[推荐学习]2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程真题演练集训理

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.1 直线的倾斜角与斜
率、直线的方程真题演练集训 理 新人教A 版
[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24
与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．
解：(1)由题设，可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )． 又y ′＝x 2，故y ＝x 24
在x ＝2a 处的导数值为a ，则C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0； y ＝x 24
在x ＝－2a 处的导数值为－a ，则C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.
故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .
从而k 1＋k 2＝
y 1－b x 1＋y 2－b x 2 ＝2kx 1x 2＋a －b
x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a
. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，
故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．
课外拓展阅读
忽视斜率不存在而致误分析
[典例] 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2
＝4，则过点P (－1,1)的圆的切线方程为________．
[审题视角] 首先验证过P (－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．
[解析] (1)当直线的斜率不存在时，方程为x ＝－1.
此时圆心C (1，－2)到直线x ＝－1的距离d ＝|－1－1|＝2，
故该直线为圆的切线．
(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k ，
则其方程为y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0.
由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|k ×1－－
＋k ＋1|k 2＋－2
＝2， 整理得|2k ＋3|k 2＋1
＝2， 解得k ＝－512
， 故此时切线方程为－512x －y ＋712
＝0， 即5x ＋12y －7＝0.
综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.
[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0
温馨提醒
求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．。