欧姆定律的微分形式

dS dl
E
j
dI
dP dI dU ( jdS ) ( E dl ) ( jdS ) ( E j / j )dl E j dV体
dP w E j dV体
由 j ＝E 有
w E2
j2

焦耳定律的微分形式 对导体内任一点
1、利用汤姆逊定理：静电平衡时，电场能量最 小。证明导体球壳，电荷只能分布在外表面， 电场能量最小。 2、一球形电容器由金属和外面有厚度的同心金 属球壳构成，充电后，两极分别带上等量异 号电荷。设电荷都是球对称分布的，试证明： 只有电荷分布在相向的两个表面上，电场能 量最小。 3、一金属球外有一同心、有厚度的金属球壳， 两者不带电。今将相同电荷Q分别放在球和球 壳上。设电荷都是球对称分布的，球上、壳 上电荷如何分布，电场能量最小。
V
dq dV dt t V
j 0 t
（微分形式）
2 稳恒电流
一、稳恒电流
电流场中每一点的 j 的大小和方向均不随时间改变。
二、稳恒条件
1. 稳恒条件
若电流场内 j 不随时间t 变 要求空间电荷分布不 随时间t 变 dq内 则在电流场内作一任意闭合S 面，有 0 dt 稳恒条件： S j dS 0
1
电流和电流密度
一、电流强度
1. 电流 电流形成条件 1) 导体内可以自由运动的电荷； 2) 推动电荷作定向流动的电场或某种非静电力。 2. 电流强度 大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。 q dq I lim t 0 t dt 方向：正电荷运动的方向，沿电场方向， 从高电势流向低电势。 单位：安培 A
二、电流密度
1. 电流密度 电流密度矢量：描写空间各点电流大小和方向的物 理量。 某点的电流密度方向：该点正电荷定向运动的方向。 大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积 上的电流强度。
dI j dS
n
电流场：导体内每一点都有自己的j ， dS j=j(x, y, z) 单位：安培/米2，A/m2
球表面：Q 壳内表面：-Q
球上均匀分布电荷对球外电场没有影响
电荷在球表面分布时，球内电场为0，能量最低
壳外表面：2Q
壳上均匀分布电荷对壳外电场没有影响
在壳内表面以内产生电场为0
壳体电场为0时，能量最低
稳恒电流
1 电流和电流密度
2 稳恒电流 3 欧姆定律和焦耳定律的微分形式 4 电动势 5 金属导体的经典电子理论
电流线

dS
2. 电流密度和电流强度的关系
1) 通过面元dS 的电流强度
dI jdS jdS cos j dS
2) 通过电流场中任一面积S 的电流强度
I
S
j dS
电流强度是通过某一面积的电流密度的通量。
三、电流的连续性方程
电荷的运动可形成电流，也可引起空间电荷分布 的变化。 由电荷守恒定律，单位时间内由S 流出的净电量应 等于S 内的电量的减少。 电流连续性方程： 若 则
若静电平衡时，Q有部分在导体内，-Q有部分在壳体内，还有部分 在壳外表面，则球与壳间的电场不变，壳外电场为0，球体内及壳 体内电场不为零：
1 1 Ei Di 0 r Ei2 0 2 2
Wi
0 r
2
2 E i dV 0 V
W W0 Wi W0
3
S j dS 0 dq内 0S dt j dS 0
S
（流入正电荷>流出正电荷） 面内正电荷增加 （流出正电荷>流入正电荷） 面内正电荷减少
若
则
dq内 dt
0S
电流的连续性方程

s
dq j ds dt
负号表示减少
积分形式

s
j ds ( j )dV
1：
E
Q 4 0 r
r 3
1 0E2 2
2 1 Q W0 dV 0 E 2 dV 2 V 8 0 R V
若外表面以内有电荷分布：则内部电场不为零。
1 1 2 W1 0 E1 dV 0 E12 4 r 2 dr 2 0 E12 r 2 dr 0 2 V 2 0 0
dU dI R Edl jdS ( dl / dS ) j (1 / ) E
j E
dU dS dl
j
电导率： 1
导体中任一点电流密度的方向（正电荷运动方向） 和该点场强方向相同， 有 j E 欧姆定律的微分形式。
二、焦耳定律的微分形式
dU
在导体内取一小柱体 小柱体的发热功率
稳恒ห้องสมุดไป่ตู้流的闭合性：
j 0 （微分形式） t

s
dq j ds dt
积分形式
0 t
j 0
稳恒条件

s
j ds 0
稳恒电流线是连续的闭合曲线 电流线管
3
欧姆定律和焦耳定律的 微分形式
一、欧姆定律的微分形式
在导体的电流场中设想取出一小圆柱体（长dl ， 横截面dS） dU 小柱体两端的电压； dI 小柱体中的电流强度由欧姆定律
w E2
5
金属体的经典电子理论
一、基本概念
1. 自由电子气 金属导体具有晶体结构，正离子排列成整齐的空 间点阵。 自由电子在点阵间热运动，运动图象与容器中的 气体分子的热运动相似。
金属中自由电子的整体 自由电子气。
古典电子论的基本观点：气体分子运动论的规律 同样适应于金属中的自由电子气。
2. 金属导体中电流形成的微观过程 1) 金属中无电场时 2) 金属中存在电场时 电子受电场力 在热运动基础上叠加一定向运 动（漂移运动）。 自由电子速度 = 热运动速度 + 定向速度 自由电子平均速度 = 定向速度平均值 （漂移速度）
W W0 W1 W W0
R
R
2：
若Q，-Q对称分布在相向的两个球表面：
E1 0 : r R1 , r R2 Q E2 r : R1 r R2 3 4 0 r
2 Q 1 1 1 Q 2 W0 0 4 r dr 2 2 R1 4 0 r 8 0 R1 R2 R2 2