【2020年数学高考】2017-2020北京市房山区高三数学理科一模试题及答案.doc

房山区2020年高考第一次模拟测试试卷

数学（理）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则集合N M

等于

（A ）{1,1}-

（B ）{1,2}

（C ）{1,1,3,5}-

（D ）{1,0,1,2}-

（2）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则

=2

1

z z （A ）1+i

（B ）

i 5

453+ （C ）

i 5

4-53 （D ）i 3

41+

（3）已知实数,x y 满足条件0

4010

x y x y x -≤⎧⎪

+-≤⎨⎪-≥⎩

，则y x 的最大值是

（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断 框内应填入的条件是

（A ）4k > （B ）5k > （C ）6k > （D ）7k >

（5）下列函数中，与函数3

y x =的单调性和奇偶性相同的函数是

（A

）y = （B ）ln y x = （C ）tan y x = （D ）x x y e e -=-

（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A

）（B

）（C

）（D

） （7）“m m >

3

”是“关于x 的方程sin x m =无解”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（8）如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，则下列判断正确．．

的是 （A ）当34x π=

时，31

42

S π=- （B ）(0,)x π∈时， ()f x 为减函数 （C ）对任意(0,)2x π

∈，都有()()22f x f x ππ

π-++=

（D ）对任意(0,

)2x π∈，都有()()22

f x f x ππ

+=+

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）抛物线2

4x y =的焦点坐标为 .

（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数)(*

N n n ∈等于 . （11）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,

6π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

到直线l 的距离为______．

（12）已知函数()f x 同时满足以下条件：①周期为π；②值域为[0,1]；③()()0f x f x --=．试写出一个满足条件的函数解析式()f x = .

（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 .

（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且

μλ+=，则λμ+= .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．

（16）（本小题13分）

2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②

A B E

D

C

实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间(]05，内，将数据按区间列表如下：

（Ⅰ）求表中x ，m 的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量； （Ⅱ）从用气量在区间]4,3(和区间]5,4(的用户中任选3户，进行燃气使用的满意度调查，求这3户用气量处于不同区间的概率；

（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了3户，用X 表示用气量在区间(]1,3内的户数，求X 的分布列和期望．

（17）（本小题14分）

如图，四棱锥ABCD P -中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，2=

=CD PD ，

PC =2，BC //=AD 2

1

，AD CD ⊥. （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAD ；

（Ⅱ）若E 为PD 中点，求CE 与面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）由顶点C 沿棱锥侧面经过棱PD 到顶点A 的最短路线与PD 的

交点记为F .求该最短路线的长及FD

PF

的值.

P

A

C

D

E