2013版高中全程复习方略配套课件：11.2利用空间向量证明平行与垂直(苏教版·数学理)-PPT文档

C M=( 3 ),,0 , 3
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①方法一:设 =n (x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
则
D P
n 即 0,
D A n 0,
y∴ 2z 0,
2 3x 3y 0,
令y=2,得 n =(-3,2,1).
z
1 2
y,
x
3 y, 2
∵ nC M 33 2 0 1 30 ,
2
2
∴ n又CM C,M⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.
∴N( 1 ,0,1),M(1, ,1 1),E( ，11 ，1)，Ｆ(0, ,1) 1
2
2
2
2
∴ A=N (-
,01 ,1),
2
=(NM,
,0)1,
2
=12 (1,1,0D)B,
D F=(0,
,11 ),
2
=(D E,1,112).
(1)设平面AMN的一个法向量为m =(x1,y1,z1),
则
m
3
3
答案：2∶3∶(-4)
2.直线的方向向量与平面的法向量与线面的位置关系
位置关系
直线l1, l2的方向向 量分别为 e1 , e 2 ?
直线l1的方向向量为 e 1， 平面α的法向量 为n 1 ?
平面α,β的法向 量分别为 n1, n 2
l1∥l2 l1⊥l2 l1∥α l1⊥α α∥β α⊥β
利用空间向量证明平行关系
【方法点睛】
用向量证平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线.
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂
线面平行
直； (2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向
量平行.
面面平行
(1)证明两平面的法向量为共线向量； (2)转化为线面平行、线线平行问题.
【例1】(2012·泰州模拟)如图所示， 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，E,F 分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的∥平面EFDB.
向量表示
e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 0 e 1 n 1 e 1n 1 0 e 1 n 1 e 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 0
【即时应用】(1)若平面α,β的法向量分别为 a =(－1,2,4)，
【方法点睛】
利用空间向量证明垂直关系
用向量证明垂直的方法
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数 线线垂直 量积为零．
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面 垂直的判定定理用向量表示．
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定 理用向量表示．
【例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中, PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中, ∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在 PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角. ①求证:CM∥平面PAD; ②求证:平面PAB⊥平面PAD.
8
8
8
点，设平面α的法向量 n =(x,y,z)，则x∶y∶z=
.
【解析】A B=(1，-3，-
)7 ，
4
A=C(-2,-1,-
),
7 4
由
n
n
AB=x-3y- 7 z=0
得4
AC =-2x-y- 7 z=0 4
x z
= =
2 3 -4 3
y y
.
所以x∶y∶z=2 y∶y∶(- y4 )=2∶3∶(-4)．
…………三年1考 高考指数:★★
内容
空间向量的共线与垂直 直线的方向向量与平面
的法向量
要求
A
B
C
√
√
1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线l上的向量 e(e0)以及与 e 共线 的非零向量叫做直线l的方 向向量.
(2)平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线 垂直于 平面α，那么 称向量 n 垂直于平面α,记作__n___α_.此时把向量 n 叫做平面α 的 法向量 .
b =(x，-1，-2)，并且α⊥β，则x的值为
．
(2)若直线l1,l2的方向向量分别为 a =(2,4,-4),b =(-6,9,6),
则直线l1,l2的位置关系是______．
【解析】(1)由α⊥β得 a b解=0得, x＝－10.
(2)由 a =b 2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得 a 从b,而l1⊥l2． 答案：(1)－10 (2)l1⊥l2
方法二:∵ P=D(0,1,-2), =(P A 4,-22)3，, 假设
C M∥平面PAD，
则存在x,y使 C M x P D 则 y P A ,
3
0
2
x
2
3y
方程组的解为
4y
3
2x
2y，
2
∴ CMPD1PA
4
由共面向量定理知 C M与
x 1
y
1， 4
、P D 共P面A ，故假设成立，
【即时应用】 (1)思考：①如何确定直线的方向向量？ ②在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有 两个方程，如何求法向量？ 提示：①在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直 线的方向向量. ②给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即 可作为法向量的坐标．
(2)若A(0,2, 1 9 ),B(1,-1,5 ),C(-2,1,5 )是平面α内的三
【解题指南】建立空间直角坐标系，求 D E，求平面AMN及平 面 EFDB的法向量，分析它们的关系，得证.
【规范解答】分别以DA、DC、DD1所在的直线为x、y、z轴 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
A(1，0,0),B(1，1，0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),
D1(0,0,1),C1(0,1,1).
又∵CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.
②取AP的中点E,连接BE，则E( 3 ,2,1),
BE3,2,1.
∵PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵ B E D A = ( 23，，1)·( 3，2 03，)=0， ∴ B E ，D ∴A BE⊥DA，又PA∩DA=A. ∴BE⊥平面PAD, 又∵BE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
由
n
D B可= 0得,
n D F = 0
取z2=1.
x y
2 2
= =
-y -2
2
z
2
,
∴平面EFDB的一个法向量n =(2,-2,1),
∵ m=∴n, ∥ m,∴平n面AMN∥平面EFDB.
【反思·感悟】(1)本题(1)证线面平行用了直线DE的方向向量 垂直于平面AMN的法向量的方法. (2)本题(2)证明面面平行用了两平面的法向量平行的方法给予 证明，当然此题还可以用如果 M N∥ ，B D且 ∥ AM，则D两F 个平面平行的方法给予证明.
A N∴=0
,
m N M =0
-x1 2
1 2 x1
+ +
0
1 2
y1+z1 y1+0
= z
0 1=
0
,
∴y1=-x1=-2z1,
取z1=1,得m =(2,-2,1),
∵ m D E =12+1(-2)+11=0,
2
∴ m又DE, 平D面E AMN,∴DE∥平面AMN.
(2)设平面EFDB的一个法向量为n =(x2,y2,z2),
【解题指南】建立空间直角坐标系.①可证明 C与M 平面PAD 的法向量垂直；也可将 C M分解为平面PAD内的两个向量的线 性组合，利用共面向量定理证明.②取AP中点E，利用向量证 明BE⊥平面PAD即可.
【规范解答】由题意可知：以C为 坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所 在直线为y轴，CP所在直线为z轴建 立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2 3 ,PB=4.
∴D(0,1,0),B( 2 03,0, ),
A( 2 34,,0),P(0,0,2),M(
)3 ,, 0 , 3
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∴ D=P (0,-1,2), =D(A 3,20)3, ,
【反思·感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证 明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问 题带来了简捷的方法. 2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系， 并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问 题.
谢谢聆听