初三数学上平行线分三角形两边成比例 知识讲解+巩固练习

平行线分三角形两边成比例 知识讲解
【学习目标】
1、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论；
2、会应用基本事实及推论解决实际问题. 【要点梳理】
要点、平行线分线段成比例 1.基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 要点诠释：
(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；
A 型 X 型 （2）常用的比例式：,,AD AE AD AE D
B EC
DB EC AB AC AB AC
===. 【典型例题】
类型一、平行线分线段成比例
1. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线L 1，L 2与直线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=4，BC=5，DE=5，求EF 的长．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得到AB DE BC EF =，即45
5EF
=，然后利用比例的性质求解． 【答案与解析】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴
AB DE BC EF =，即45
5EF
= ∴EF=
．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
举一反三
【变式】如图，AD∥EF∥BC,AD=12cm，BC=18cm，AE:EB=2:3，求EF的长.
【答案】
解：过点D作DN∥AB,交EF于点M,交BC于点N，
∵AD∥EF∥BC，
∴AE DM MF AB DN NC ==
∴2
=
518126
MF MF
=
-
,
∴MF=12
5
，
即EF=EM+MF=12+12
5
=14.4cm
类型二、平行线分三角形两边成比例
2. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
【答案与解析】证明：过D作DK∥AB交EC于K点.
则，，
即
又∵AD=BE ， ∴
.
【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例. 举一反三
【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2
AE AB AD =⋅.
【答案】证明：∵DG ∥EC,∴
AD AG
AE AC =,
∵EG ∥BC,∴AE AG
AB AC
=, ∴AD AE
AE AB
=, 即2
AE AB AD =⋅.
3.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF ∥AC ∥HG ，EH ∥BD ∥FG ，则四边形EFGH 的周长是（ ） A.10 B.13 C.210 D.213
【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF 、EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解．
A B
C
D E G
【答案与解析】解：在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，
根据勾股定理，AC=BD=22AB BC +=2223+=13，
∵EF ∥AC ∥HG ， ∴
EF EB
AC AB
=， ∵EH ∥BD ∥FG ，
∴
EH AE
BD AB
=， ∴EF EH EB AE
AC BD AB AB
+=+=1， ∴EF+EH=AC=13，
∵EF ∥HG ，EH ∥FG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∴四边形EFGH 的周长=2（EF+EH ）=213．
故选D ．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出
1EF EH
AC BD
+=是解题的关键，也是本题的难点． 4.（ 秋•玄武区校级期中）如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，，求证：EF ∥DC ．
【答案与解析】证明：∵DE ∥BC ，
∴=， ∵=， ∴=， ∴
=
，
∴EF ∥DC ．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解． 举一反三
【变式】如图，在△ABC （AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE 和BC
的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE
=.
【答案与解析】证明：过点C作CF∥AB交DP于点F, ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC
∴∠EFC=∠FEC
∴CF=CE
∵CF∥AB
∴BP BD CP CF
=,
即BP BD CP CE
=.
5.（春•广安校级月考）如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
【答案与解析】解：∵AD=10，AB=15，
∴AD：AB=10：15=2：3，
而AE：AC=2：3，
∴AE：AC=AD：AB，
∴DE∥BC，
∴=，即=，
∴BC=12．
【总结升华】此题利用平行线分线段成比例定理，找出相应线段的比值，再结合已知所给的条件，进而求出线段的长.
平行线分三角形两边成比例巩固练习
【巩固练习】
一．选择题
1. （•平房区一模）如图，如果l1∥l2∥l3，则下列各式不正确的是（）
A．BC EF
AC DF
=B．
AB EF
BC DE
= C．
AB AC
DE DF
=D．
AB DE
AC DF
=
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )．
A．B． C．D．
3. 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )．
A．B．C． D．
4. 如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )．
A．B． C．D．
5. 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 如图，△ABC 中，G 是BC 中点，E 是AG 中点，CE 的延长线交AB 于D ，则EC ：DE 的值为( )．
A ．2
B ．3
C ．
D ．
二. 填空题
7. 如图，123l l l ∥∥,BC=
1
3
AC ,DE=1.6,则EF=____________.
8. 如图，DE ∥BC,BF:EF=4:3，则AC:AE=____________.
9．已知点G 是△ABC 的重心，AD 是BC 边上的中线，如果GD=2cm ，那么AD=______. 10. 如图，△PMN,点A,B 分别在MP,NP 的延长线上，
25AP BP AM BN ==,则MN
BA
=________.
11.（•香坊区三模）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为
.
12. 如图，AD∥EF∥BC,且
AE=2EB,AD=5.BC=8，则EF=_____________.
三.综合题
13. 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.
14.（秋•平川区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．
证明：AE=AF．
B
O
E F
A
C D
15. 已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC的面积的，求
EC的长.
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】 B.
【解析】如图，∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴选项A、C、D均正确，故选B．
2．【答案】 D.
3．【答案】 C.
【解析】∵DE∥BC，∴EC BD
AC AB
=,又∵，∴
5
9
BD
AB
=,即=
5
9
.
4．【答案】D.
【解析】∵DE∥AC，∴DE BD
AC AB
=，又∵AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，∴BD=4，即DE=
20
7
.
5．【答案】C.
【解析】提示：∵ DE∥BC，DF∥AC，∴DE=CF, DF=CE.
6.【答案】B.
【解析】作GM∥CD交AB于点M,∵E是AG中点，∴MG=2DE,又∵G是BC中点，∴CD=2MG=4DE ∴EC=3DG,即EC:DE=3:1.
二、填空题
7.【答案】0.8.
8.【答案】4:3.
【解析】∵DE∥BC, BF:EF=4:3，∴BF BC AC EF DE AE
==
9.【答案】6cm.
【解析】∵点G是重心，∴AG:GD=2:1，又∵GD=2，∴AG=4，即AD=6cm.
10.【答案】3:2.
【解析】∵
2
5
AP BP
AM BN
==，∴
2
3
AP AB
PM MN
==.
11.【答案】9.
【解析】∵DE∥FG∥BC，∴=，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴=，
∴=，
∴EC=9．
12.【答案】7.
【解析】作DM∥AB,交EF,BC于点M,N,则EM=AD=BN=5，NC=3，
又∵AD∥EF∥BC, 且AE=2EB,∴
2
3
DM MF
DN NC
==,∴MF=2，即EF=5+2=7.
三、解答题
13. 【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴OA OB AC BD
=,
又∵OA=14，AC=16，BD=12，
∴OB=21
2
.
同理AC BD
CE DF
=,CE=8，
∴DF=6.
14.【解析】证明：∵EG∥CD，
∴=，且，
∴=，
∴=，即=，
∵AB=AC，
∴AE=AF．
15.【解析】解：作DM,AN垂直BC,垂足为点M,N，即DM∥AN,
∵△BCD的面积是△ABC 的面积的，即
1
4
CD
S
S
=△B
△
ABC
=
1
2
1
2
BC DM
BC AN
⋅⋅
⋅
,∴
1
4
DM
AN
=∵DM∥AN,∴
DM BD
AN BA
=,∴BD=
1
2
.
又∵AB=AC,DE∥BC,∴BD=EC=
1
2
.
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