2018届高考数学二轮不等式选讲专题卷(全国通用)(6)

不等式选讲
1．已知f （x ）为R 上的减函数，则满足f （||）＜f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】C 【解析】由已知得
解得﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1，
故选C 2．（2013•南开区一模）已知A={x||2x ﹣1|＜5}，B={x|x 2﹣5x+4＜0}，C=（1，3），则“x ∈A∩B”是“x ∈C”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
试题分析：解一元二次不等式求得A 和B ，可得 A∩B=C ，故由“x ∈A∩B”，可得“x ∈C”，而且由“x ∈C”可得“x ∈A∩B”，
从而得“x ∈A∩B”是“x ∈C”的充要条件．
解：∵已知A={x||2x ﹣1|＜5}={x|﹣5＜2x ﹣1＜5 }=（﹣2，3）， B={x|x 2﹣5x+4＜0}={x|（x ﹣1）（x ﹣4）＜0}=（1，4），C=（1，3）， ∴A∩B=（1，3），即A∩B=C ．
故由“x ∈A∩B”，可得“x ∈C”，而且由“x ∈C”可得“x ∈A∩B”， “x ∈A∩B”是“x ∈C”的充要条件， 故选C ．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于中档题．
3．已知函数()|1|f x x =-，2
()65g x x x =-+-（x R ∈）． （1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围； （2）求()g x ()f x -的最大值．
【答案】（1）
[]1,4（2）9
4
【解析】 试题分析：（1）解含绝对值不等式的一般方法为，根据绝对值定义，转化为不等式组，
分别求解，最后求并集：当1x ≥时，2651x x x -+-≥-，[]
1,4x ∈；当1x <时，
2651x x x -+-≥-，x ∈∅，所以x 的取值范围是[]1,4．（2）求含绝对值函数最值，
先根据绝对值定义，转化为分段函数，分段求最值，最后比较最值大小得函数最值：当
1x ≥时，()g x 22
()65(1)54f x x x x x x -=-+---=-+-
2599
()244
x =--+≤
；当
1
x <时，
()g x 22
()65(1)760f x x x x x x -=-+-+-=-+-<，所以当
5
2x =
时，
()()g x f x -取到最大值为9
4
试题解析：（1）当1x ≥时，()1f x x =-，
由()()g x f x ≥，得2
651x x x -+-≥-，
整理得(1)(4)0x x --≤，所以[]
1,4x ∈；
当1x <时，()1f x x =-，
由()()g x f x ≥，得2
651x x x -+-≥-，
整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x <⎧⎨≤≤⎩
，得x ∈∅， 综上x 的取值范围是
[]1,4．
（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]
1,4
上取到，
所以
22599
()()65(1)()244g x f x x x x x -=-+---=--+≤
， 所以当
52x =
时，()()g x f x -取到最大值为9
4
考点：解含绝对值不等式，含绝对值函数最值
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 4．已知正数a, b, c 满足a+b <2c ．
求证：c a c << 【答案】见解析。

【解析】将所给不等式分为两个部分：
先证明c a
要证c a 即证c-a
当c-a ＜0时不等式恒成立，当c-a ≥0时，不等式两边平方化简得a （a+b ）＜2ac 因为a 是正数，即证a+b ＜2c
，由已知条件可得，所以c a 。

同理可证a ＜
5．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=lg ()
m x x --++21.
（1）当m=5时，求函数f(x)的定义域；
（2）若关于x 的不等式f(x)≥1的解集为R ，求m 的取值范围。

【答案】（1）由题意知0521>--++x x 解之得 x<-2或x>3
()()∞+⋃∞∴，，的定义域为32--f(x) …………….5分
（2）由题意知1021≥--++m x x 恒成立
1021+≥-++m x x 恒成立 (]
7m -7
m 310-∞-∴≤∴≤+，的取值范围是m ……………..10分
【解析】（1）满足对数的真数有意义，和解绝对值不等式；（2）转换为
1021+≥-++m x x 恒成立。

6．设f(x)＝lnx
1，证明：
（1）当x>1时，f(x)<
3
2
(x －1)； （2）当1<x<3时，f(x)< 9(1)
5
x x -+.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx
1－
3
2
(x －1).则当x>1时， g ′(x)＝
1x
32
<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减. 又g （1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< 3
2
(x －1). (证法二)
由均值不等式，当x>1时，2
＋12x ＋12
.① 令k(x)＝lnx －x ＋1，则k （1）＝0，k ′(x)＝1
x
－1<0， 故k(x)<0，即lnx<x －1.②
由①②得，当x>1时，f(x)< 3
2
(x －1). （2）(证法一)记h(x)＝f(x)－9(1)
5
x x -+，由（1）得
h ′(x)＝
1
x ＋－254(5)x +＝－254(5)x +< 54x x +－254(5)x +＝32
(5)2164(5)x x
x x +-+.
令g(x)＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x<3时，g ′(x)＝3(x ＋5)2－216<0.
因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g （1）＝0，得g(x)<0，所以h ′(x)<0. 因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h （1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)< 9(1)
5
x x -+. (证法二)记h(x)＝(x ＋5)f(x)－9(x －1)，
则当1<x<3时，由（1）得h ′(x)＝f(x)＋(x ＋5)f ′(x)－9< 3
2 (x －1)＋(x ＋5) 1x +9
＝
12x [3x(x －1)＋(x ＋5)(2－18x]<
11
[3(1)(5)(2)18]222x x x x x x -++++- ＝14x
(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h(x)在(1,3)内单调递减，又()10h =，所以()0h x <，即()()
915
x f x x -<+.
7． 选修4—5：不等式选讲
设函数)0(|||1|)(>-++=a a x x x f ． (1)当2=a 时作出函数)(x f 的图象；
(2)若不等式5)(≥x f 的解集为][),2,(+∞⋃--∞b ，求b a ,值． 【答案】（Ⅰ）函数)(x f 如图所示
（Ⅱ）3=b 。

【解析】本试题主要是考查了绝对值函数，绝对值不等式的解集，以及图像的表示的综合运用。

（1）第一问利用三段论，得到分段函数，然后作图 （2）由题设知：5|||1|≥-++a x x
如图，在同一坐标系中作出函数5=y 的图象，又解集为][),2,(+∞⋃--∞b . 那么结合图像可知2=a ，然后得到b 的值。

解： （Ⅰ）|2||1|)(-++=x x x f ⎪⎩
⎪
⎨
⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x -----------2分 函数)(x f 如图所示
-------------------4分
（Ⅱ）由题设知：5|||1|≥-++a x x 如图，在同一坐标系中作出函数5=y 的图象 （如图所示）
又解集为][),2,(+∞⋃--∞b .
由题设知，当2-=x 时，5)(=x f
且51<+a 即 4<a ----------6分 由51)2(2)2(=+---=-a f 得：
2=a ---------------------8分
且5)(=b f ，所以3=b ……………………10分 8．选修4-5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-. (1)解不等式()4f x >； (2)若3,2x ⎛⎫
∀∈-∞-
⎪⎝⎭
，不等式()1a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()(),20,-∞-⋃+∞（2）3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求它们的并集即得结果，（2）不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：利用绝对值定义可得()3,2f x ⎛
⎫
-∞- ⎪⎝⎭
在最小值，转化为解不等式512a +≤，即得实数a 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵()23 1.f x x x =++-
()3
322
3
{41232
1
x x f x x x x x --<-
∴=+-
≤≤+> ()34{2324x f x x <-
>⇔--> 或3
1
{2
44
x x -≤≤+>或1{324
x x >+> 2x ⇔<- 或01x <≤或1x >
综上所述，不等式()4f x >的解集为： ()(),20,-∞-⋃+∞
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 3
2
x <-当时 ()32f x x =-- ∴当32x <-时()5
322f x x =-->
∴53
122
a a +≤⇔≤
∴实数a 的取值范围为3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
9．已知函数12)(--=x x x f ，记1)(->x f 的解集为M ． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）已知M a ∈,比较12
+-a a 与
a
1
的大小．
【答案】（1）{02}M x x =<<；（2）当10<<a 时， a
a a 1
12
<
+-，当1=a 时，a
a a 112=
+- 当21<<a 时， a
a a 112
>
+- ． 【解析】
试题分析：（1）对x 按11
0,0,22
x x x ≤<<≥进行讨论表示出()f x ，求出不等式，得出{02}M x x =<<；
（2）由（Ⅰ）知20<<a ，作差得a
a a a a a a a a a )
1)(1(1112232
+-=-+-=-+-，
当10<<a 时，0)1)(1(2<+-a a a ，所以a a a 1
12<+-，当1=a 时，
0)1)(1(2=+-a
a a ，所以a a a 1
12=+-，
当21<<a 时，
0)1)(1(2>+-a
a a ，所以a a a 112>+-． 试题解析：（Ⅰ）⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≥+-<<-≤-=--=21,1210,130,112)(x x x x x x x x x f
由1)(->x f ，得⎩⎨⎧->-≤110x x 或⎪⎩⎪⎨⎧->-<<113210x x 或⎪⎩⎪⎨⎧
->+-≥
1
12
1x x 解得：20<<x
故{02}M x x =<< （Ⅱ）由（Ⅰ）知20<<a
因为a
a a a a a a a a a )
1)(1(1112232
+-=-+-=-+-
当10<<a 时，
0)1)(1(2<+-a a a ，所以a a a 1
12<+- 当1=a 时，
0)1)(1(2=+-a
a a ，所以a a a 1
12=+-
当21<<a 时，
0)1)(1(2>+-a
a a ，所以a a a 1
12>+- 综上所述：当10<<a 时， a
a a 112
<
+- 当1=a 时，a
a a 112
=
+- 当21<<a 时， a
a a 112
>
+- 考点：1．零点分段法解不等式；2．比较大小． 10．选修4-5：不等式选讲
已知函数()3f x x =-
（1）解不等式： ()()12f x f x ++≤；
（2）若0a <，求证： ()()()3f ax f a af x -≥.
【答案】（1）37
{|
}22
x x ≤≤；（2）见解析. 【解析】试题分析: (1)根据题意,不等式()()12f x f x ++≤；可等价转化为
322x x -+-≤通过对2x ≤与23x <≤， 3x >的讨论分析,去掉绝对值符号,即可
求得原不等式的解集;
(2)利用绝
对
值
不
等
式
0a <时,可得
()()
()333
3333f
a x a f x a x a
a x a x a a -=-+-≥-+
-=-=
从而可得结论.
试题解析：（1）由题意，得()()132f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式
322x x -+-≤
当2x ≤时，原不等式等价于252x -+≤，即3
22
x ≤≤， 当23x <≤时，原不等式等价于12≤，即23x <≤；
当3x >时，原不等式等价于252x -≤，即7
32
x <≤.
综上，原不等式的解集为37
{|}22x x ≤≤.
（2）由题意得()()33f ax af x ax a x -=---
3333ax a ax ax a ax =-+-≥-+-
()333a f a =-=
所以()()()3f ax f a af x -≥成立.
11．已知函数()212 3.f x x x =++-
(1).求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) {|12}x x -≤≤;(2) 35a -<<.
【解析】试题分析：（1）利用零点分段法求绝对值不等式的解集;(2) 不等式()1f x a >-恒成立问题转化为最值问题，解不等式即可. 试题解析：
（1）原不等式等价于
()()()()313{ { 2222123621236
x x x x x x >
-≤≤++-≤+--≤或或 ()()1
{ 2
21236x x x <-
-+--≤解得
322x <≤或1322x -≤≤或1
12
x -≤<-即不等式的解集为{|12}x x -≤≤ （2）()()212321234x x x x ++-≥+--= 当且仅当()()21230x x +-≤ 即13
22
x -
≤≤时等号成立。

14a ∴-< 35a ∴-<< 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 12．设函数
（1）当时，求函数
的定义域；
（2）若函数的定义域为R ，试求的取值范围．
【答案】
【解析】试题分析：（1）不等式125x x +++≥的解集就是函数()f x 的定义域，在同一直角坐标系中，分别作出12y x x =+++①和5y =②的图像，①的图象落在②的图象上方的部分所对应的x 的范围就是不等式的解集；（2）等价于12x x a +++≥在实数范围内恒成立，只需函数12y x x =+++的最小值大于等于a .
试题
解析：（1）由题设知：
，
在同一坐标系中作出函数
和
的图象，知定义域为
.
（2）由题设知，当时，恒有，即，
又由（1）
，∴
考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数的定义域.
13．（1）已知实数y x ,满足43212=+++y x ，则y x +的最小值为 。

(2)在极坐标系中)20)((πθθρ≤<，，曲线
2)s i n (c o s =+θθρ与
2)cos (sin =-θθρ 的交点的极坐标为 。

【答案】（1）．2;（2）．)2
,2(π
【解析】 试题分
析：（1
）
由柯
西不等式得：(()2
2
2
2
2
16=111+1+
⎡
⎤
≤⎢⎥⎣
⎦
，
即
2+2+x y x y
≥≥所以，所以y x +的最小值为2. （2）曲线2)sin (cos =+θθρ的直角坐标方程为：+=2x y ，曲线2
)cos (sin =-θθρ的直角坐标方程为-+=2x y ，联立-+=2=0
,+=2=2x y x x y y ⎧⎧⎨⎨⎩⎩
解得，所以交点的极坐标方程为
)2
,2(π。

考点：柯西不等式；极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线的极坐标方程。

点评：本题直接考查柯西不等式和极坐标方程与直角坐标方程的互化，我们要熟记它们的互化公式。

属于基础题型。

14．⑵. (不等式选做题)不等式|x 2
－3x|＞4的解集为 。

【答案】(－∞，－1) (4，+∞)
试卷第11页，总11页 【解析】|x 2
－3x|＞4 434322-<->-∴x x x x 或
其中),4()1,(0)4)(1(432+∞⋃--∞∈∴>-+=--x x x x x 而04
7)23
(4322<+-=+-x x x 无解。