的角度。
步骤5：标记两个直角三角形的其他边。
标记∠C和∠F为两个直角三角形的有斜边BC和DE相连的角度。
步骤6：观察两个直角三角形的直角边。
我们要证明的是直角边AB与直角边DF相等，即AB=DF。
为了证明这一点，我们需要找到两条边分别与该直角边相连的角度。
步骤7：标记两个直角三角形的其他边。
标记∠BAC为直角边AB相连的角度，标记∠DEF为直角边DF相连的角度。
步骤8：观察两个直角三角形的锐角。
我们要证明的是∠BAC=∠DEF，即两个锐角相等。
为了证明这一点，我们需要找到两条边分别与这两个锐角相连的角度。
步骤9：标记两个直角三角形的斜边和直角边上的角度。
标记∠ABC为斜边BC上的角度，标记∠EFD为斜边DE上的角度。
步骤10：应用三角形的角度和定理。
根据角度和定理，每个三角形的角度的和都等于180°。
再次回顾所标记的角度：∠C，∠F，∠BAC，∠DEF，∠ABC和∠EFD。
每个角的度数加起来应该等于180°。
直角三角形的全等判定
A′
如图， 如图，在△ABC和△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=Rt ∠， 和 中 ∠ AB=A’B’，AC=A’C’， ， ， 说明△ 全等的理由。 说明△ABC和△A’ B’ C’全等的理由。 和 全等的理由
解：作射线OP 作射线
A
∵PD⊥OA,PE⊥OB ⊥ ⊥ ∴∠PDO=∠PEO=Rt∠ ∠ ∴∠ ∠ 又∵OP=OP,PD=PE ∴Rt△PDO≌Rt △PEO（HL） △ ≌ （ ） ∴∠1= ∴∠ ∠2，即点 在∠AOB的平分线上 ，即点P在 的平分线上
D P O E
B
角平分线的性质： 角平分线的性质：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ① 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 ② 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
例3 已知ΔABC如图，请找出一点P ΔABC如图 已知ΔABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹） 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
１．三角形全等的判定定理有哪些? 三角形全等的判定定理有哪些? SSS、 SAS 、ASA 、AAS 有两条边对应相等的两个三角形全等吗？ ２．有两条边对应相等的两个三角形全等吗？ ３．如果是两个直角三角形呢? 如果是两个直角三角形呢?
已知线段a、 ﹤ ，用直尺和圆规作Rt△ 已知线段 、c(a﹤c)，用直尺和圆规作 △ABC,使 使 ∠C=90° ，一直角边 ° 一直角边CB=a，斜边 ，斜边AB=c.
B C
B’ C’ A’
A
B C A
B’ C’ A’
直角三角形证明全等方法
直角三角形证明全等方法
宝子，咱来唠唠直角三角形证明全等的方法哈。
直角三角形可是三角形里比较特殊的一种呢。
有一种方法叫“斜边、直角边”，简称为HL。
啥意思呢？就是说如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那这两个直角三角形就全等啦。
你可以想象一下，直角已经是一个特殊的条件了，就像给这两个三角形定了一个小规则。
斜边和一条直角边都一样长，那这俩三角形就像双胞胎一样，肯定能完全重合，也就是全等啦。
还有就是普通三角形全等的那些方法在直角三角形里也能用哦。
比如说“边角边”（SAS）。
在直角三角形里，如果两条直角边对应相等，再加上它们的夹角（直角）是相等的，那这两个直角三角形就全等啦。
这就好像两个人，胳膊和腿的长度一样，而且站的角度也一样，那肯定长得差不多，在三角形里就是全等啦。
“角边角”（ASA）也适用呢。
如果一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，与另一个直角三角形的一个锐角和一条直角边对应相等，而且这两个三角形的直角也是相等的，那这两个三角形就是全等的。
这就好比两个人，脸上有个相同的痣（锐角相等），身体的一部分长度一样（直角边相等），再加上都是直立的（直角相等），那肯定是全等的啦。
“角角边”（AAS）也没问题哦。
如果两个直角三角形，有两个角对应相等，还有一条边对应相等，那这两个三角形就全等啦。
就像两个人，眼睛长得一样，嘴巴长得一样，身体的一部分还一样长，那肯定是相似的，在三角形里就是全等啦。
宝子，你看直角三角形证明全等是不是还挺有趣的呀？只要记住这些方法，以后遇到这样的题就不怕啦。
。
八年级数学下册 24.6直角三角形全等的判定定理教案 冀教版
24.6直角三角形全等的判定定理教学目标：1、熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等。
2、通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力。
3、通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性教学活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。
教学重点：直角三角形全等的判定定理，三角形全等的判定定理的综合应用。
教学难点：三角形全等的判定定理的综合应用。
教学方法：采用启发式和讨论式教学教学过程：一、复习提问：问：三角形全等的判定方法有哪些？SSS(三边对应相等的两个三角形全等)ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等)AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)2、有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等？你能通过画图说明理由吗？AAA，SSA如图，所示，举反例说明了它们不能判定两个三角形全等。
＇＇13、SSA不能作为定理的根本原因是什么？答：是AC不能固定，能够左右摆动。
4、要是我们能使AC只有一种情况，就能证明全等了，应如何办呢？答：过A作BC的垂线，则AC就只有一种情况。
如图：本节课我们学习两个直角三角形全等的判定定理（板书课题）。
二、探索新知1、直角三角形全等的判定定理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称：斜边、直角边定理或HL定理)（1）HL与SSA有怎样的联系？HL是SSA在特殊情况下的定理。
从这里我们可以看出定理是如何被“制造”出来的，这种“制造”定理的方法是，在一般情况下并不成立的命题，通过一定的限制条件，它也就成为了定理，今后同学们可以根据自己的需要“制造”定理，把作为我们私人的结论库来用。
有助于我们思维能力的增强和解题速度的提高，而在后面的几何学习中，我们也会看到有很多定理是这样被“制造”出来的。
24.6直角三角形全等的判定定理
编制人：崔立明审核人：使用时间：班级：姓名：小组：评价等级：
学习目标：
1、熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等。2、通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力。
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或学生笔记栏
（一）知识链接：（3分钟）
1.全等三角形的对应边---------------------，对应角---------------------
2.判定三角形全等的方法有：——————————————————————
（二）新知初探（15分钟）
（1）两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?（不全等画图举出反例）
B 4.如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， ， ，则 ＝___________ ．
B 5.如图，已知在 中， ， ．
求证： ， ．
2
1
3
4
学习反思
（2）如果其中一边的所对的角是直角呢?请证明你的结论。（先画出图形再写出已知求证，并应用严格推理证明你的结论。）
（三）学以致用（10分钟）
例已知：如图，BD⊥AD，AC⊥BC，点D，C分别是垂足，且AC=BD。求证：AD=BC。
三、预习检测（10分钟）
试着完成教材137页练习1,2.习题1.2
四、达标测评
(3)________( )(4)________( )
A 3．判断题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)有两条边对应相等的两个直角三角形全等。( )
(2)一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等。( )
直角三角形全等判定hl证明过程
直角三角形全等判定hl证明过程在几何学中，全等三角形是指具有相同边长和角度的两个三角形。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
本文将通过证明过程来证明直角三角形的全等判定条件hl，即如果两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等，则这两个三角形全等。
证明过程如下：假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A、∠D为直角。
已知AC = DF，BC = EF，AB = DE。
我们需要证明三角形ABC ≌ 三角形DEF。
证明步骤如下：步骤1：根据直角三角形的定义，我们知道∠A= ∠D = 90度。
步骤2：根据已知条件AC = DF，BC = EF，我们可以得到两个等式。
步骤3：根据三角形的边-角-边（SAS）全等定理，如果两个三角形的一对角度和它们对应的两对边分别相等，则这两个三角形全等。
步骤4：根据步骤1中的结论，我们知道∠A = ∠D = 90度。
根据步骤2中的已知条件，我们得到AC = DF，BC = EF。
步骤5：根据SAS全等定理，我们可以得出三角形ABC ≌ 三角形DEF。
通过以上步骤，我们证明了直角三角形的全等判定条件hl。
全等三角形的概念在几何学中非常重要，它可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行进一步的推导和计算。
通过掌握全等三角形的判定条件，我们可以更准确地分析和解决这类问题。
除了全等三角形的判定条件hl，还有其他几个全等三角形的判定条件，如SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）等。
这些判定条件在不同的情况下具有不同的适用范围，我们需要根据具体的问题选择合适的判定条件。
在几何学中，证明是非常重要的一部分。
通过证明过程，我们可以推导出几何定理和公式，从而解决各种几何问题。
在证明过程中，我们需要运用各种几何知识和推理方法，如等式、等角、全等、相似等。
通过不断练习和思考，我们可以提高自己的证明能力，更深入地理解几何学的原理和概念。
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复习回顾
三角形全等的判定的判定方法
公理:
1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 2、两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）
定理:
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）
情境问题1:
A
∠B=∠F=90°
D
B
C
E
F
可判定全等； 可判定全等； 可判定全等； 可判定全等；
情境问题1:
图中舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三 角形是否全等，但每个三角形都有一条直 角边被花盆遮住无法测量,你能帮他想想办 法吗？
学习目标与重难点
学习目标 ： 1. 掌握直角三角形全等判定定理的证明和它的 简单应用。 2.初步培养综合运用知识解决问题能力，进一 步提高推理能力。 3.培养思维的多样性。 学习重点： 直角三角形判定定理的证明。 学习难点： 直角三角形判定定理证明的灵活运 用。
∴∠ABC+∠DFE=90° （等量代换）
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： SSS ； (2)： SAS ；
(3)： ASA ； (4)： AAS ；
(5)： HL ；
拓 展 延
伸
1、如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发， 以相同的速度分别沿CD、CE方向行走，并同时到 达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，路段 AD与路段BE的距离相等吗？为什么？
这两个直角三角形全等吗？
A
DBΒιβλιοθήκη CEF你能用学过的公理验证吗？
HL定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等 已知：如图24—20，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF． 求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
(1)如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. D 求证：BC=AD.
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD（已知） ∴∠C=∠D=90°（垂直定义） 在Rt△ABC和Rt△BAD中，
A
C
B
AB=BA（公共边） AC=BD（已知） ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD （HL）
∴BC=AD（全等三角形对应边相等）
(2)如图，有两个长度相同的滑梯，左 边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向 的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
①若测得AB=DF，∠A=∠D， 则利用 ASA ②若测得AB=DF，∠C=∠E， 则利用 AAS 则利用 AAS ③若测得AC=DE，∠C=∠E， ④若测得AC=DE，∠A=∠D， 则利用 AAS ⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE， 则利用 SAS 可判定全等；
情境问题2:
工作人员是这样做的，他只用皮尺测量了每个三 角形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分别对 对于两个直角三角形，若满足 应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等 一条直角边和一条斜边对应相等时， 的”。你相信他的结论吗？
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF C ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中 ＣＥ＝ＢＦ ＡＢ＝ＤＣ D F A E B
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
∴ＡＥ＝ＤＦ
议一议
请说明理由。
∠ABC+∠DFE=90°
解：由题意得AC⊥AB,DE ⊥ DF,
在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∵ BC=EF AC=DF （已知）
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
又 ∠DEF+∠DFE=90°
（直角三角形两锐角互余）
证明： 相等 ∵DA⊥AB，EB⊥AB（已知） ∴∠A=∠B=90°（垂直定义） 又∵C是AB的中点（已知） ∴AC=BC（线段中点定义） ∵DC=EC（已知） ∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB（全等三角形的对应边相等）
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.