3.1 导数的概念及运算 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数

所以a=7. (2)因为函数f(x)为奇函数,所以a-1=0,解得a=1.所以 f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切 线方程为y=x.
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(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线
y=f(x)上点 (x 0,f (x0 )) 处的 切 线 的 斜 率 ,切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) .
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex
=3(x2+3x+1)ex,
∴ k=y'|x=0=3. ∴ 曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
y=3x
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考点1
考点2
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例1分别求下列函数的导数: (1)y=ex·sin x;
思考函数求导应遵循怎样的原则?
考点1
考点2
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对点训练1(1)(2019辽宁大连联考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),
且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=( B )
A.-e B.-1 C.1 D.e (2)求下列函数的导数:
考点1
考点2
源自文库
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令x=1,得f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.
则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
(3)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的
值是 -3 .
考点1
考点2
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考点1
考点2
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考向一 已知过函数图象上一点求切线方程
例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考求函数的切线方程要注意什么?
考点1
考点2
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考点1
考点2
考向二 已知切线方程(或斜率)求切点
例3(2019江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上, 且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A
的坐标是 .
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
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考点1
考点2
考向三 已知切线方程(或斜率)求参数的值
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3.函数f(x)的导函数 一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,导数
为f(x)的 导 函 数 ,通常也简称为导数.
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4.基本初等函数的导数公式
αxα-1
cos x -sin x axln a(a>0,且a≠1)
将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,
∴ b=-1.
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D
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解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线 过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是yf(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解.
f(x)=xex,∴ f(1)=e,f'(x)=ex+xex, ∴ f'(1)=2e,∴ f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),
即y=2ex-e. y=2ex-e
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5.(2019全国Ⅰ,理13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数, 再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入 函数解析式求出切点的纵坐标.
3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等 于切线斜率的方程.
考点1
考点2
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C A.1 B.-1 C.7 D.-7
(2)(2019广东七校联考)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,
例4(2019全国Ⅲ,理6)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方
程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
思考已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么?
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∵ y'=aex+ln x+1,
∴ k=y'|x=1=ae+1=2, ∴ ae=1,a=e-1.
考点1
考点2
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考点1
考点2
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解题心得函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切 忌记错记混. (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变 量,确定复合过程,然后求导.
y'x= y 'u· u'x ,即y对x的导数等于 y对 u 的导数与 u对 x 的导数的乘积.
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( × ) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0). ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( × ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ( ×)
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2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为
那么速度为零的时刻是( )
A.0 s
B.1 s末
C.2 s末
D.1 s末和2 s末
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4.函数f(x)=xex的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 .
ex
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5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'( x) ± g'( x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
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6.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为