高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故
/, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr.
fh i)i
又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2
+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy 1)：
从而得
/, = 4/2.
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y)= -f(x,y) ,P J
jf/(x,y)da =0；
D
如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则
=0.
D
«3.利用二重积分定义证明：
(1)jj da=(其中(7为的面积)；
IJ
(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；
o n
(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)
2，，A 为两个
I) b\ lh
尤公共内点的W K域.
证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,
=l i m cr= a.
A—0
n
(1)Ji/(x,j)(Ic7=lim^
i)1
n
=A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k \\f{x,y)Aa.
A-°台•{!
(2)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限
总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为
^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,.
/)(U0, ", l)：
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得J
f(x,y)i\a=j j f(x,y)d a+J J/(x f y)
d a.
p,un} V, n；
Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«l y达到最大值.
I)
解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v2 -V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当£»是椭圆2/ +y2 = l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=
D I)
1所围成；
(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=
t) n
2所围成；
(3)I'm A；+y)(l o r与!"[I n(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，
三顶点分别为
l)"
(1，0)，(1，1)，(2,0);
(3)J p n(:r+y)d c r与I n(:t+y)]2f W，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡
1 .
i) i)
解(1)在积分K域0上，故有
(x + j) 3 ^ (x + y) 2.
根据二重积分的性质4，可得
J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)
0D
由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V+ •、彡1 1内，故在/)|:&(.f + y) 2彡(A + y) 3•从『("• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) \l f r.
(1)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)
上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此
j j[l n(a:+y)]2(J o-^+y)d
(2)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有l n(x+y)
彡1，从而：I n(-v+)')]2彡I n(:c+)').因此
Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.
i) a
3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：
(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y) 1,0 1|；
n
(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;
i)
(3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；
it
(4)/=J(x2 +4y2 +9)do•，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|.
I)
解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此
(2)在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0
的面积等于TT2,W此
(3)在积分K域"上有\^x+y +\«4,/)的而积等于2,因此
(4)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有
9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25.
34I)的酣枳等于4TT，W此
36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.
二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分:
可编辑
l<3x 十2) ;dcr ，其中"是由两坐标轴及直线-X - + v = 2听围成的闭区域； b ( 3 J jj( x J + 3x 2 \ + v 3 ) da ，其中 D = ( x , v ) 0 ^ A : ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ； u ( 4 ) jjxcas( X + Y j do ■，其中Z >是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )
的三角形闭
区域. m (1 x 2 4- V 2 )d(T = f dxf (X 2 -h V 2 ) d V dx j fh 2 D 不等式表示为 2 r 2 -x 3xy +y 2]l~x dx =| (4+ 2x - 2x 2 ) dx 20 3(+ 3x 2y + y 3 )da = d > (文3 + 3.r 2 v +、、)ch . + x y + v " JC di (4) l )可用不等式表示为 0 ^ V ^ A ： , 0 ^ .t ^ 7T . 于是 |A :COS (JC + y ) da = I cos(.v + v )d I [ sin (.t + y ) ] Q ()^ = J V ( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v ) 卜( 1X (-
TT r T X cos .v - —rus TT. & 2. _出枳分ix:域，斤i 卜r): v 列m 分:
x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).
0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图
10-3),
(2)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；
D
(3)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；
I)
(3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)•)||A；|+|J|^1!；
D
(4)|"U2+/-x)<lo•，其中D是由直线y:l、y二xh :2*所围成的闭区域.
D
解(1)0可用不等式表示为
于是
(4)D可用不等式表示为
(3)如阁I()-4，W=/\U"2，其中
/>1= \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,
I)2=\(x,y) |*-1 +
因此
Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/(x，v)是两个函数/](O及)的乘
n
积，即/(X，y) =f\(x)./“y)，积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即
|*/|U) -/2(r) fl atl y = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-
证Jj./1(x)•.,2(/)dvd V~J[f J \(v)■ ./：t^]l^x*
在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)•/2(.V)d v中,./,(A.)1J fu
t变招:、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T
可编辑
fix
/ = j [ dy ^/(*，y )tk .
而在这个积分中，由于f/2 (y ) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到
• f 2<,y)^xAy= [| /2(y )dj ] - [ J n /, (x )dx ]
证毕. ^4.化二重积分
/ = Jf(x ，y )da
I)
为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是:
(1) 由直线及抛物线y 2 =4x 所围成的闭区域； (2) 由x 轴及半圆周/ +y 2 =r 2(y 英0)所围成的闭区域；
(3) 由直线y =x ，；c = 2及双曲线：K = ^-(*>0)所围成的闭区域；
X
(4) 环形闭区域 IU ，y ) | 1
+y 2^4(.
解(1)直线y =x 及抛物线y 2 =4;c 的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是
f(x,y)dy,
(1)
将/)用不等式表示'fyO^y^r 2 -x 2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先 对y 、
后对*的二次积分：
r
/ = J (1文J
f(x ,y)(\y ；
如将0叫不等式表示为~Vr 2 -y 2^x^Vr 2 - y 2 ,0各/•，则可将/化为如卜的 先对*、后对y 的二次枳分：
可编辑
dr x,y) dx. (3)如图 10-7. :条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y 和
(2,2).于是
dy (i_/(^,y)
+ tlj /( x ,y)
dx.
dx
• \/4
J\x y y)dy + d.vl
(1%
/T
/(A ：,y)clr + d.vl ■ y A -x 2
/(.r ,v )d > -f
/(.v V v ) dv .
/(.v ,v )d.v -f
.\/4
-、 /( \ , > ) d.v
-f
厂、/4 -、•'
•I
-v^ W"
/( v , y) (l .\.
| dxj[f(x,y)dy.
注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情
况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y 、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.
需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y )的特点.具体例子n ]'见教 材下册第144页上的例2.
(4)将D 按图10 - 8( a )和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得
x ,r) d.t.
(5) (lx\ f{x,y)Ay\
广2 f yix -x2
(4)|叫2f{x,y)dy-,
fix /-sin x
(6)I Ax\J(x,y)Ay.
JO J - siny
图10-8
,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区域，证明
dx| f(x,y)Ay
证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）d o•，因而它们相等.
I）
^6.改换下列二次积分的积分次序：
(2) J) dj|：f(x,y)dx；
解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o =丨h，y）1° ^ ^ ^
r-
"
0 ^ j ^ I（. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣y矣 1，0 ^ ^ I | （罔 10 - 9）,于是
原式=丄<ixj/(x,y)dy.
(3)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山，.K:中/)=I|.y2^^<2y,
0 ^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬 1 1(> - I0)，W此
原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.
-y 2
^
.V ^
1
$、飞 V 彡1
(4) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v .v ) | - V 1
U
X ^ J 1 - y 2 ,0
彡 >•彡 1 ; •又 D 可表示为：(JC ，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r 2 , - 1 = (图
10 -11)，因此
f 1
f V 1 -X~
原式=J ^ dxj
/(x , v )dy .
(5) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v .v ) ' 2 -
h
s/lx - x 1 %\ 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(A :,V ) | 2 - 1彡.t •彡 1 + Y 1 — v 2,0 : (图 10 -12)，故
原式=丄 d)j f(x %y)dx.
(6)
所给二次积分等于二重积分］|/(.10 )(1^,)1:中/)= 1(.v .v ) | 0 ^ v ^
I)
x 彡e | •又/)可表示为| ( A :，＞•) | e 、彡A •彡e ，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故
原式=L (I .、| ,./X .、，.、) (l .v .
m1()-14,将积分|><:域/)丧示为/),U/)2，其中A),=j U，、)|arcsin>^
可编辑
/(x,y)dx. y
广 1 r ir - arcsin > 原式
=I
dy
f(x y
y)c\x
JO Jarcsin )
T T - arcsin y ，0彡 y 彡 1 |
1
,D 2 = | (.r,
y)
一 2arcsi n , 一 1 彡)'彡0|.于
是
rt
-x + xy
dr
Ay
~d\ c\) ''i x E | o»•Y = s i n A
的反闲数足
A = i i r r s
»M
y- -1 x
足ih y - H in x = sin ( T T - x) "n!J TT - x ^ ar cKin y,从ifii 得反闲数 ^
(子•中，TT
T T - iin-Hin
y.
^7.设平面薄片所占的闭区域D 由直线;t = 2，y = 和;r 轴所围成，它的面密度
/x (.t ,v ) = x 2 +y 2,求该薄片的质量.
解 D 如图10-15所示.所求薄片的质
M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x 2 + y 2 ) dx
r[+(2”)3+2,
12
| 冬| 10 - 15
8. i |灯|l |四个平而A ： = 0，y = 0，;t = I ，v = I 所闲成的柱休被平面z = 0及2.r +
3y + z 6藏得的立休的体积.
V - (I 6 - ^ x 2 + y 2
) dx(\y
6 ( 1 - x ) - x 2
+
——f 1
\1_
6
"*
10-17
m 10 - 18
解 江力一 E J .它？？芪是；c 0:. S 二苎泛7：省•。

=
X .；, 0矣二矣
0^；. €1 .了是芒
-2x -3:. F 10 - ]6 . g -护
不
二
歹
l = |( 6 - 2J ： - 3;. dxd v = dx 6 - lx - 5 •. d'.
Sa 9.求由平面a : =0,y = 0,^ +:，• = ］所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c :，:.： =6 - :
£. 得的」/.体的体积.
解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv 面上的闭区域D =
. 0 «^ 1 -：，.
，顶是曲面 Z=f)-<x 2 +y 2 )(^\ 10 - 17 >，故体积
广 1
广 1 -戈
dx^ ( 6 - x~
H.r
/-2TT
这10.求由曲面+ 2/及z =6-2x 2 _y 2所围成的立体的体积.
_ 2^2
解由= T +'}
' 消去z ,得;c 2 +y 2 = 2,故所求立体在面上的投影 U = 6 -
2x 2 - j 2
区域为
D = | (x,y) | x 2 + 〆矣2| (图 10 - 18). 所求立体的体积等
于两个曲顶柱体体积的差：
V =
( 6 - 2x 2 - y 2 ) dcr — x 2 + 2y 2 ) dcr
l)
I)
=JJ (6 - 3^r 2 - 3y 2 ) da = jj( 6 - 3p 2 )pdpd0
d0[ (6 - 3p 2 )pdp = 6TT .
注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识•
y 11.両出积分区域，把积分J [/(A ：，y )d ;cd y 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分
区
U
域D 是：
(1 ) \ (x y y) \ X 2
+ y 2
^ a 2 I (a > 0)；
| {x y y) \ x 2 + y 2 ^ 2^| ；
| (x,y) | a 2彡 x 2 + y 1 彡62 |，其中0 < a < 6; j (x y y) | 0 ^ j ^ 1 - x,0 ^ x 1 | .
解(1)如图10-19,在极坐标系中，0= |(p ，0) | 0彡p 彡a ，0彡(9彡2TT 1，故
^j\x,y)AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0
/-2tT
r<l
(1^1 /(pcos 0，psin 0)pAp.
(2)如图10-20,在极坐标系中，
l ) = (p ,0)
jjy(x，y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdO
i)i)
-y* y.2co H 0
=J,d^j)/(pros0,psin6»)p<lp.
(3)如图10-21，在极坐标系中，/)=\(p,6、彡p彡/),0彡0彡2T T,
故
= J/(pcos 0,psin 0)pdpd0
/-2-
I T(id/(pros0,psin0)pdp.
(4)D如图10-22所示.在极坐标系中，直线x的方
程为p
sin 0 + cos 0
—于是
sin6+cos62J f(x ,y)dxdy =jj/(pcos0,psin6)pdpd0n
V
C，in • n«
^/(pc os0,psin6)pdp.
)\
p=b
(r P=^\
—b l—aV
O
jy h x
10 -22
图
10-21
12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1)丄心丄/(D'H I V;
2>/3\
(2) (|.v f /(/r' + v2)<l»:
|(pyO)
(P，e)
原式
解(1)如图10-23，用直线7=*将积分区域£>分成£>1，102两部分：
{(p,0)
(p,e)
于是
l-X ,sec 6rY rcsc 8
原式=[d0[_ /(pcos 6,psin 6)pdp+L d^l /(pcos 0,psin d)pdp.
(2)D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r=^x(x^0)的方程分别是p =2sec 6,6=•^和0 =•因此
0^p^2sece,f^6^f}.
又f(Vx2+y2)=f(p),于是
f-Y y.2sec 0
原式=d0j)/(p)pdp-
(3)D如图1()-25所示.在极坐标系中，直线；K=1_x的方程为P=
------1----，圆;K = -/l - x2的方程为p = 1 ,因此
sin 0 + cos 6
sin 0 + cos 6
于是
/(pcos 6 ,psin 0)pdp.
/)如图10-26所示.在极坐标系中，直线*=1的方程是/>=s e c心抛物线y=/的方程是psin0=p2c:os2(9,即p=tan伽e(.0;从原点到两者的交点的射线是沒=
可编辑
rT r ser 0
D = < (p ，6)
7T
于是
Jlan O^ec 0
原式=[d 沒 /(p cos 6,p sin 6)pdp.
("A
.s/la
x
‘A ： +
y 2) d j ；
rti .v ；
(3) [ dx i(x 2
+ /) -了dy
(4) d >
(.r 2
+ y 2
) C I A
解（1）积分区域D 如图10-27所示.在极坐标系中，
0= ip,6)
0^p ^2aros 0,0 ^ L
于是
r 2
/*2fl<'OS f)
/• j •- *4
原式=i de i p 2 '
pdp =
i
4a A [ c(、s 4
0(W = 4a A
IT
i\0
注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin '4如和j / ,-os ^,）^. |M 此
i 己住如下的结果是有益的：
r // - I ^ - 3 3 I TT 、j , - /…似 •
r
...... ........ ...... 了 • • T "， n 匆 I [.偶数，
（2） m 10-28,在极坐标系中,
TT
i 13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
于是
0 ^
^ tan Osec 0,0 ^ f)
J -
T
/-rtsec 0
d6» j ) p - pAp = yj ^ sec J 6»d6>
=-—[sec ^tan 6 + ln( sec 6 + tan d) ] 4 6 o
=~~[
+ ln( J2 + 1 )].
o
( 3 )积分区域D 如图10 -29所示.在极坐标系中，抛物线y =X 2的方程是psin 沒 p :cos 2
沒，即p = tan 6 sec 0;射线y =A ；(:t 彡0)的方程是0 =子，故
"=\(p,0)
寸:是
x.|an Unt-r 0 j
原式= 7'p
，lp
tan 沒sec . 0(\& = \ sec * 0] 4 - y/2 - \.
i
(4)积分区域
(p,e)
[;(w f,-p^p=f-^r-f a'
原式
114.利用极坐标计算下列各题：
Ife^^da,其中£»是由圆周;c2+y2=4所围成的闭区域；
I)
|ln(l+x2+/)d C T,其中D是由圆周:t2+y2=l及坐标轴所围成的在第一
I)
象限内的闭区域；
(3)Jarctan—da,其中D是由圆周;c24-y2=4, .r2+y2=1及直线y=0，、
=
D
x所围成的在第一象限内的闭区域.
解(1)在极坐标系中，积分区域I(p,0)|0矣p彡2,0<0矣2TT;，于是
fT〆”'-, ^ ■ - r2^ … r2 ^ ， re〆1
d(j p dp (\0AO I e p 9p dp =2TT TT( e - 1 ).
(2)在极坐标系中，积分区域
TT
j-I
[ln(1+ x2+ j2)do*=jj l n ( 1 +p2)•pdpdd=d0 f ln( 1 + p2)• pdp
n
y T J
ln(1+p2)d(1+p2)
子[(1+p2)ln(l+P2)|'-j^pdp]
TT (21n2-1).
(3)在极坐标系中，积分区域0=(p,0)于是
TT
TT •1——l, arrlan
^da=丄
d^:^jdy
= |( - x +
x3)dx =
I)
二
原式
p(|p =f“7^r l p—
TT
i i l5.选用适当的坐标计算下列各题：
其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域；D y
|^/|~，其中/＞是由圆周;c2+/=】及坐标轴所围成的在第一
象限内的闭区域；
(3)J (x2+)2)如，其中/)是由直线7=：1，7=1+61，7=61，7=30(^1＞
0)所围成
D
的闭区域；
(4)|y x2+y2d(r，其中£＞是圆环形闭区域丨Uj)丨a2矣/+y2^b2\.
解(1)Z)如图10-30所示•根据/)的形状，选用直角坐标较宜.
D =\(x y y)
r2
(2)根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
(p,0)
7T
/-2T T
x 2 + y 2 da = ||p • pdpdO =
[ dO p 2
Jp
b 、- cr ).
(77-2).
（3） D 如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜 采用先对^后对y 的积分次序.于是
jj ( x 2 + j 2 ) dcr = J dy ( x 2 r 2 ) d.\
lay 2 -
a 2y -f -
—Idy = 14o 4.
2TT m — ( b' - a
Sal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（0矣0莓j ）与直线0 =;所
围成，它的面密度为M （x ，y ） =x 2+y 2.求这薄片的质量.
解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二車:积分（[?] 10-32）.即
m K ) -3：
Jj ]u (x ，;y)da ^ x 2 + j 2 ) da
TT
pdpdO [、T
O P
二4[ ' = ^r . Jo 40 cM 17.求由平面y = 0，)• =
/： >0 ) ,z = 0以及球心在原点、半径为尺的上半球面所围
成的在第一卦限内的立体的体积. :arctan h ,
y 2da = | yw - p 2pdpd0
p 2p (i
p
=a •(- d 18.计算以.rOy 面上的圆周:t 顶的曲顶柱体的体积. 解如图10-34,设
arct an k. 2 ■ y 2 = ax 围成的闭区域为底，而以曲面2 =*2 + /为 - I (x,y) | 0 ^ j ^ / ax -A :2
,0 ^ A : ^ a | =
|(p ,0)|O ^p ^ acos 9,0 0 ^ 由于曲顶柱体关于面对称，故 V = 2 ff ( x 2 + y 2
) (lid )
^ facoa 0 2J]p 2 • P^P^O 二2丄 丄 p\\p 2
4 2
2 32
|冬MO -33
-Tin f?-| 1() -34
注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也能减少错误•
^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：
（1）J（x-y）2sin2（x+y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是/）
（7T，0） , （2T T,7T），（7T，27T）和（0，TT）;
（2）J x2d.v d y，其中是由两条双曲线w=1和X）=2,直线）=.r和y=4A•所1）
围成的在第一象限内的闭区域；
（3）（f e5d.rd y，其中£»是由.v轴、）■轴和直线.r +.r =l所围成的闭区域；
解（1）令^=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： = - ~2~'在这变换下，的边界I-y =- IT ,x y =IT ,x - y = TT ,x + y = 3ir依次与u =一TT，r =TT，u =TT，？； = 3T T对应.后者构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）'的边界.于是
（图10-35）.
D'=\{U,v）
*)^si
ir(v
+>)<1
vd、
3 (.'，，V) <l(u ,v)
i\m\i
IT
4
(2)令 W = A ：y ，=上，贝Ij A ：
因此
1 ■Ju
d(x,y)
2 y~uv
2 d(u,v)
fv
■Ju
2 Ju 2 Jv
fj^2y 2 dxdy -h 2
-
-—dudv = 2v
2v
—dv v
v {
1
D. 一
2
Y L U
\/uv-在这变换下，D 的边界xy = 1，y =^，叮=2,
)= 4x 依次与u = \J v = \,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D 对应的闭区域 "
的边界.于是D 1 = \(u,v) | 1彡a 彡2，1彡i ;彡4丨(图10 -36)•又
阁 10-36
(3) ^ u = x + y ,v = y x =
= 则在这变换下，/)的边界7=0，％=0,
% y - \依次与r = ()，a = ^，w = 1对应.后者构成wO ?;平面上与D 对应的剛K 域/J 的 边界，于是
D' = \ (u y v ) \ 0 ^ V ^ u,0 ^ u ^ \ \.
又
y = f |^|='—丨
因此 \^ef^(\xAy = JJ e 7du dv = ^ (Jw 丄 e T d f’ =丄 u( e - 1 ) C J M
i) o'
= +
(e
-".
1 卜］ I T \JL sin 2v'
T .y . L 2
4^-
2
d w sin 2f ；dy
acos 0 — apsin
6
bs'm 0
bpcos 8
a bp.
1*20.求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积：
（1 ） 0是由曲线xy = 4，xy = 8，xy 3 = 5 , A ;J 3
=15所围成的第一象限部分的闭 区域；
:
围成的第一象限部分的闭区域.
^,7 = 在这变换下，与D
(2) Z )是由曲线 y=?，y = 4/ ,x = y ,x - 4y J
所 解(1 ) u = xy ,v = xy 3
( a :彡0，y 彡0 )，贝lj x 对应的
uOi ;平面上的闭区域为D' = | (u,v) | 4 ^ ^
/ -心，y ) _
；
8
,5 15 !
.
d(u,v)
rr 1
If 8
i
—(hid ?；= :丄心 JJ 2v
2 j4
1
JJdxdy
j = d(x,y )= d(u ,v)
于是所求面积为
/I = || dxdy
-u 8
v
■T
(l/vd
r
~T
u ' i\ll {x = apcos 0,
. ((2>0，/>>0,/)彡0,0彡沒彡211).在此变换
y - bp sin ❹
下，与D 对应的闭区域为“二丨
（p ，0） | 0彡p 彡1彡2TT 1 .又
j d （x,y ）=
"
d （P ，
e ） '
% ^ \ rr ~ TX r 1
'—Z + ^- dxdy =〆• abpdpdd = ab I I p ’dp = —abir.
于是所求面积为
15 1
—dv - 2In 3. V
（2）令 ■（:r >0，y >0），贝lj x = u~T v~T ,y = u ~T v ~r .在这变换下，
与
x J y'
D 对应的aOr 平面上的闭区域为D '=丨（《.，/，）| 1彡w 彡4，丨彡r $4 | •又
Ea *21.设闭K 域《是I h 直线i + y = l , .r = 0, v = 0所闱成，求证
I.
因此有
^-y) x + y) dxAy D '=
d(x，
y)
d(u,v)
T I
2
-dad
7；
Av I cos—d a
J-v v
\i v
dv
证令u二:c-y，r=A:+y，贝lj x在此变换下，D的边界x+y=1 ,
a=0,y=0依次与v=1，u+y=0和v - u =0对应.后者构成aOt;平面上与Z）对应的闭区域Z）'的边界（图10-37）•于是
v sin 1 dv = —sin
h 2
证毕.
^ • 22.选取适当的变换，证明下列等式：
(1 ) jj/(x + y)<ix<\y = J t/(u)du,其中闭区域O = | (x,y)| | a： | + | 7 I ^ I I ;
I)
( 2 ) jj/( ax + by + c) dxdy = 2J ^ -J 1 - w2/( u sj n2 + If2 + c)i\u,其中’)=\ (x ,y)| i>
X2+y2^1|,R«2+b2^0.
证(丨)闭IX域"的边界为x+y=-\,x+y=\,x-y^ - 1- y =
1，故令〃=z+y，《；=文-y，即*=+，:K=Y•在此变换下，"变为》汍平血丄的闭1只:域
可编辑
——dwe ll ； 2
于是 3“，y )
d(u,v)
f —/■㈤
d
“/_
dr /( u ) du.
y/a 2 4- b 2 a 1 + b 2
d(u y v)
(I // ,
./r
-/rv
/( u \/n 2
+ /〆 + <•) dr
J/O + y)dxdy = Jf (u )
i) o'
证毕.
(2)比较等式的两端可知需作变换
u ya 2 + b 2 = ax + by, 即 u =似 + j _ •
Va 2 + b 2
再考虑到0的边界曲线为x 2 +y 2 =1,
故
令
这
样
就
有
u 2 + v 2 =1，即D
的边界曲线/ +/ = 1变为uOv 平面上的圆u 2 +v 2 =1.于是与D 对应的闭区域为 D' - ) (u ,v) \ a 2 + y 2 ^ 1 | .
又由的表达式可解得
au + bv
bu - av
x
= .
因此雅可比式
b 2
sj a 2 + b 2 v /a 2 + I)2
于是
jj/( ax + by + c)dxdy =
u /a 2 + b 2 + r) | - 1 | du dv
、/ 1 - ii!j{ u \/+ /广 + c) ih /.
证毕
可编辑
(4)由曲面cz=xy(c>0),~+,z=0所
围成的在
第一卦限
内的闭
d.r
三重积分
w1.化三重积分/=j|y(.t，y，z)ckdydz为三次积分，其中积分区域/2分别是:
n
由双曲抛物面及平面x+y-l=0，z=0所围成的闭区域;
由曲面z=+72及平面z=i所围成的闭区域；
由曲面-n2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域；
区域•
解(1)的顶和底面z=0的交线为x轴和y轴，故在面上的投影区域由.r轴、y轴和直线x +y -\=0所围成.于是/2可用不等式表示为
因此
Ay I f(x,y y z)dz.
(2)由z=x2+y2和z=1得x2+y2=丨，所以/2在xOy面上的投影区域为x2+)'2
矣丨(图10-38)./2可用不等式表示为
;t2 + y2矣 z 矣 1 , - s/\ - X1矣 >.这y/ l - X2 , - 1 矣；C 备 1，
因此
+ 2
.f(x,y,z)c\z.
(3)+'，消去2,得丨+y2=1•故/2在面上的投影区域为.t2+
[z=2-x2
/霉1(图10-39)•于是/2可用不等式表示为
A:2+2y2^z€2-X2,-」\-x1^j^J\-x2,-I^A:«1,因此
r1r/• -x2f2 ~*2、，
/=/-.dX/-/rr7r^/^2/(jC，y，2>
可编辑z=2-x1
图10-38
图10-39
图10-40
显然在;面上的投影区域由椭圆~+~=1(.r彡0o'彡0)和.v轴，v
轴
U b
所围成，的顶为c Z=A：y，底为Z二0(图10-40).故/2可用不等式表示为
因此
注本题中的4个小题，除寒2小題外，的图形都不易|明出.flJ.是，为确定次枳分的枳分限，并非必须画出i7的准确图形.重耍的是要会求出作坐标曲I..的投影区域，以及会定出的璃和底面，而做到这点，只需掌抿常见曲而的；;•稈和m if;
特点，并具备一定的空间想象能力即可.木草题解中:配了较多插阁，沾汝m观察，这对培釋牵间想象能"是存好处的.
2a 2.设有一物体，占有空间闭K域= 1 ('v，：)|(.)矣.》•矣I .0莓)琴1.()n 1 ; ,(x,y,z)处的密取为f)(x,y,z) = \ +\ +;, ||^：该物休的吨1|1:.
解M - jjjpd.vd \ (b = | (|.\ | (I t | ( v + \ +
可编辑
dx
d.r
j dx
lck
i 5.计
算 Jxy 2 z^1 ilxdydz = ^ xdx jf y 2
(ly 丄 dz
.,其屮 /2为平而.t =o ，y = o ，z =()，* + r + ^
djjdydz 所闹成的
Jjj ( I + x + y + z)
四面体.
解 n = I (x ,y ,z ) I I - AT - 7,0^7^ i -*，()《“ 1 I (阁 1(> _42
) ’十坫
m <lx,\v<h
r ' r
''x 广1 (lz
d x I (\y
1 + .T + y + 2)3
X +
T + Yr
3.如果三重积分|[/( x,y,z) dxdydz 的被积函数/( x ，y 〆)是三个函数/, (*)，/2 ( y )，
n
/3U )的乘积，即/(x ，y ，z ) =/丨(x)f 2(y)f 3(z)，积分区域I (x,y,z) \ a^x^b ,c^ )矣dzm :,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
fff/i (x)f 2( y )/3(2) dardrdz = [ f^x) Ax [/2(j)cly f f 3(z)dz.
Uf/i (x)f 2 (y)h(z) dxdydz n
=
HI (I /1 (*)/2(3^)/3(2)^)^]' =
J Ji (f ,(^)/2(y) - jf /3“)心卜]1
=I [ (|73(^)^)* (l /,(^)/2(7)^)]'
=({ ,3(z )d 2). {, [/々)-l r /2(y)d y]d x
ptn rd rlf
=I /3 (2) dz • J /2(r)dr • j u f\(x)dx =右端.
. 4.计算jjjx }.2z 3 dxdydz ,其中/2是由曲面dy ，平面y = :t ，x = l 和z=0所围成的闭
K 域.
解如图]0 _41 可用不等式表示为
0 ^ z ^ xj , 0 ^ y ^ x , 0 ^
^ 1.
可编辑
dr
[-
8 2( 1 + x + y)2 - / ------------ \
112
vr
(1A
4
图 10 -42
iii 6.计算HxyzAxdyilz.其中为球面/ +.V 2 + z 2 - 1及二个坐标面所围成的在第
n 卦限内的闭区域.
解法一利用直角坐标计算.由于
f i = I (x ,y ,z ) | 0 ^ z ^ /1 - x 2 - y 2 ,0矣 y 矣-J 1 - .r 2 ,0 ^ .v ^ I | ,
故
:(1:
x d x y( > -
v( 1 一 .'•*■)、l v =
YJ- 4o
解法二利用球面光标计算，「ii 于
"=| (
I 0 ^ r $ I ,0 « ^ ^ ^,0 ^ ^ ^ ^
xdx
xdx
故在；cW 面上的投影
fx:域o
fl = I (x,y,z)
jjjxyzAxdyAz = jjj (r 3sin 2屮cos <psin Ocos 0) • r 2sin (pArA<pA6
sin 0cos 8d6 I sin 3^>cos (pd(p I r 5 dr
注比较本题的两种解法，显然用球面坐标计算要简便得多，这是由本题的积 分区域的形状所决定的
.一般说来，凡是由球面、圆锥面等曲面围成时，用球面 坐
标计算三重积分较为方便.
"cji 7.计算jjjxzdxdydz,其中是由平面z =0,z =y,y - 1以及抛物柱面y = x 2所围成的闭
n
区域.
解法一容易看出，的顶为平面z = 7,底为平面^=0,在Wy 面上的投影区 域
0…由y =l 和7=/所围成.故可用不等式表示为
0备 z 莓 y,x 2 :S y 矣 1,-1 筅 x 矣 1.
因此
jjj xzdxdyd2
解法二由于积
分区域关于yOz 面对称(即
若点U JJ ) £/2，则(-tyj )也 属于/2)，且被积函数*2关于*是奇函数(SP ( -x)z= -(a ))，因此
j^xzdxdydz = 0.
la ».计算 jjjzdxdydz ，其中 /2是由锥面 Z = ~^A 2 +y 2与平面 z = /i (/? >0，/i >0)所_成 的
闭K 域.
解法一fh z =去+y 2与z = h 消去z ，得 x 2 +r 2 =
R\
、=\ ( x ,y) \ x 2 + y 2 ^ R 2 \ (1^1 10-43)，
去 y/x 2 + y 2 ^ z ^ h,{x,y) e O XJ J -
J 二是
sin 2
汐
IT
~2~
r
• 4 . sin cp
2 0
4 0 U J " ~6~ =
-j ：dz
2
h 2
R 2
/i z jda ：dj
TT R
;(x 2 + y 1) H (
h^_
2R 2
dxdy x 2 + y 2 ) dxd) [ 60
l P }d P =
\^2h 2
.
于是
-7T
h 2
4/
r
zd.rd yd 2 = dxd y
解法二用过点（0,0,2）、平行于.rO y 面的平面截得平面圆域0:，其半径为
，面积为(图10-43). O - | (x y y,z) | (x,y) e D z ,0 ^ z ^ h \ .
jjjzdxdydz = zdzjjdxdy n i),
R 2k 2.
注解法二通俗地称为“先重后单”法.即先在D : I ：作关于.V 、、的二氓积分.然 后再对^作定积分.如果在02上关于.t 和v 的二重枳分易于计算，特別地.如來被枳 函数与x ，y 无关，且R 的面积容易表达为
2的闲数，则采HJ 这种//
法比较尚使.
*解法三用球而坐标进行计算.在球而坐你系中，N 锥面：=7
+
7的
力
A
=arcl an 了 j ，平而：的力• ft! A r = /，ser 妒，闪此 17 "j & 'h
为 0 ^ 0 2 T T ,0 ip
a , 0 ^ r ^ //s e r if.
于足
d(p
CTT f a
d01 cos (p si n (p r f t
/i 4
si n (p 4cos' ip
r 3
dr
irh 4
r a d( cos <p)
COS
(p
irh 4 , I -' 代入 Q ： = arct an
cos a
60 p(2 -p 2
jjjzdxdydz = Jjjr cos (p • r 2 sin cpdrdcpdO
irh 4 / R 2 + h 2
h 2
UM 9.利用柱面坐标计算下列三重积分：
(1 ) jjzdv ，其中/2是由曲面z -s/l
- x 1 -y 2及z-x 1 + y 2所围成的闭区域；
n
(2) jjj(x 2 + y 2)d r ,其中/2是由曲面x 2 +y 2 =2z 及平面2 = 2所围成的闭区域.
n 解(1)由
-X 1 - y 2和 z =x 2 +y 2消去 z ,%
(x 2 + y 2) 2 = 2 - (x 2 + y 2 ),即;r 2 + y 2 = 1.
从而知在.rOy 面上的投影区域为I U ,y ) h 2 +y 2彡1丨(图10-44).利用柱 面坐标，/2可表示为
p 2彡 Z
- p 2 ,0彡 p 彡 1 ,0矣 0 矣2-n,
-〆)<lp
2u
P 1_P !
IT.
4 6 J 0 12
(2)由x 2 +y 2 =22及2 =2消去z 得JC 2 +y 2
=4,从而知在;面上的投影
区 域为'、.=I (x ,y ) | x 2 + j 2
^4| .利用柱面坐标，可表示为 于是
d ^[p'd p jjj ( x 2 + y 2)dv = jjjp 2
• pdpdddz = n
n
=r ⑽ f p 3(2 -誓)知=2I T
£a* 10.利用球面坐标计算下列三重积分： jjj(x 2 +y 2 +22)如，其中/2是由球面彡+72+22
=丨所围成的闭区域；
n 瓜z d v ，其中闭区域/2由不等式^ +y 2 + (^-a )2 ^a 2,^2 +y 2彡；:2
所确定.
n 解(1 ) jjl(
x 2 +
y 2
+
) dv = jjTr 2
• r 2 sin cpdrdcpdd
n
n
/-2 TT /* TT
1
=I dffl si n ipi\ip\ r 4
dr
el P !
2 12 16 -7T. 2TT [ - cos -TT .
(2)在球面坐标系中，不等式.t 2 + j 2 + (z - a)2 ^ a 2，即.r 2
^ 2az
变为 r 2
< 2arcos cp ，即 r < 2acos 屮；x 2
+ y 2
$ 22
变为 r 2s\n 2(p ^ r 2
cos 、，即 l a n ip ^
1 亦即<P 彡因此/2可表示为
TT
0 $ r < 2ac*os (p ,0 ^ 0彡沒彡2ir (图
10 — 45).
In cos i
5dr
8ua cos cp
Tra .
■z2 - z的方程为r2 = r(.os 屮，即r = (.(，s妒./i nf
f如JH(p •r2sin(fdrd(pc\6n n
=丄cos(ps\n<pd<p丄)
dO丄cos(psin (p •—(2acos(p)4d<p
2TT I4a4cos5<^sin(pd(p
^11.选用适当的坐标计算下列三重积分：
(1)jjlxydv，其中为柱面.v2+y2=1及平面z=1，z=0,x =0,y=0所围成
的在第一卦限内的闭区域；
*(2)J-Jx1+y2+z2dv，其中是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域；
{!
|[(*2+72)心，其中是由曲面4z2=25(*2+/)及平面z=5所围成的11闭K域；
*(4)Jlu2+y2)dw,其中闭区域由不等式0<a x1+y2+z2^ A ,z ^0PJ\确定.
解(1)利用柱面坐标计算.可表示为
TT
于是
Ky(\v= jjjp2sin 6cos 6 •
p(\p(\0t\z "
—| |
=^ sin Or on 0^0 ^ pMp 丄fl z
sin2^12f)A
•(2)在球面坐标系中，球面？
表示为
于是
0 ^ r 5^ cos<p ^0 ^ (p ^~~~ ,0 ^ 0^ 2T T(I冬MO - 46).
于是
(2)利用柱面坐标计算.可表示为
—p^^5,0^p^2,0^0£：2TT(图10_47).于是
_ 9 [ 5 4 1 5 1 ' _0
- 27T-JP -可f) - ^
*(4)在球而坐标系中，"f表示为
rt^r^/1,0 « ^ ^ ,0 ^ ^ « 2 TT.
因此
^ •(夺)(¥) =
>5-^
d 12.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：
(1 ) z = 6 - .r 2 _ 及2 = X 1
+ y 2 ;
* (2) A -2 + r 2 +z 2 = 2a z (a > 0)及 x 2 + / = z 2 (含有2轴的部分)； z - y.v 2 + y 2及2 = x 2 + y 2 ;
z = s/5 - X 2
- y 2及 A :2 + y 2 = 4z .
解(1 )利用直角坐标计算.由z = 6 - x 2 - y 2和z = 7*2 +y 2消去z ，解得 A 2 + y 2 =2，即在.rOy 面上的投影区域A ,为+ y 2在4.于是
fl = I (x,y,z) | s/x 1 + y 2 ^ z ^ 6 - (x 2 + y 1) ,x 2 + y 2 ^ 4|.
¥v = l dxdy f,11 +> >dz
=J r [6 - (A :2 + y 2 ) - yx 2 + y 2 ] dxdy(用极坐标) r 2lT
rl
=1 d^l (6 - p 2 一 p)pdp
= 2T T [ 3p 2 - =
Y-n- L " 4 3 J 0 3
注本题也可用“先重后单”的积分次序求解：
对固定的Z ，当0彡Z 彡2时，= \ (x,y) I X 2 +y 2彡z 2| ;当
2^<6时，0:= I (x y y) | x 2 + y 2
^ 6 - z | (图 10 -48)•于是
k i \ D 2(2彡z 彡6)
b5T i —
1-4
NS
(0^2)
_
o y。