高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教师用书理

专题一三角函数与平面向量
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[高考点拨]三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
突破点1 三角函数问题
(对应学生用书第167页)
A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.
(2)三角函数图象的两种常见变换
(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π
2(k ∈Z)时为偶函
数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，
(k ∈Z)解得．
(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π
2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函
数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k
∈Z)解得．
y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π
2
(k ∈Z)解得，无对称轴.
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2
α＋2cos 2
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)＋cos 2
α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦.
)＋c 其中tan φ＝b a
的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋b 2
sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．
(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2
x ＝1－cos 2x 2，
sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2
，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2
x 转化整理为
y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．
回访1 三角函数的图象问题
1．(2015·山东高考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
B [由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.]
2．(2016·全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图1­1所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
图1­1
A [由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2π
π
＝2.又图象的一个最高点坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合
选项可知y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.]
3．(2013·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到
一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.
3π
4
B.π4
C ．0
D ．－π4
B [y ＝sin(2x ＋φ) ――→向左平移π
8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋φ.
当φ＝3π
4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；
当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π
4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.]
回访2 三角函数的性质问题
4．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )
A.π2 B ．π C.3π2
D ．2π
B [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos x －12sin x
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.
法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2
x －3sin 2
x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.故选B.]
5．(2016·全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图
象的对称轴为( )
A ．x ＝
k π
2－π
6
(k ∈Z) B ．x ＝
k π
2＋π
6
(k ∈Z)
C ．x ＝
k π
2－π
12
(k ∈Z) D ．x ＝
k π
2＋π
12
(k ∈Z) B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝kx ＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的
对称轴为x ＝
k π
2
＋
π
6
(k ∈Z)．] 6．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图1­2所示，则f (x )的单调递减区间为( )
图1­2
A.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1
4，k ＋34，k ∈Z
D.⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫54－14＝2，
∴
2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π
4，
∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.
由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋3
4，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.]
回访3 三角恒等变换
7．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5
，则sin 2α＝( )
A.7
25
B.15 C ．－15
D ．－725
D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5，
所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
－2α
＝cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－α
－1＝2×925－1＝－725.]
8．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.
－43 [由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ
是第四象限角，所以cos θ＋
π
4
＞0，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4
＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.]
9．(2016·浙江高考)已知2cos 2
x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，
b ＝________.
2 1 [∵2cos 2
x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
∴1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx
＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.]
(对应学生用书第167页)
热点题型1 三角函数的图象问题
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.
(1)(2016·青岛模拟)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m
＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )
A.π
6
B.π
12 C.
π
3
D.
5π6
(2)(2016·衡水中学四调)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图1­3所示，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上
的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π
12
，则( )
图1­3
A ．ω＝2，φ＝π
3
B ．ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝12，φ＝π
3
D ．ω＝12，φ＝π
6
(1)A (2)A [(1)设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋x ，
向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3.∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶
函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z)，又m ＞0，∴m 的最小值为π
6
.
(2)由题意可知T 4＝π
6＋π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.又sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,0＜φ＜π2，∴φ＝π
3
，故选A.]
1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2；
(2)ω由周期确定；
(3)φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．
2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
[变式训练1] (1)(2016·烟台模拟)将f (x )＝sin 2x 的图象右移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，得到g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|的最小值为π
3，
则φ的值为( )
A.π
12 B.π
6 C.
π
4
D.
π3
(2)(2016·江西八校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1­4所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )
图1­4
A ．0
B ．3 2
C ．6 2
D ．－ 2
(1)B (2)A [(1)g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)，则f (x )，g (x )的最小正周期
都是T ＝π.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝T 2－φ＝π2－φ＝π
3
，从而
φ＝π
6
.
(2)由题图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π
4，
∴f (x )＝2sin π
4
x .
∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，
f (8)＝0，
而2 016＝8×252，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.] 热点题型2 三角函数的性质问题
题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.
(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的单调性．
[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
.1分 f (x )＝4tan x cos x cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π3
－ 3
＝4sin x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12cos x ＋32sin x － 3
＝2sin x cos x ＋23sin 2
x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3
＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.4分
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π.6分 (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，
得－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z.8分
设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.10
分
所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π
4，－π12
上
单调递减.12分
研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的“两种”意识
1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式． 2．整体意识：类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”代入求解便可．
[变式训练2] (1)(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π
6
个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )
A ．在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π
4对称
C ．函数g (x )是奇函数
D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是[－2,1] (2)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若⎝
⎛⎭⎪⎫π5
，5π8是f (x )的一个单调递增
区间，则φ的取值范围为( ) 【导学号：67722009】
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π10，－9π10
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π10，4π4
C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π10，π4 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，π10∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，＋∞ (1)D (2)C [(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个
单位，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 对于A ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可知2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上是减函数，故A 错；
又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＝0，故x ＝－π4不是g (x )的对称轴，故B 错；又g (－x )＝2cos 2x
＝g (x )，故C 错；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，4π3，故g (x )的值域为[－2,1]，D 正确． (2)令2k π＋π2＜2x ＋φ＜2k π＋3π
2，k ∈Z ，
所以k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ
2
，k ∈Z ，
所以函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4－φ2，k π＋3π4－φ2上单调递增．
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π5
，5π8是f (x )的一个单调递增区间，
所以5π8≤k π＋3π4－φ2，且k π＋π4－φ2≤π
5
，k ∈Z ，
解得2k π＋π10≤φ≤2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π，所以π10≤φ≤π
4.故选C.]
热点题型3 三角恒等变换
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y ＝A ωx ＋
φ
的有关性质.
(1)(2016·江西八校联考)如图1­5，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B
在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12
13，－513，∠AOC ＝α，若|BC |＝1，则3cos 2
α2－sin α2cos α2－3
2的值为________．
图1­5
(2)已知函数f (x )＝sin
2
5x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0，则函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，3π10上的最大值为________．
(1)5
13
(2)3－ 2 [(1)由题意可知|OB |＝|BC |＝1，∴△OBC 为正三角形． 由三角函数的定义可知，sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝5
13
，
∴3cos
2
α2－sin α2cos α2－32＝3
＋cos α
2
－
sin α2－32＝32cos α－1
2
sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝5
13
.
(2)f (x )＝sin
2
5x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ＝－cos 5x 3＋3sin 5x 3
＋λ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x 3－π6＋λ.
由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，
故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6－ 2.
因为0≤x ≤3π10，所以－π6≤5x 3－π6≤π
3
.
因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增，
所以f (x )的最大值为f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π10＝2sin π3－2＝3－ 2.]
1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．
2．在研究形如f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的函数的性质时，通常利用辅助角公式a sin
x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)把函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，通过对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的研究得到f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的性质．
[变式训练3] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝
1＋sin β
cos β
，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－4
5
B ．－35
C.45
D.35
(1)B (2)C [(1)法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π
2
.
法二：tan α＝1＋sin βcos β＝
1＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－β
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－β
＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π
4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2
＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ， ∴2α－β＝2k π＋π
2，k ∈Z.
当k ＝0时，满足2α－β＝
π
2
，故选B. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0， ∴32sin α＋32cos α＝－43
5， ∴
32sin α＋12cos α＝－45
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3
＝－12cos α－32sin α＝4
5
.]
专题一 三角函数与平面向量 建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
专题限时集训(一) 三角函数问题 [建议A 、B 组各用时：45分钟]
[A 组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·泰安模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后
关于原点对称，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) 【导学号：67722010】
A ．－
3
2
B ．－1
2
C.1
2
D.32
A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移
π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3
，
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，
当x ＝0时，f (x )min ＝－
3
2
，故选A.] 2．(2016·河南八市联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝1
2f (x )，则tan 2x
的值是( )
A ．－2
3
B ．－4
3
C.4
3
D.34
D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －1
2cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝
2tan x 1－tan 2x ＝
－61－9＝3
4
，故选D.] 3．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x 的最大值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
B [∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x
＝cos 2x ＋6sin x
＝1－2sin 2
x ＋6sin x ＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，
又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.]
4．(2016·郑州模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图
1­6所示，则f (0)＋f ⎝
⎛⎭
⎪⎫17π12的值为( )
图1­6
A ．2－ 3
B ．2＋ 3
C ．1－
32
D ．1＋
32
A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－
π12，－2，所以f －π
12
＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，
k ∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π
3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]
5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A ．[－1,1]
B ．[－1，2]
C ．[－2，1]
D ．[1，2]
A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]
二、填空题
6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)
＝________.
【导学号：67722011】
3
5 [∵tan α＝2， ∴sin 2
⎝
⎛⎭
⎪
⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)
＝cos 2
α＋sin αcos α ＝cos 2
α＋sin αcos αsin α＋cos α ＝1＋tan α
tan 2
α＋1 ＝
1＋2
4＋1
＝35
.] 7．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1­7所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝
________.
图1­7
－ 3 [由函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝π
2，
则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx (A ＞0，ω＞0)．又由△EFG 是边长为2的等边三角形可得A ＝3，最小正周期T ＝4＝2πω，ω＝π2，则f (x )＝－3sin π
2
x ，f (1)＝－ 3.]
8．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．
π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π
4
， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
所以ω2
＝π4
＋2k π，k ∈Z.
又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2
＝π4，
所以ω＝
π2
.]
三、解答题
9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2满足下列条件：
①周期T ＝π；②图象向左平移π
6个单位长度后关于y 轴对称；③f (0)＝1.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求cos(2α－2β)的值．
[解] (1)f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2.1分
f (x )的图象向左平移π6
个单位长度，变为g (x )＝A sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6
＋φ.2分
由题意，g (x )关于y 轴对称， ∴2×π6＋φ＝π
2
＋k π，k ∈Z.3分
又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.4分
∵f (0)＝1，∴A sin π
6＝1，∴A ＝2.5分
因此，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＋π6＝－1013， 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2β＋π3＋π6＝65.7分
∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2α，2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝513，cos 2β＝35，sin 2α＝
1213，sin 2β＝4
5
，11分 cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β ＝513×35＋1213×45＝63
65
.12分 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π
2的部分图象如图1­8
所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.
图1­8
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．
[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42
＋5
2
－13
2
2×4×5
＝
5
5
.2分 又cos ∠POQ ＝
x P
5
，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分 由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π
6
.4分
将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ，
得sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝1.
∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6x ＋π3.6分
(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π
6
x －
＋π3＝2sin π6
x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6x ＋π3·sin π6x
＝2sin
2
π6x ＋23sin π6x ·cos π
6
x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3x －π6.9分
当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，10分
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3x －π6∈(－1,1)，
即1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3
x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分
[B 组 名校冲刺]
一、选择题
1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2
α－sin 2α的值为( )
A.5
13 B ．－5
13
C.
3
13
D ．－313
D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313
，cos α＝2
13，所以sin 2
α－sin 2α＝sin 2
α－2sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3132
－2×
313×213
＝－313.] 2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向
右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A.3
2
B.12 C ．－12
D ．－
32
D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π
2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －
π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－32，故选D.]
3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )
A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称
C ．奇函数且它的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2，0对称
D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝0，
即a cos π4＋b sin π
4
＝0，∴a ＋b ＝0，
∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .
易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1­9所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )
图1­9
A ．±22
3
B.22
3
C ．－223
D.13
C [由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π
6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，
所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因
为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，
则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.]
二、填空题
5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范
围是________．
【导学号：67722012】
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω
(k ∈Z)． 由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区
间，故有⎩⎪⎨⎪⎧
2k πω＋π4ω≤π
2
，2k πω＋5π
4ω≥π，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4(k ∈Z)．
由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜3
8.
由ω＞0，可知k ≥0，
因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54.]
6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3
. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π
12
.
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，
∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋
π
62＝π
3，
∴14T ＝7π12－π3＝π
4，∴T ＝π.] 三、解答题
7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
，数据补全如下表：
4分
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z.8分
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π12，0成中心对称，
所以令
k π
2＋π12－θ＝5π
12
， 解得θ＝
k π
2－π
3
，k ∈Z.10分 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6
.12分
8．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2
x ＋12cos 2x ＋12
，x ∈R.
(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π2上的最值；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．
[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2
x ＋12cos 2x ＋12
＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋1
2
＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分
∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π
6
，3分
∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分
当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6
时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
4
个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.7分
由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3
＝－3
5.8分
∵
4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分
∵π2＜α2－π6＜3π
4
，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π32
＝－
1－452
10 10.12分
＝－。