新课标2023版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5节椭圆教师用书

第五节椭圆
考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2．
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)
图形
性质
范围－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，
A2(a,0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b,0)，
B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝
c
a
∈(0,1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2
(1)椭圆焦点位置与x 2
，y 2
系数间的关系：
给出椭圆方程x 2m ＋y 2
n
＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n ．
(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个方程，再结合b 2
＝a 2
－c 2
就可求得
e (0<e <1)．
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 4．常见结论
(1)a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． (2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b
2
a
，称为通径．
(3)若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． (4)e ＝
1－b 2
a
2．e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． (5)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则
①弦长l ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|；
②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0
．
(6)若M ，N 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上关于原点对称的两个点，P 是椭圆上不与M ，N 重
合的点，则k PM ·k PN ＝－b 2
a
2．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
( × )
(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆． ( × )
(3)方程mx 2
＋ny 2
＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．
( √ )
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相同．
( √ )
2．若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则点P 的轨迹方程是( )
A ．x 225＋y 2
16＝1 B ．x 2100＋y 2
9＝1 C ．y 225＋x 216
＝1 D ．x 2
25＋y 2
16＝1或y 225＋x 2
16
＝1 A 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10＞|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2
－c 2
＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝
1．
3．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2
＋y 2
m
＝1的焦点坐标为( )
A ．(±3，0)
B ．(0，±3)
C ．(±3，0)或(±5，0)
D ．(0，±3)或(±5，0)
B 解析：因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2
＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2
＋y 2
m
＝1
即x 2
＋y 2
4
＝1的焦点坐标为(0，±3)．故选B ．
4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 2
5＋y 2
＝1
B ．x 24＋y 25
＝1
C ．x 2
5＋y 2
＝1或x 24＋y 2
5＝1
D ．以上答案都不对
C 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， 所以a 2
＝5，所求椭圆的标准方程为x 2
5＋y 2
＝1．
当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，
所以a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 2
4
＝1．
5．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ．若△F 1PF 2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A ．
2
2
B ．
2－1
2
C ．2－ 2
D ．2－1
D 解析：由题意可知，|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ． 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c ＋22c ＝2a ， 解得c a
＝2－1．
考点1 椭圆的定义——基础性
1．圆A 的半径为4，圆心为A (－1,0)，B (1,0)是圆A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q ．当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为( )
A ．x 23＋y 2
4＝1
B ． x 2
＋y 2
＝16 C ．x 24＋y 2
3＝1
D ．(x ＋1)2
＋y 2
＝16
C 解析：如图，直线l 为线段BP 的垂直平分线，
所以连接BQ ，由线段垂直平分线的性质得：BQ ＝PQ ， 而半径AP ＝AQ ＋PQ ，且A ，B 两点为定点， 所以AQ ＋BQ ＝4>AB ＝2，
所以由椭圆定义得点Q 轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2， 所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1．故选C ．
2．(2021·大同高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中点为原点，焦点F 1，
F 2在x 轴上，离心率为2
2
，过点F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为( )
A ．x 236＋y 2
18＝1 B ．x 216＋y 2
10＝1 C ．x 24＋y 22
＝1
D ．x 2
16＋y 2
8
＝1 D 解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12
，得a 2＝2b 2
．
根据椭圆的定义可知△ABF 2的周长为4a ，所以4a ＝16，即a ＝4，a 2
＝16，b 2
＝8， 则椭圆的标准方程为x 216＋y 2
8
＝1． 3．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的
直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为( )
A ．x 24＋y 23＝1
B ．x 29＋y 26＝1
C ．x 2
16＋y 24＝1 D ．x 2
16＋y 2
9
＝1 B 解析：如图所示，
因为△ABF 2是边长为4的等边三角形，
所以|AF 2|＝4，|AF 1|＝1
2|AB |＝2，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，所以a ＝3．
又因为|F 1F 2|＝2c ＝|AF 2|2
－|AF 1|2
＝23，所以c ＝3，则b 2
＝a 2
－c 2
＝6， 故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
6
＝1．故选B ．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、
最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
考点2 椭圆的标准方程——综合性
(1)“－3＜m ＜4”是“方程
x 24－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B 解析：因为方程x 2
4－m ＋y
2
m ＋3
＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧
4－m >0，m ＋3>0，
4－m ≠m ＋3，
解得－3<m <4且m ≠12，所以“－3＜m ＜4”是“方程x 2
4－m ＋y
2
m ＋3＝1表示椭圆”的必要
不充分条件．故选B ．
(2)(2021·深圳二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3
＝1(a ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上
有且只有一个点P 满足|OF |＝|FP |，则椭圆C 的方程为( )
A ．x 212＋y 2
3＝1 B ．x 28＋y 23＝1
C ．x 26＋y 2
3
＝1
D ．x 24＋y 2
3
＝1
D 解析：根据对称性知点P 在x 轴上，|OF |＝|FP |，故a ＝2c ，a 2
＝3＋c 2
，解得a ＝2，
c ＝1，
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1．
本例(1)中椭圆的方程式变为
x 216－m ＋y 2
m －2
＝1，若焦距为4，则m 的值为________． 7或11 解析：在椭圆x 216－m ＋y 2
m －2
＝1中，由已知可得2c ＝4，解得c ＝2．
若椭圆的焦点在x 轴上，可得⎩⎪⎨⎪
⎧
16－m >0，m －2>0，
(16－m )－(m －2)＝c 2＝4，解得m ＝7；
若椭圆的焦点在y 轴上，可得⎩⎪⎨⎪
⎧
16－m >0，m －2>0，
(m －2)－(16－m )＝c 2＝4，解得m ＝11．
因此，m ＝7或11．
1．求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a 2，b 2
的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a ＞|F 1F 2|．
(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2a 2＋y 2
b
2＝λ(λ＞0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k
＝1(a ＞b ＞0，b 2
＋k
＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
1．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A ．x 28＋y 26＝1
B ．x 216＋y 2
6＝1 C ．x 24＋y 2
2
＝1
D ．x 28＋y 2
4
＝1
A 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3
b
2＝
1．
又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝1
2
．又
c 2
＝a 2
－b 2
，联立⎩⎪⎨⎪⎧
4
a 2
＋3
b 2＝1，
c 2
＝a 2
－b 2
，c a ＝12，
得a 2＝8，b 2
＝6，故椭圆方程为x 28＋y 2
6
＝1．
2．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
y 2
20
＋x 24＝1 解析：(方法一)椭圆y 2
25＋x 2
9
＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4． 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2
＋(－5＋4)2
＋(3－0)2
＋(－5－4)2
，解得a ＝25．
由c 2
＝a 2
－b 2
得b 2
＝4．所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4
＝1．
(方法二)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 2
9
＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2
＝25
－9＝16．设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b
2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2
＝
16．①
又点(3，－5)在所求椭圆上，所以(－5)2
a 2
＋(3)2
b 2＝1，即5a 2＋3
b
2＝1．② 由①②得b 2＝4，a 2
＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4
＝1．
考点3 椭圆的几何性质——应用性
考向1 求离心率(或范围)
(1)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝a 2
c
上一点．若
△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( )
A ．1
2 B ．
22
C ．34
D ．45
B 解析：设直线x ＝a 2
c
交x 轴于点M ，
因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∠PF 2M ＝60°，||PF 2＝||F 1F 2＝2c ， 在Rt △PF 2M 中，∠PMF 2＝90°，∠MPF 2＝30°，所以||PF 2＝2||F 2M ．
因为P 为直线x ＝a 2c 上一点，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ＝2c ，即a 2＝2c 2
，所以e ＝c a ＝22．
(2)(2022·青岛模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点．若椭
圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
3，22 C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1 D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13 C 解析：如图所示，
因为线段PF 1的中垂线经过点F 2，
所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c ．
所以2c ≥a －c ．所以e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
13，1．
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助b 2
＝a 2
－c 2
消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．
考向2 与椭圆有关的最值问题
已知F (2,0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为
6．若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．
8＋ 2 解析：设椭圆的左焦点为F ′，
由椭圆的右焦点为F (2,0)，得c ＝2，又过F 且垂直于x 轴的弦长为6，即2b
2
a
＝6，
则a 2－c 2a ＝a 2－4a
＝3，解得a ＝4，
所以|MF |＋|MA |＝8－|MF ′|＋|MA |＝8＋|MA |－|MF ′|， 当M ，A ，F ′三点共线时，|MA |－|MF ′|取得最大值， (|MA |－|MF ′|)max ＝|AF ′|＝2， 所以|MF |＋|MA |的最大值为8＋2．
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，有|x |≤a ，|y |≤b ，可以把椭
圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c ；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足||PF 2＝||F 1F 2且F 2到直线PF 1的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
B 解析：由已知得||PF 2＝||F 1F 2＝2c ，
根据椭圆的定义可得||PF 1＋||PF 2＝2a ⇒||PF 1＝2a －2c ． 又F 2到直线PF 1的距离等于b ，即||F 2H ＝b ． 由等腰三角形三线合一的性质可得：F 2H ⊥PF 1， 可列方程：
(a －c )2
＋b 2
＝(2c )2
⇒a 2
－ac －2c 2
＝0
⇒(a －2c )(a ＋c )＝0⇒a －2c ＝0⇒e ＝1
2
．故选B ．
2．设P 是椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2
＝1
上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )
A ．9,12
B ．8,11
C ．8,12
D ．10,12
C 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12．
设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝
90°，求离心率e 的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2为直角
1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论 2．离心率的表达式有哪些
构建点P 的横坐标x
与a ，b ，c 的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e 的取值范围
1．在焦点三角形中要注意应用： ①椭圆的定义． ②勾股定理或余弦定
理．
③三角形的面积公式 2．e ＝c
a
或e ＝
1－b 2a
2 x 2＝a 2c 2－a 2b
2
a 2－b
2
1．椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件
思路参考：利用曲线范围．
解：设P (x ，y )，又知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 2P →
＝(x －c ，y )． 由∠F 1PF 2＝90°，知F 1P →⊥F 2P →
， 则F 1P →·F 2P →
＝0，
即(x ＋c )(x －c )＋y 2
＝0， 得x 2
＋y 2
＝c 2
．
将这个方程与椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1联立，
消去y ，可得x 2
＝a 2c 2－a 2b 2
a 2－
b 2
．
由椭圆的取值范围及∠F 1PF 2＝90°， 知0≤x 2
<a 2
，
即0≤a 2c 2－a 2b 2a 2－b 2
<a 2
．
可得c 2
≥b 2
，即c 2
≥a 2
－c 2
且c 2
<a 2
， 从而得e ＝c a ≥22，且e ＝c
a
<1， 所以e ∈⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫22，1．
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|2
＋|PF 2|2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2
． 又由∠F 1PF 2＝90°，
知|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
， 可得|PF 1||PF 2|＝2(a 2
－c 2
)．
因此，|PF 1|与|PF 2|是方程x 2
－2ax ＋2(a 2
－c 2
)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a 2
－8(a 2
－c 2
)≥0⇒e 2
＝c 2a 2≥12⇒e ≥2
2
．
所以e ∈⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1．
思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，由正弦定理有|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|F 1F 2|
sin 90°
，即
|PF 1|＋|PF 2|
sin α＋sin β
＝|F 1F 2|．
又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则有e ＝c a ＝
1
sin α＋sin β
＝
1
2sin
α＋β
2
cos
α－β
2
＝
12cos
α－β
2
．
由0°≤|α－β|<90°， 知0°≤|α－β|
2<45°，
所以
22<cos α－β2
≤1， 从而可得
2
2≤e <1．
思路参考：利用基本不等式．
解：由椭圆定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|，平方后得4a 2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
＋2|PF 1|·|PF 2|
≤2(|PF 1|2
＋|PF 2|2
)＝2|F 1F 2|2
＝8c 2
，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，得c 2a 2≥1
2
，所以e ∈
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫22，1．
思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F 1PF 2＝90°，知点P 在以|F 1F 2|＝2c 为直径的圆上． 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ， 故有c ≥b ⇒c 2
≥b 2
＝a 2
－c 2
， 由此可得e ∈⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1．
思路参考：双焦点最大张角．
解：设B 1为上顶点，则双焦点最大张角为∠F 1B 1F 2． 由已知∠F 1B 1F 2≥90°， 所以∠OB 1F 2≥45°，
tan ∠OB 1F 2≥1，即c b
≥1，c 2≥b 2，c 2≥a 2－c 2
，
得c 2a 2≥12，所以有e ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫22，1．
1．本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．
设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个顶点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则
m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0，3]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0，3]∪[4，＋∞) A 解析：当0<m <3时，如图1，
图1
设M (x 0，y 0)，不妨设y 0>0，A (－3，0)，B (3，0)．
则S △MAB ＝3y 0＝12|MA |·|MB |sin 23π＝3
4|MA |·|MB |，得|MA |·|MB |＝4y 0．
AM →
＝(x 0＋3，y 0)，BM →
＝(x 0－3，y 0)，
故AM →·BM →＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2
0＝|AM →||BM →|· cos 2
3
π，
得x 2
0－3＋y 2
0＝－2y 0． 因为M (x 0，y 0)在椭圆上，
所以x 203＋y 20
m
＝1，
得x 2
0－3＝－3m
y 20，
故－3m
y 20＋y 2
0＝－2y 0，
得y 0＝
2m
3－m
≤m ， 解得0<m ≤1． 当m >3时，如图2，
图2
设M (x 0，y 0)，不妨设x 0>0， 则A (0，－m )，B (0，m )，
S △MAB ＝mx 0＝12|MA |·|MB |sin 23π＝
34|MA |·|MB |，|MA |·|MB |＝43m 3
x 0， AM →
＝(x 0，y 0＋m )，BM →
＝(x 0，y 0－m )，
所以AM →·BM →＝x 20＋(y 0＋m )(y 0－m )＝|AM →|·|BM →
|cos 23π，
解得x 20＋y 2
0－m ＝－23m 3x 0．
因为M (x 0，y 0)在椭圆上，
所以x 203＋y 20
m
＝1，
得y 2
0－m ＝－m
3
x 2
0，
故－m 3x 20＋x 20＝－23m 3
x 0，
解得x 0＝23m m －3≤3，解得m ≥9．
综上m ≥9或0<m ≤1． 故选A ．。