一元一次方程难点

一元一次方程难点

主要困难体现在两个方面：

一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；

二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

详细说明→

事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

所以，其实一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

初一年级涉及的主要有以下几类：

（1）行程问题；

（2）工程问题；

（3）溶液配比问题；

（4）销售问题；

（5）数字问题；

（6）比例问题；

（7）设中间变量的问题。

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。

行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

等量关系为：①路程=速度×时间；

②速度=路程/时间；

③时间=路程/速度

特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；

②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：

顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

典型例题

例1

例2：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？

此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。

则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。

实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（）小时，第二段是耽误停留的12分钟（转换成小时为（12/60）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（）小时，所以可以列方程为：=（）++

解得：x=360千米。

例3：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？

解析：这一问题实际上分为两个过程：

①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；

②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。

在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为x，则：

3x - x = 450

解得x=300s。

在第二个过程相遇问题中，等量关系是：此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为y，则：

3y + y = 450

解得：y=100s。

所以往返共用时间为x+y=400s。

例4：一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。

解析：顺水速度=静水速度+水流速度；

逆水速度=静水速度－水流速度。

此题的等量关系是：静水速度＝顺水速度－水流速度＝逆水速度+水流速度。

设两地之间距离为x千米，则

-2 = +2

解得x=96千米。

工程问题

工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：工作量=工作效率×工作时间；

工作时间=工作量/工作效率；

工作效率=工作量/工作时间。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。②如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

典型例题

例1：加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为1/20，乙的工作效率为1/10。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。所以可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。

可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天数为（12-x）天。因为乙的效率为1/10，则乙的工程量为x/10；甲的工作效率为1/20，则甲的工程量为，所以可列方程为： + =1

解得：x=8天。

例2：收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了2/3后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？

解得x=36亩。

例3：

一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？

解析：可知三个水管的工作效率如下：

甲水管的注水效率为1/10；

乙水管的注水效率为1/6；

丙水管的放水效率为1/15。

那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。

则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为x/10，乙的注水工作量为x/6，丙的排水工作量为x/15，则可列方程为：

+ －）＝1

解得x=5小时。