中考数学专题讲练 线段最值问题二(教师版)-最新学习文档
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线段最值问题（二）
一．利用轴对称求最值
轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型：
1．如图，直线l 和l 的异侧两点
A 、
B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小． 2．如图，直线l 和l 的同侧两点
A 、
B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小． 3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使
PA PB -最大． 4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．
5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．
6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点
A 、
B ，使四边形PAQB 的周长最小．
7．如图，点
A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．
8．如图，点
A 是MON ∠内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离
之和最小．
9．造桥选址问题 二．利用二次函数求最值
利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．
一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值
二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值
三．易错点：
1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；
2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．
题模一：利用轴对称求最值
例1.1.1 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0），（3
1
），点D 、E 的坐标分别为（m
），（n
，
3
n ）（m 、n 为非负数），则CE+DE+DB 的最小值是__． 【答案】 4
【解析】 如图所示： ∵点D 、E 的坐标分别为（m
），（n
）（m 、n 为非负数）， ∴直线OD 的解析式为
，直线OE 的解析式
x ， 设点C 关于直线OE 的对称点C ′所在直线CC ′的解析式为y=
+b ，
把C 的坐标（1
，
故直线CC ′的解析式为y=
+
，
联立直线OE 的解析式和直线CC ′
的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩
，
解得x=1.5y=2
⎧⎪⎨⎪⎩．
故交点坐标为（1.5，
2
）， ∴点C ′坐标为（2，0），
设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=
﹣3
x +b ′， 把B 的坐标（3，
b ′
b ′
故直线BB ′的解析式为y=
﹣3
x +
联立直线OD 的解析式和直线BB ′
的解析式可得y=⎧⎪⎨-+⎪⎩
解得x=1.5y=⎧⎪⎨⎪⎩
故交点坐标为（1.5
∴点B ′坐标为（0，
则B ′C ′
，即CE +DE +DB 的最小值是4．
例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2
+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__．
【答案】 （2，﹣6）
【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2
+经过点A （4，0），
∴1
2
×42+4b=0，
∴b=﹣2，
∴抛物线的解析式为：y=1
2
x2﹣2x=
1
2
（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
解得：
k=3
b=12
⎧
⎨
-
⎩
，
∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，
当x=2时，y=﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）
A．10B．C．20D．
【答案】B
【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以，PQ=P1Q，PR=P2R，
所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，