圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题-2024年中考数学重难点含参考答案

圆与母子型相似：切割线定理反A

模型压轴题专题

切割线定理：

反A 模型

图形

相似的证明

结论

因为∠D =∠D

∠DCB =∠DAC ∴ΔDCB ∽ΔDAC

①DC 2=DB ⋅DA ;

②tan ∠A =tan ∠DCB =

相似比

1(北雅)如图，

D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，tan ∠CDA =

2

3

，求BE 的长．

2(南雅)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2=CA•CB．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=10，tan∠CDA=3

5，求BE的长．

3(长郡)已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．

(1)求证：PD是⊙O的切线．

(2)求证：PD2=PB⋅PA．

(3)若PD=4，tan∠CDB=1

2，求直径AB的长．

4(明德)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F．

(1)求证：直线DE与⊙O相切；

(2)若EB=2，EC=4，求⊙O的半径及AC、AD的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．

5(雅礼)如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED．

(1)求证：DE是⊙O的切线

(2)若tan A=1

2，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

(3)在(2)的条件下，若OF=1，求⊙O的半径和CD的长．

6(青竹湖)如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线．

(2)求证：DE2=EB•EA；

(3)若BE=1，tan∠ACO=1

2，求线段AD的长度．

7(北雅)如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．

(1)求证：BC∥FG；

(2)探究：PE与DE和AE之间的关系；

(3)当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．

8(青竹湖)如图，⊙O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC 于点E，交⊙O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点．

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，DF=42，求CE•CA的值；

(3)在(2)的条件下，连接AF，若BD=AF，求AD的长．

9(麓山国际)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)求证：PC=PF；

(3)若tan∠ABC=4

3，AB=14，求线段PC的长．

10(青竹湖)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．

(1)求证：DC为⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，sin B=3

5，求CD和AD的长；

(3)在(2)的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF=45°，求CF的长．

圆与母子型相似：切割线定理反A

模型压轴题专题

切割线定理：反A 模型

图形

相似的证明

结论

因为∠D =∠D

∠DCB =∠DAC ∴ΔDCB ∽ΔDAC

①DC 2=DB ⋅DA ;

②tan ∠A =tan ∠DCB =

相似比

1(北雅)如图，

D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，tan ∠CDA =

2

3

，求BE 的长．【解答】(1)证明：连OD ，OE ，如图，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，即∠ADO +∠1=90°，

又∵∠CDA =∠CBD ，而∠CBD =∠1，∴∠1=∠CDA ，∴∠CDA +∠ADO =90°，即∠CDO =90°，∴CD 是⊙O 的切线；

(2)解：∵EB 为⊙O 的切线，∴ED =EB ，OE ⊥DB ，∴∠ABD +∠DBE =90°，∠OEB +∠DBE =90°，

∴∠ABD =∠OEB ，∴∠CDA =∠OEB ．而tan ∠CDA =23，∴tan ∠OEB =OB BE

=2

3，∵Rt △CDO ∽

Rt △CBE ，∴CD CB

=OD BE =OB BE =23，∴CD =2

3×6=4，在Rt △CBE 中，设BE =x ，∴(x +4)2=x 2+62，

解得x =5

2

．

2(南雅)如图，

D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CD 2=CA •CB ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =10，tan ∠CDA =

3

5

，求BE 的长．