高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》分类汇编附解析

【高中数学】数学高考《平面解析几何》试题含答案
一、选择题
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
2．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过
2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的
最小值为（ ）
A ．B
C ．2
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得
2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.
【详解】
由222
24(42)02y x b
x b p x b y px
=+⎧⇒+-+=⎨=⎩，
12122
2,24
b p b x x x x +=-=-，
因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，
125x =-，
所以()222
2
2512424b p b ⎡⎤
-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ （1） 又直线l 经过C 的焦点，
则,22
b p
b p -=∴=- （2）
由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为2
4y x =.
设()2
0000,,4M x y y x ∴=.
则()()()222
22
00000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，
故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
3．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，
FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）
A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以
||||2612AF BF ==⨯=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1
||||||2
AD AF AB ==
，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
4．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, 23
3
AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．
3
π B ．
34
π C ．
56
π D ．
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】
设|AF |＝m ,|BF |＝n , ∵23
3
AF BF +=, 23
23
AB mn ≥∴213mn AB ≤,
在△AFB 中,由余弦定理得2
2
222()2cos 22m n AB
m n mn AB
AFB mn
mn
+-+--∠=
=
2
12213222
AB mn
mn mn mn mn --=≥=-
∴∠AFB 的最大值为
23
π. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.
5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；22
4x y +=和()3
222216x y x y +=联立解得
222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得22
4x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；
将22
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆2
2
4x y +=与曲线C 相切于点
2,2，(2,2-，(2,2，
2,2-，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
6．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||3MN ≥k
的取值范围是（）
A．3 ,0 4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
B．
3
0,
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
3
,0
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D．
2
,0
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【答案】A
【解析】
【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】
如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),330
y kx kx y
=+⇒-+=
Q
∴弦心距
222
(1)1
CD
k k
==
+-+
，又2
||23||33
MN DN DN
厖?，
∴由勾股定理可得
2
2222
2
23
1
DN CN CD
k
⎛⎫
=-=-
+
…，
222
2
3
1|31|1(31)1(43)00
4 1
k k k k k k k
k
⇒++++⇒+⇒-+
剟剟
答案选A
【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式
7．已知双曲线
22
:1
124
x y
C-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,P Q．若POQ
∆为直角三角形，则PQ=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意不妨假设P点在第一象限、Q点在第四象限，90
OPQ
∠=︒，解三角形即可.
【详解】
不妨假设P点在第一象限、Q点在第四象限，90
OPQ
∠=︒.则易知30
POF
∠=︒，4
OF=，∴23
OP=POQ
n中，60
POQ
∠=︒，90
OPQ
∠=︒，23
OP=
∴6PQ ==. 故选C 【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
8．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP FP →→
g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
9．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】
【分析】
联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-
+的交点位于第一象限，可得00
x y >⎧⎨
>⎩，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21
k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
10．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ） A
．
2
B
．
2
C
D
．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒
，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221
202
x y x +-+=
，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒
，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭
，，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
11．已知P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则
“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当
217PF =时，4a =，得到答案.
【详解】
P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -
=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，
当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.
故选：B . 【点睛】
本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
12．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲
线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
13．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线
C 为双曲线的充要条件，q ：1
2
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的
是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102
m << 若1
02
m <<
，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则1
2
m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．
14．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭
()115522333
⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
15．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A
B
．
4
C
．
7
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2
212314e e ∴
+=，又22e =，2145
e ∴=，
1e ∴=
故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
16．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）
A B ．2
C ．4
D ．【答案】B 【解析】 【分析】
由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】
∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，
∴||PQ =
=
=
22cos()αβ=--.
∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】
本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
18．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：22
1169
x y +=，
点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18
C ．16
D ．以上均有可能
【答案】C 【解析】 【分析】
根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】
依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.
19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C 2a
D 2a
【答案】D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可. 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
20．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
方程2
0mx ny +=即2
m
y x n
=-
，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2
2
10mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2
m
y x n
=-
开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.。