潮州市2011-2012学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷_数学(文科)

潮州市2011-2012学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设集合A ＝｛1,2｝，B ＝｛1,2,3｝，C ＝｛2,3,4｝，则（A ∩B ）∪C ＝ A ．｛1,2,3｝ B ．｛1,2,4｝ C ．｛2,3,4｝ D ．｛1,2,3,4｝
2．设i 是虚数单位，则i
1＋i
＝
A ．i ＋12 i
B ．i －12 i
C ．12 ＋12 i
D ．12 －1
2 i
3．设x ∈R ，则“x （x －1）＜0”是“x ＜1”的
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，且A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c ＝
A ．1
B ．2
C ．3－1
D ． 3
5．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 60km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测，将所得数据按[40,50），[50,60）， [60,70），[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分 布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽 车有
A ．75辆
B ．120辆
C ．180辆
D ．270辆
6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0
x －y≤0x≤a
（a 为正整数）表示的平面区域的面
积是4，则2x ＋y 的最大值为 A ．－2 B ．0 C ．2 D ．6
7．定义在R 上的函数ƒ(x)满足ƒ(x ＋1)＝－ƒ(x)，则ƒ(x)的周期是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点和一个顶点，
则该椭圆的离心率为
A ．2 55
B ． 55
C ．23
D ．12
9．有一个几何体的三视图如下，外轮廓是边长为1的正方形，则该几何体的体积为
正视图 侧视图 俯视图 A ．16 B ．12 C ．56 D ．13
10．设a △b ＝a ＋b
2，a □b ＝ab ，△和□分别表示一种运算，则∀a ，b ∈R +，有 A ．a □b ≥a △b B ．a □b ＞a △b C ．a □b ＜a △b D ．a □b ≤a △b
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11．设等比数列{a n }的公比为q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 2＝__________
12．已知向量a →＝（1，n ），b →＝（－1，n ），若a →与b →垂直，则a →
＝______
13．若下面框图的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是__________
14．设∃x ∈（1,2），使x ＋a ＝6－2x 成立，则正数a 的取值范围是__________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．（本小题满分12分）
已知函数ƒ(x )＝3sinx ＋cosx ，x ∈R
（1）若a 是第一象限角，且cosa ＝1
2，求ƒ(π－a)的值；
（2）若x ∈[0，π
2
]，求ƒ(x )的值域。

16．（本小题满分12分）
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）
（15的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分段抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人
的年龄为50岁以上的概率为5
39，求x 、y 的值。

17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 在棱CD 上移动。

（1）当点E 为CD 的中点时，试判断直线EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （2）求证：PE ⊥AF 。

18．（本小题满分14分）
已知函数ƒ(x)＝lnx－m（x－1
x）（m为实常数）
（1）当m＝2
5时，求函数ƒ(x)在区间[1，e]上的最大值；
（2）若函数ƒ(x)无极值点，求m的取值范围。

19．（本小题满分14分）
已知圆心为P的动圆与直线y＝－2相切，且与定圆x2＋(y－1)2＝1内切，记点P 的轨迹为曲线E
（1）求曲线E的方程；
（2）设斜率为22的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离。

20．（本小题满分14分）
设各项均不为0的数列{a n}的前n项之乘积是b n，且λa n＋b n＝1（λ∈R，λ＞0）（1）探求a n、b n、b n－1之间的关系式；
（2）设λ＝1，求证{1
b n
}是等差数列；
（3）设λ＝2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n＜2 3
潮州市2011-2012学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 1．D A ∩B ＝{1,2}，（A ∩B ）∪C ＝{1,2,3,4} 2．C i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i) (1－i)＝i －i 21－i 2
＝i ＋12
3．A 由x （x －1）＜0，得0＜x ＜1，则x （x －1）＜0 x ＜1
4．B cosA ＝cos π3＝1＋c 2
－3
2c ，则c 2－c －2＝0，得c ＝2或c ＝－1 5．C 数组在[40,50），[50,60）的频率分别为0.25、0.35，则0.6×300＝180 6．D 作出可行域，由面积得a ＝2,2x ＋y 在点（2,2）处取得最大值6 7．B ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x ＋1) ＝ƒ(x)，则T ＝2
8．A 直线与坐标轴交点为（－2,0）、（0,1），c ＝2，b ＝1，则a ＝5 9．C 该几何体是正方体削去一个角，体积为1－16＝56 10．D 本题实质为ab ≤a ＋b
2对a ，b 成立
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11．15
2 S 4＝15a 1，a 2＝2a 1
12．2 a →·b →＝0，－1＋n 2＝0，n 2
＝1，a →＝1＋n 2＝2
13．k ＞8（或k ≥9） 循环体被执行2次后，变量S 的值恰为20，k ＝8，此时应退出循环
14．0＜a ＜3 作出函数y ＝x ＋a （a ＞0）的图像与直线y ＝6－2x ，交点的横坐标在（1,2）内，可求得0＜a ＜3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分 15．（本小题满分12分）
（1）由a 是第一象限角，且cosa ＝12，得sina ＝1－cos 2a ＝
3
2 （2分） ∴ƒ(π－a) ＝3sin (π－a)＋cos (π－a) ＝3sina －cosa （4分） ＝3×
32－1
2＝1 （6分）
（2）ƒ(x )＝3sinx ＋cosx ＝2（
32 sinx ＋12cosx ）＝2sin （x ＋π
6
） （9分）
由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π
3
（10分）
∴1≤2sin （x ＋π
6
）≤2 即ƒ(x )的值域为[1,2] （12分）
16．（本小题满分12分）
（1）用分层抽样的方法在30-35岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为
本科的人数为m ，∴3050＝m
5，解得m ＝3 （2分）
∴抽取学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3 从中任取2人的所有基本事件共10个：(S 1,B 1)，(S 1,B 2)，(S 1,B 3)，(S 2,B 1)，(S 2,B 2)，(S 2,B 3)，(S 1,S 2)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1,B 1)，(S 1,B 2)，(S 1,B 3)，(S 2,B 1)，(S 2,B 2)，(S 2,B 3)，(S 1,S 2) （4分）
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为7
10 （6分）
（2）由题意，得10N ＝5
39，解得N ＝78 （8分）
∴35-50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20 （9分）
∴4880＋x ＝2050＝1020＋y
（11分）解得x ＝40，y ＝5 即x 、y 的值分别为40、5 （12分） 17．（本小题满分14分）
（1）当点E 为CD 的中点时，EF ∥平面PAC （2分） ∵点E 、F 分别是CD 、PD 的中点 ∴EF ∥PC （4分） ∵PC ⊂平面PAC ，EF ⊂/平面PAC ∴EF ∥平面PAC （6分） （2）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴CD ⊥PA 又∵ABCD 是矩形 ∴CD ⊥AD ∵PA ∩AD ＝A ∴CD ⊥平面PAD ∵AF ⊂平面PAD ∴CD ⊥AF （9分）
∵PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点 ∴PD ⊥AF （12分） 又∵CD ∩PD ＝D ∴AF ⊥平面PDC （13分） ∵PE ⊂平面PDC ∴PE ⊥AF （14分） 18．（本小题满分14分）
（1）当m ＝25时，ƒ(x )＝lnx －25（x －1
x ）
令ƒ'(x )＝1x －25(1＋1x 2)＝－(2x －1)(x －2)5x 2
＝0，得x ＝2或x ＝1
2(舍去) (3分) 当x ∈(1,2)时，ƒ'(x )＞0；当x ∈(2,e)时，ƒ'(x )＜0
∴ƒ(x )在(1,2)上递增，在(2,e)上递减 （5分）
∴当x ＝2时，ƒ(x )max ＝ƒ(2) ＝ln2－3
5 （6分） （2）ƒ(x )定义域（0，＋∞） （7分） ƒ'(x ) ＝1x －m (1＋1
x 2)＝－mx 2
＋x －m x 2
（8分）
由题意，ƒ(x )无极值点，分如下情况讨论：
①若ƒ'(x )≥0在（0，＋∞）上恒成立，则－mx 2＋x －m ≥0，
即m ≤x
1＋x 2
在（0，＋∞）上恒成立
当x ＞0时，x 1＋x 2＝11
x ＋x
∈(0，1
2] ∴m ≤0 （11分） ②若ƒ'(x )≤0在（0，＋∞）上恒成立，则－mx 2＋x －m ≤0，
即m ≥x
1＋x 2
在（0，＋∞）上恒成立
当x ＞0时，x 1＋x 2＝11
x ＋x
∈(0，12] ∴m ≥1
2 （13分） 综①②，函数ƒ(x )无极值点时，m 的取值范围是(－∞，0]∪[1
2，＋∞) (14分) 19．（本小题满分14分）
（1）由题意，得点P 到直线y ＝－1和点（0,1）距离相等 （2分）
∴点P 的轨迹是以点（0,1）为焦点，以直线y ＝－1为准线的抛物线 （4分） ∴曲线E 的方程是x 2＝4y （6分）
（2）设斜率为22的直线方程为y ＝22x ＋m （7分） 由⎩⎨⎧y ＝22x ＋m x 2＝4y
消去y ，得x 2－82x －4m ＝0 由直线与曲线E 相切，得△＝(－82x )2＋16m ＝0 （9分） 得m ＝－8 （10分） ∴直线方程为y ＝22x －8 即22x －y －8＝0 ∴原点到直线的距离为d ＝－8
(22)2
＋1
＝83 （14分） 20．（本小题满分14分）
（1）由数列{a n}的前n项之乘积是b n，得a 1＝b 1，a n＝b n
b n－1
（2分）
（2）令n＝1，得λa 1＋b 1＝1，又a 1＝b 1，∴b 1＝
1λ＋1
∵λ＝1 ∴b 1＝1
2（3分）
当n≥2时，将a n＝b n
b n－1代入a n＋b n＝1中，得
b n
b n－1
＋b n＝1
则1
b n ＝
1
b n－1
＋1 （4分）
数列{1
b n
}是以
1
b1
＝2为首项，以1为公差的等差数列
（3）∵2a 1＋b 1＝1，a 1＝b 1∴3b 1＝1，b 1＝1
3（5分）
当λ＝2时，将a n＝
b n
b n－1
代入2a n＋b n＝1中，得2
b n
b n－1
＋b n＝1
则1
b n ＝2
1
b n－1
＋1 （6分）
∴1
b n ＋1＝2（
1
b n－1
＋1）（7分）
∴{1
b n
＋1}是以
1
b1
＋1＝4为首项，以2为公比的等比数列（8分）
∴1
b n ＝
1
2n＋1－1
（9分）
∵1
2n＋1－1＜
1
2n＋1－2
＝
1
2·
1
2n－1
∴b n＜1
2b n－1（n∈N*，n≥2）（10分）
∴b 1＋b 2＋…＋b n≤b 1＋1
2b 1＋
1
22b 1＋…＋
1
2n－1
b 1
＝b 1·1－
1
2n
1―
1
2
＜
b 1
1―
1
2
＝
2
3（12分）即λ＝2时，b 1＋b 2＋…＋b n＜
2
3（14分）。