光电信息物理基础——数学基础
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引入del算子，矢量场A的散度可简记为
第一章 数学基础
高斯散度定理
意义：任一矢量场A的散度的体积分等于该矢量场A穿过该 限定体积的闭合面的总通量。
同向，大小为A的m倍。
单位矢量：大小为1的矢量。如A的单位矢量表示
为。
一个矢量可以用该矢量方向上的单位矢量和该矢量
的大小相乘所得，即：
第一章 数学基础
任意矢量都可以分解为几个矢量，特别是可以分解为 沿坐标轴的互相垂直的分量。如在笛卡尔坐标系中， 矢量A可以分解为：
为坐标轴方向的单位矢量。
4.两矢量的标量积
若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有
6.三矢量相乘
)
第一章 数学基础
7. 矢量函数与矢量线 标量函数：具有确定数值的标量可以是空间坐标（如
直角坐标系中的x,y,z）和时间t的函数，称f(x,y,z;t)为标 量函数。 矢量函数：具有确定方向的物理量的矢量，一般都是 一个或几个（标量）变量的函数，称F(x,y,z;t)为矢量函 数。
第一章 数学基础
矢量场A沿场中任一有向曲面S的积分
称为矢量场A穿过面S 的通量。 当式中S为一小闭合曲线时，取曲面正法向由内向外，
记S包围的空间区域为 ，其体积为 。 在直角坐标系中矢量A可表示为
有向面元dS可表示为：
故
第一章 数学基础
根据高斯积分公式，上式可写为：
利用积分中值定理，上式可写为
是沿直角坐标系坐标轴x,y,z 方向的单位矢量。在
场中任意点，矢量G是唯一的。
记沿l方向的单位矢量为
由（1.2-3）得
意义：它在任意方向的投影就给出沿这个方向u的方向导数。 矢量G的方向就是u变化率最大的方向，其模就是变化率的
最大值。
G称为标量场u的梯度。记做grad u=G
第一章 数学基础
如果这个物理量是标量，则为标量场，如温度场、电 势场等；
如果这个物理量是矢量，则为矢量场，如电场、磁场 等。
2.标量场的方向导数和梯度 标量场中分布在各点的物理量u是场中点坐标的单值函
数，即u=u(r),r代表三个空间坐标(x,y,z). u在场中的变化情况通常具有更重要的物理意义。故引
入方向导数的概念。
大小和方向都保持不变的矢量称为常失；反之称为变 失。
矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是一个 矢量。
第一章 数学基础
矢量线
为形象描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概 念。
矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方 向。
矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。
所有矢量线充满了整个矢量所在空间。如：电力线、 磁力线就是电场和磁场的矢量线。
由矢量线定义可知，其上任一点的切向长度元dl与该点 矢量场A的方向平行，于是有
第一章 数学基础
直角坐标系中
由
=0
可得 这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。
第一章 数学基础
1.2场、梯度、散度和旋度 1.场 如果在一个空间区域中，某个物理量在其中每一点都
取确定值，就称这个空间区域存在物理量的场。
一个矢量函数F(x,y,z;t)对应三个标量函数
若f或F的物理状态与时间无关，则代表静态场；若与时
间有关，则为动态场或时变场。
第一章 数学基础
矢量和矢量场的不变特性 描述物理状态空间分布的标量函数f(x,y,z;t)和矢量函数
F(x,y,z;t) ，在时间是一定值的情况下，它们是唯一的， 它们的数值和方向与所选择的坐标系无关。即使进行 坐标系转换，它们也保持不变。
矢量A和矢量B的标量积记为A ·B。
是矢量A和矢量B的夹角。
第一章 数学基础
若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有
两矢量的标量积满足交换律和分配律
B
5.两矢量的矢量积记为
矢量积是一个矢量，大小等于
A
是矢量A和矢量B的夹角。
方向垂直于矢量A和矢量B所决定的平面。
第一章 数学基础
两矢量的矢量积不服从交换律，满足分配律
式中， 为闭合曲面S所围区域 中的一点， 的体积 为。
第一章 数学基础
在矢量场A中取一点 ，作一包围 点的闭合有向曲面S， 设S包围的空间区域为 ，体积为 。以 记为穿过S 的通量，当 以任意方式缩向 时，极限值
称为矢量场A在 点的散度，记为divA。 在直角坐标系中，一个矢量A的散度可以表示为
光电信息物理基础
第一章 数学基础
第一章 数学基础
1.1 矢量代数和矢量函数
1.矢量：既有大小又有方向的量，如：力、速度、位移 等；
标量：只有大小没有方向的量，如：长度、时间、质 量ห้องสมุดไป่ตู้；
矢量表示： 带箭头的字母：如 , 等； 黑斜体字母：如 A,B等； 矢量的模：矢量的大小，用A或
第一章 数学基础
第一章 数学基础
在场中取一点 ,由 点引射线，其方向由方向余弦
（
）确定。在l上取另一点M。
记
,
,定义u在 点沿l的方向导数
为
M
方向导数描述u在 点沿l方向的变化率。 设函数u在 点可微，方向导数在直角坐标系下可表示为
式中
（1.2-3） 为函数u在该点的偏导数，
方向余弦。
第一章 数学基础
在标量场u中定义一个矢量G：
2. 矢量加减运算 矢量加法服从交换律： A+B=C A+B=B+A 当有三个矢量相加时，服从结合律： A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
平行四边形法则 三角形法则
第一章 数学基础
两个矢量相减时，如A-B,先取B的负矢量-B，
A A-B
A-B
α
-B
B
3.单位矢量和分矢量 一个矢量A乘以一个正标量m得到一个新矢量，与A
引进矢量微分算子
第一章 数学基础
例1-1.已知标量场
P(1,1,1)的梯度和沿
解：由
，求空间一点 方向的方向导数。
根据梯度公式，得标量场 在P点的梯度为
第一章 数学基础
l的单位矢量为 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 方向的方向导
数为
第一章 数学基础
3.矢量场的通量和散度 引进矢量线来描述矢量场。 矢量场分为两种： 纵场：矢量线从场中一点发 出，终止在另外一点上或无 穷远处； 横场：矢量场没有起点及 终点，是闭合回线。
第一章 数学基础
高斯散度定理
意义：任一矢量场A的散度的体积分等于该矢量场A穿过该 限定体积的闭合面的总通量。
同向，大小为A的m倍。
单位矢量：大小为1的矢量。如A的单位矢量表示
为。
一个矢量可以用该矢量方向上的单位矢量和该矢量
的大小相乘所得，即：
第一章 数学基础
任意矢量都可以分解为几个矢量，特别是可以分解为 沿坐标轴的互相垂直的分量。如在笛卡尔坐标系中， 矢量A可以分解为：
为坐标轴方向的单位矢量。
4.两矢量的标量积
若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有
6.三矢量相乘
)
第一章 数学基础
7. 矢量函数与矢量线 标量函数：具有确定数值的标量可以是空间坐标（如
直角坐标系中的x,y,z）和时间t的函数，称f(x,y,z;t)为标 量函数。 矢量函数：具有确定方向的物理量的矢量，一般都是 一个或几个（标量）变量的函数，称F(x,y,z;t)为矢量函 数。
第一章 数学基础
矢量场A沿场中任一有向曲面S的积分
称为矢量场A穿过面S 的通量。 当式中S为一小闭合曲线时，取曲面正法向由内向外，
记S包围的空间区域为 ，其体积为 。 在直角坐标系中矢量A可表示为
有向面元dS可表示为：
故
第一章 数学基础
根据高斯积分公式，上式可写为：
利用积分中值定理，上式可写为
是沿直角坐标系坐标轴x,y,z 方向的单位矢量。在
场中任意点，矢量G是唯一的。
记沿l方向的单位矢量为
由（1.2-3）得
意义：它在任意方向的投影就给出沿这个方向u的方向导数。 矢量G的方向就是u变化率最大的方向，其模就是变化率的
最大值。
G称为标量场u的梯度。记做grad u=G
第一章 数学基础
如果这个物理量是标量，则为标量场，如温度场、电 势场等；
如果这个物理量是矢量，则为矢量场，如电场、磁场 等。
2.标量场的方向导数和梯度 标量场中分布在各点的物理量u是场中点坐标的单值函
数，即u=u(r),r代表三个空间坐标(x,y,z). u在场中的变化情况通常具有更重要的物理意义。故引
入方向导数的概念。
大小和方向都保持不变的矢量称为常失；反之称为变 失。
矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是一个 矢量。
第一章 数学基础
矢量线
为形象描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概 念。
矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方 向。
矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。
所有矢量线充满了整个矢量所在空间。如：电力线、 磁力线就是电场和磁场的矢量线。
由矢量线定义可知，其上任一点的切向长度元dl与该点 矢量场A的方向平行，于是有
第一章 数学基础
直角坐标系中
由
=0
可得 这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。
第一章 数学基础
1.2场、梯度、散度和旋度 1.场 如果在一个空间区域中，某个物理量在其中每一点都
取确定值，就称这个空间区域存在物理量的场。
一个矢量函数F(x,y,z;t)对应三个标量函数
若f或F的物理状态与时间无关，则代表静态场；若与时
间有关，则为动态场或时变场。
第一章 数学基础
矢量和矢量场的不变特性 描述物理状态空间分布的标量函数f(x,y,z;t)和矢量函数
F(x,y,z;t) ，在时间是一定值的情况下，它们是唯一的， 它们的数值和方向与所选择的坐标系无关。即使进行 坐标系转换，它们也保持不变。
矢量A和矢量B的标量积记为A ·B。
是矢量A和矢量B的夹角。
第一章 数学基础
若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有
两矢量的标量积满足交换律和分配律
B
5.两矢量的矢量积记为
矢量积是一个矢量，大小等于
A
是矢量A和矢量B的夹角。
方向垂直于矢量A和矢量B所决定的平面。
第一章 数学基础
两矢量的矢量积不服从交换律，满足分配律
式中， 为闭合曲面S所围区域 中的一点， 的体积 为。
第一章 数学基础
在矢量场A中取一点 ，作一包围 点的闭合有向曲面S， 设S包围的空间区域为 ，体积为 。以 记为穿过S 的通量，当 以任意方式缩向 时，极限值
称为矢量场A在 点的散度，记为divA。 在直角坐标系中，一个矢量A的散度可以表示为
光电信息物理基础
第一章 数学基础
第一章 数学基础
1.1 矢量代数和矢量函数
1.矢量：既有大小又有方向的量，如：力、速度、位移 等；
标量：只有大小没有方向的量，如：长度、时间、质 量ห้องสมุดไป่ตู้；
矢量表示： 带箭头的字母：如 , 等； 黑斜体字母：如 A,B等； 矢量的模：矢量的大小，用A或
第一章 数学基础
第一章 数学基础
在场中取一点 ,由 点引射线，其方向由方向余弦
（
）确定。在l上取另一点M。
记
,
,定义u在 点沿l的方向导数
为
M
方向导数描述u在 点沿l方向的变化率。 设函数u在 点可微，方向导数在直角坐标系下可表示为
式中
（1.2-3） 为函数u在该点的偏导数，
方向余弦。
第一章 数学基础
在标量场u中定义一个矢量G：
2. 矢量加减运算 矢量加法服从交换律： A+B=C A+B=B+A 当有三个矢量相加时，服从结合律： A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
平行四边形法则 三角形法则
第一章 数学基础
两个矢量相减时，如A-B,先取B的负矢量-B，
A A-B
A-B
α
-B
B
3.单位矢量和分矢量 一个矢量A乘以一个正标量m得到一个新矢量，与A
引进矢量微分算子
第一章 数学基础
例1-1.已知标量场
P(1,1,1)的梯度和沿
解：由
，求空间一点 方向的方向导数。
根据梯度公式，得标量场 在P点的梯度为
第一章 数学基础
l的单位矢量为 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 方向的方向导
数为
第一章 数学基础
3.矢量场的通量和散度 引进矢量线来描述矢量场。 矢量场分为两种： 纵场：矢量线从场中一点发 出，终止在另外一点上或无 穷远处； 横场：矢量场没有起点及 终点，是闭合回线。