最新线段的垂直平分线与角平分线及练习

线段的垂直平分线与角平分线
知识点一：线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C
在直线m 上，则AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
知识点二：线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC
＝BC ，则点C 在直线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
知识点三、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一
点到三个顶点的距离相等.
定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，
则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. m
图1
D
A
B
C
m
图2
D
A
B
C
j
i
k
图3
O
B
C
A
例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，
△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
例2、如图，1）AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC
的周长是24cm ，那么BC=
2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果
BC=8cm ，那么△EBC 的周长是
3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28
度， 那么∠EBC 是
例3、已知：在△ABC 中，D 是AB 上的点， AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

例4、已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线
知识点四：角平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，
DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
B
A
C O
N
D
B
F E
A
P
B
F
E
C
注：角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 知识点五、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC
＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
知识点六、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、
∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
知识点七、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
例1、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ，
PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF 图6
E
F
D
I
P R
Q B
C
A
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，
DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.
图10
F
C
D B
A
E。