与三角形有关的线段【精品】讲义

一、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”．科学地学习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．
知识回顾---复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（一）如图,点A，B，C,D，E在同一条直线上，则图中有条线段。

（二）如图，已知线段AB=8cm,点C为AB的中点，则AC= =
（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是．
（四)一个三角形的面积是4.8m2,与它等底等高的平行四边形的面积是．
（五)直角三角形底3，高4，斜边5，求面积,斜边上的高
（六）有长度分别为3cm，4cm,5cm和6cm的四根木棒，从中任取三根，可以组成个
不同的三角形。

知识要点——复习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己学习过程中的疑
惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记
或者其它补充填在右栏．
知识点一：三角形
（一）三角形有关概念
(1）三角形的定义：由不在同一条上的三条线段顺次相接组成的图形
叫做三角形．
（2）三角形的基本元素：
①三角形的三条边：即组成三角形的；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的；
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的．
③三角形的顶点:即相邻两边的公共．
（3）三角形的特征：
①有线段；
②三个顶点同一直线上；
③三角形是一个的图形,顺次相接．
(4）三角形的符号:
①三角形用符号“”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“”，读作
“三角形ABC"；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

②三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示,BC 可用a 表示．
例1：如图,以下图形中三角形的个数是（ )
【变式】如图,以下图形中三角形的个数是（ ）
（二)三角形的分类
(1）按边分类：
⎧⎪⎧⎨
⎨⎪⎩⎩
不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形__________　
______________ 要点诠释:
①不等边三角形：三边都不__________的三角形
②等腰三角形：有两条边 的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做 ，另外一边叫做 ,两腰的夹角叫 ，腰与底边夹角叫做 ．
③等边三角形：三边都__________的三角形 （2）按角分类:
⎧⎪
⎧⎨
⎨⎪⎩⎩
直角三角形三角形　_______三角形_________　
钝角三角形 要点诠释：
①锐角三角形:三个内角都是 的三角形 ②钝角三角形：有一个内角为 的三角形
例2：已知△ABC 的三边长为a,b,c 满足
)(2=-+-c a c b ，则△ABC 是（ ）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.无法确定 【变式】下列说法正确的是（ ）
A.三角形可分为等边三角形和不等边三角形
B.三角形可分为等腰直角三角形、锐角三角形和钝角三角形
C.三角形可分为等边三角形、不等边三角形以及腰与底不相等的等腰三角形
D.有一个角为75°的三角形是锐角三角形
知识点二:三角形三边间的关系
定理：三角形任意两边之和第三边．推论：三角形任意两边之差第三边．
定理的数学语言：如图1，
| b－c |〈a<b+c
a b c
b c a
a c b
⎧
⎪
⇔⎨
⎪
⎩
＋＞
＋＞
＋＞
要点诠释：
(1）理论依据:两点之间最短．
（2)给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、
b、c为三边的长）：
①a+b〉c，，c+a>b都能成立,则以a、b、c为三边的长可以构成一个三
角形（此法一般不用）；
②|b－c｜〈a< ⇔长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最
长的线段,且，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．
（3)已知三角形两边的长,可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是．
（4）证明线段之间的不等关系．
例3：有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有( ) A。

2个 B.3个 C。

4个 D.5个
知识点三:三角形的高、中线、角平分线
（一）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的所在直线作垂线,和之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言:
如图2，AD是△ABC的高,或AD是△ABC的BC边上的高,或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°．
注意：AD是△ABC的高⇔∠ADB＝∠ADC＝°（或AD⊥BC于D）；
例4：分别作出下列三角形的三条高
要点诠释:
（1）三角形的高是；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的_______．
(3)三角形的三条高：
①锐角三角形的三条高在三角形部，三条高的交点也在三角形部;
②钝角三角形有两条高在三角形的部，且三条高的交点在三角形的
部；
③直角三角形三条高的交点是直角三角形的．
（二）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
1BC．如图3，AD是△ABC的中线或AD是△ABC的BC边上的中线或BD＝CD＝
2
1______．
即AD是△ABC的中线 BD＝______＝
2
要点诠释：
（1）三角形的中线是；
(2）三角形三条中线全在三角形部；
（3）三角形三条中线交于三角形部一点，这一点叫三角形的．（4）中线把三角形分成面积的两个三角形．
例5：等腰三角形一腰上的中线将此三角形的周长分成15cm和12cm两部分，试求此三角形的腰长。

【变式】已知BD是△ABC的中线，AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长差
是（）
A.2 B。

3 C.6 D。

不能确定
（三)三角形的角平分线
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
三角形的角平分线的数学语言:
如图4，AD 是△ABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上．
即AD 是△ABC 的角平分线⇔∠BAD ＝∠DAC ＝2
1
______ （或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC ） 要点诠释：
(1）三角形的角平分线是 ；
(2）三角形三条角平分线交于三角形 部一点,这一点叫做三角形的 ．
（3）可以用 或 画三角形的角平分线． 例6：在△ABC 中，的高和平分线，分别是，，ABC AE AD C B ∆︒=∠︒=∠,4080
的度数为则DAE ∠（ ）
【变式】如图,已知BOC COD AOB AOD
S S S S
∆∆∆∆===，试求，，653
知识点四：三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的 ． 要点诠释:
(1)三角形的形状固定是指三角形的三个 角不会改变，大小固定指三条 不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如,房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形．
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举
一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．
类型一:三角形的概念
例1．图5中以BC为边的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
举一反三：
【变式1】在图5中,以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
【变式2】在图5中,具有公共边AB的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
类型二：三角形三边关系
例2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）
A．3cm，12cm,8cm B．6cm，8cm，15cm
C．2。

5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12。

6cm
举一反三:
【变式1】已知三条线段的比是：①1:3：4；②1：2：3；③1:4：6；④3：3：6;⑤6：6：10；⑥3：4：5．其中可构成三角形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，则以其中三条线段为边可构成个三角形.
【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ )
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b—c|+｜b—a-c|-|c+b—a｜．
思路点拨：运用三角形三边的关系确定绝对值内式子的符号，然后根据绝对值的法则去绝对值．
☆【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数．
思路点拨：解题的关键是确定出最大边的范围．
例3．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是．
思路点拨：三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是．
解析：三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是
,即．
举一反三：
【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L的取值范围是( ）A．6<L〈15 B．6<L〈16 C．11〈L〈13 D．12<L〈16
【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,且它的周长大于16cm,则第三边长为．
☆例4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
思路点拨：本题分种情况讨论，但讨论的结果不一定有两个正确答案，要加以合理取舍．
举一反三:
【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是( ）
A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．11cm
类型三：三角形的高、中线、角平分线
例5．如图6，在锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC上的高,•且CD、BE 交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）
A．150° B．130°C．120°D．100°
举一反三：
【变式1】如图7所示，在△ABC中,∠C-∠B=90°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数．
【变式2】在△ABC中，∠B=60°,∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为．
【变式3】如图8所示,已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm,则△ABD与△ACD的周长之差为多少,将△ABD与△ACD的面积关系表达出来．
二、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节,它可
以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏,提高学习能力．
总结规律和方法---强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．
一、选择题
1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a，则a的取值范围是( )
A。

a＞0 B。

0＜a＜4 C.4＜a＜8 D.0＜a＜8
2。

△ABC中，CA=CB，D为BA中点,P为直线CD上的任一点,那么PA与PB的大小关系是( ) A。

PA＞PB B.PA＜PB C.PA=PB D.不能确定
3.△ABC中,AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是( )
A。

5＜AD＜7 B.1＜AD＜6 C。

2＜AD＜12 D。

2＜AD＜5
4。

△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AP=12，则AB,AC关系为（ )
A。

AB＞AC B。

AB=AC C。

AB＜AC D.无法确定
5.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a，b,c为边的三角形共有( )
A.4个 B。

5个 C。

6个 D。

7个
6.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O,则∠COD为（）
A.40°或140° B。

50°或130° C. 40° D. 50
7.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是（）
A。

60°B。

80° b.100°D。

120° C.∠ADC＜∠AEB D。

不能确定
二、填空题:
1.△ABC中,∠A-∠B=10°,2∠C—3∠B=25°,则∠A= 。

2。

等腰三角形周长为21cm,一中线将周长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长为________。

3。

点A、B关于直线l对称，点C、D也关于l对称，AC、BD交于O，则O点在上.
4.△ABC周长为36，AB=AC，AD⊥BC于D,△ABD周长为30cm,则AD= .
5。

等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为45°,则顶角为。

6。

三角形三边的长为15、20、25，则三条高的比为 .
7。

若三角形三边长为3、2a-1、8，则a的取值范围是。

8。

如果等腰三角形两外角比为1∶4则顶角为。

9.等腰三角形两边比为1∶2，周长为50，则腰长为 .
10.等腰三角形底边长为20，腰上的高为16.则腰长为 .
三解答题
1。

△ABC中AB=AC，D在AC上，且AD=BD=BC。

求△ABC的三内角度数。