湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二数学下学期期中试卷(含解析)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二下学
期期中考试数学
一、选择题：共12题
1．复数在复平面内对应的点所在的象限是
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】本题主要考查复数的概念.因为复数
==
=,所以复数在复平面内对应的点为(.因为,所以该点位于第四象限.故选D.
2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个正态总体的期望与标准差分别是
A.10与4
B.10与2
C.4与10
D.2与10
【答案】B
【解析】本题主要考查正态密度函数的定义.根据定义可知,总体的均值,即期望方差
即,故选B.
【备注】正态密度函数,其中分别为总体的期望和标准差.
3．函数的大致图象是
【答案】B
【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.函数,其定义域为
,由得;由得
在上单调递增,在上单调递减.时取到极大值.又函数的图象在轴的下方.故选B.
4．袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次不放回地任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,设所需要的取球次数为,则随机变量的所有可能值为
A.1, 2, , 6
B.1, 2, , 7
C.1, 2, , 11
D.1, 2, 3,
【答案】B
【解析】本题主要考查随机变量的含义.根据题意,如果第一次取出的是白球,则此时为1.因为一共有6个红球,如果前6次取出的都是红球,则第7次一定是白球,因此最大为7,因此的所有可能值为1, 2, ,7.故选B.
5．设点P在曲线上,点Q在曲线上,则最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查指数函数、对数函数以及导数的应用.函数与函数互为反函数,因此曲线关于直线对称,所以要使最小,则点
P 关于直线对称.设, 点Q到直线的距离为,则
,令
,(,(x)=(x);当
时,(x),所以,所以.故选B.
6．若复数,则的值为
A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】本题主要考查复数的基本运
算.==,∴
.故选B.
7．已知是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数、,若<,则
的大小关系为
A.<
B.=
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查导数的应用.设,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以即,又,所以
,故选A.
【备注】要根据所给的式子的结构构造合适的函数,利用函数的单调性求解.
8．若,且,则等于
A. B. C.D.
【答案】B
【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算.因为,由得
,所以.故选B.
9．已知随机变量的概率分布如下:
则P(=10)等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查随机变量的分布和概率求和.表格中前9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,所以它们的和为.因为所有变量的概率之和为1,所以,即P(=10)=.故选C.
10．设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是
A.2
B.-1
C.-2
D.
【答案】C
【解析】∵f'(1)=-1,∴f'(1)=-2=k.
11．甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,设每次投篮甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,而且每次不受其它次投篮结果的影响,甲投篮的次数为,若甲先投,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率.因为甲先投,所以表示”甲第次投中,而甲与乙前次没有投中”,或者”甲第次未投中,而乙第次投中”.根据相互独立事件同时发生的概率得
到:=.故选B.
12．已知,且,现给出如下结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确结论的序号为
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的零点与方程根的关
系.当
,所以函数的增区间为
,减区间为,所以函数的极大值是函数的极小值是
,因为,且,∴
且,所以,所以所以.故选D.
二、填空题：共4题
13．= ___________.
【答案】
【解析】本题主要考查定积分的性质及其计
算.==
14．已知复数是实数,则=___________.
【答案】
【解析】本题主要考查复数的基本运算.,因为是实数,=.
15．已知,若存在,使得成立,则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. 存在,使得成立,等价于,当
时,递减,当时,递增,所以当时,取得最小
值,; 当时,取得最大
值,,故实数的取值范围是.
16．若函数的图象关于直线对称,则的最大值是________.
【答案】16
【解析】本题主要考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力.因为函数的图象关于直线对称,所以为偶函
数.=
,此式如果展开,的系数为的系数为因为为偶函数,所以故,所以,令,得
,分解可得,所以
,所以当
时,,当时,,所以,在和处取得最大值,代入可得的最大值是16.
三、解答题：共6题
17．已知复数,若是实数,求实数的值.
【答案】由题得
==,因为
是实数,所以
a=3.
【解析】本题主要考查复数的基本运算.根据是实数,列出方程组,即解得a=3.
18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.
【答案】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A,那么
P(E A)==.
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么
P(E)==.
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P()=1-P(E)=.
(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则
P(ξ=2)==.
所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=,ξ的分布列是
【解析】无
19．已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (Ⅱ)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f '(x)=2ax,g '(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),
且f '(1)=g '(1),
即a+1=1+b,且2a=3+b,
解得a=3,b=3.
(Ⅱ)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,
h(x)=x3+3x2-9x+1,
h'(x)=3x2+6x-9.
令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1.
h(x)与h'(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:
由此可知:
当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;
当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此,k的取值范围是(-∞ ,-3].
【解析】本题主要考查切线、单调性、极值以及最值问题,难度中等,意在考查考生的运算能力和逻辑思维能力.(1)曲线在某点处的切线的斜率就是该点处的导数;(2)本题中函数的极大值同时也是最大值,由此来确定字母k的取值范围.
20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n ∈N)的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【答案】(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.
当日需求量n<16时,利润y=10n-80.
所以y关于n的函数解析式为
y=(n∈N).
(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
X的分布列为
X的数学期望为
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
X的方差为
DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
(ii)答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y的数学期望为
EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y的方差为
DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.
由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二:
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y的数学期望为
EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
【解析】本题主要考查函数解析式、随机变量的概率、分布列和方差,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)根据日需求量分类求出函数解析式.(Ⅱ)(i)根据当天的需求量,写出相应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差.(Ⅱ)(ii)比较两种情况的方差或数学期望即可.
【备注】
本题中的利润与需求量之间的对应关系是由(Ⅰ)中的函数关系确定出来的,它们之间的关系是线性对应关系,所以它们相对应值的概率一致,抓住一致性就可以顺利解答问题.
21．已知M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设
,记.
(1)求函数的表达式;
(2)设.若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)∵过点M的直线分别交两边AB,AC于P,Q,
∴0＜x≤1,0＜y≤1,
又∵=x=y,
∴==+)=+,
又∵P,M,Q三点共线,∴+=1,
∴y=f(x)=,
由得,
∴≤x≤1,
∴y =f (x )=,x ∈[,1].
(2)∵f (x )==+在[,1]内是减函数,
∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]max =f (31
)=1,
即函数f (x )的值域为[,1],
∵g ’(x )=3x 2+3a 2≥0,
∴g (x )在[0,1]内是增函数,
∴[g (x )]min =g (0)=2a ,[g (x )]ma x =g (1)=3a 2+2a +1,
∴g (x )的值域为[2a ,3a 2+2a +1],
由题设得[,1] [2a ,3a 2+2a +1], 则,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].
【解析】本题主要考查平面向量基本定理,三点共线的条件和函数的性质.
(1)先求出==+)=+,然后利用P,M,Q 三点共线得到+=1 ,变形得到函数解析式y =f (x )=,再利用即 求出≤x ≤1 ,即函数的定义域,从而得到函数的表达式为:y =f (x )=,x ∈[,1].
(2)先将y =f (x )的表达式变形得到(x )==+,易知函数y =f (x ) 在[,1]内是减函数,∴
[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]m ax =f (31
)=1,即f (x )的值域为[,1].对函数
通过求导,可得到在上是增函数,求出其值域为[2a ,3a 2+2a +1].根据题意可
知,[,1]⊆[2a ,3a 2+2a +1],∴,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].
22．已知函数.
(1)当时,求证:;
(2)在区间(1, e)上恒成立,求实数a 的取值范围;
(3)当时,求证:N*).
【答案】(1)令g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+ (x ＞0),
∴g ’(x )==(x ＞0),在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正,
∴g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴[g (x )]min =g (1)=0,
∴∀x ∈(0,+∞),g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+≥0,
又∵a＞0,∴f(x)-1≥a(1-).
(2)令h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则h’(x)=-1=-(1＜x＜e),
1°当a＞e时,∀x∈(1,e),h＇(x)＞0∴h(x)在(1,e)内是增函数,
∴∀x∈(1,e),h(x)＞h(1)=0∴a＞e符合;
2°当1＜a≤e时h’(x)在(1,a)内为正,在(a,e)内为负,
∴h(x)在(1,a)内递增,在(a,e)内递减,
∴∀x∈(1,e),f(x)＞x⇔⇔e-1≤a≤e;
3°当a≤1时h’(x)在(1,e)内为负,所以h’(x)在(1,e)内单调递减,令h(e)=a+1-e>0,解得a>e-1,与a≤1矛盾,舍去.
综合1°2°3°,得a≥e-1.
(3)∵由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号,
当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,
∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,
∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞
(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).
【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.
(1)要证明当时,,只要证明构造函数
g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+(x＞0),∴g’(x)== (x＞0)它在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正∴g(x)在(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增∴[g(x)]min=g(1)=0∴∀x∈(0,+∞),g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+≥0又∵a＞0∴f(x)-1≥a(1-)
(2)构造函数h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则原问题等价于h(x)>0恒成立时a的取值范围.将h(x)求导后对a进行分情况讨论即可.
(3) 由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号
当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,
∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,
∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞
(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).。