2008年高考(浙江

2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）浙江卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 是实数，i
i a +-1是纯虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2
（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u
（A ）∅ （B ）{}|0x x ≤
（C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或
（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是
（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274
（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x
y 的图象和直线2
1=y 的交点个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（6）已知{}n a 是等比数列，4
1252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21）
（C ）332（n --41） （D ）3
32（n --21） （7）若双曲线122
22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
（8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =
（A ）21 （B ）2 （C ）2
1- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 （10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是
A B P
A
B C
D E F A B
C D （A ）圆 （B ）椭圆
（C ）一条直线 （D ）两条平行直线
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），
C （3，3a ）共线，则a
=1+ （12）已知21F F 、为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = 8 。

（13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()
C a A c b cos cos 3=-，则=A
cos 3。

（14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 9π/2 。

关键是找出球心，从
而确定球的半径。

由题意，三角形DAC,三角形DBC 都是直角三
角形，且有公共斜边。

所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

（15）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t= 1 。

（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶
性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 40 （用数字作答)。

（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，
b ）所形成的平面区域的面积等于 思路一：可考虑特殊情形，比如x ＝0，可得a ＝1；y ＝0可得b ＝1。

所以猜测a 介于0和1之间，b 介于0和1之间。

点P （a ，b ）确定的平面区域就是一个正方形，面积为1 。

三．解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？ （19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。

已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是5
2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望
ξE 。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
10
7。

并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

（20）（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线8
5-=y 距离相等的点的轨迹。

l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得QA QB
2
为常数。

（21）（本题15分）已知a 是实数，函数())f x x a =
-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；
（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

（22）（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．记
n n a a a S +++= 21．)
1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ． 求证：当•∈N n 时，
（Ⅰ）1+<n n a a ；
（Ⅱ）2->n S n ；
（Ⅲ）3<n T 。

2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分
1．A 2．D 3．D 4．A 5．C
6．C 7．D 8．B 9．C 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
11．1 12．8 13．3 14． 9π2
15．1 16．40 17．1 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 是实数，1a i i
-+是纯虚数，则a =( A ) （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2 解析：本小题主要考查复数的概念。

由()(1)111(1)(1)22
a i a i i a a i i i i ----+==-++-是纯虚数，
则102a -=且10,2
a +≠故a =1. （2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()u u A C B B C A = ( D )
（A ）∅ （B ）{}|0x x ≤
（C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或
解析：本小题主要考查集合运算。

u A C B ={}|0x x >u B C A ={}|1x x ≤-
（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的( D )
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
解析：本小题主要考查充要条件相关知识。

依题“a >b ”既不能推出 “a >b ”；反之，由“a >b ”
也不能推出“22b a >”。

故“22b a >”是“a >b ”的既不充分也不必要条件。

（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( A )
（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274
解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。

本题可通过选括号
（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。

故含4x
的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-
（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+
=x x y 的图象 和直线2
1=y 的交点个数是( C ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。

原函数可化为： ])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x x π∈作出原函数图像， 截取[0,2]x π∈部分，其与直线21=y 的交点个数是2个. （6）已知{}n a 是等比数列，4
1252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( C ) （A ）16（n --4
1） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）3
32（n --21） 解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。

由3352124a a q q ==⋅=⋅，解得1.2
q =
数列{}1n n a a +仍是等比数列:其首项是128,a a =公比为1
.4
所以, （7）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是( D )
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。

依题不妨取双曲线的右准线2
a x c
=， 则左焦点1F 到右准线的距离为222
a a c c c c
++=，左焦点1F 到右准线的距离 为2a c c -22c a c -=，依题22
2222223,2
c a c a c c a c a c
++==--即225c a =，
∴双曲线的离心率c e a
== （8
）若cos 2sin αα+=则tan α=( B )
（A ）21 （B ）2 （C ）2
1- （D ）2-
解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。

由cos 2sin αα+=
cos 0,α≠两边同时除以cos α
得12tan ,αα+=平方得
2
tan 4tan 40αα∴-+=,解得tan 2.α=或用观察法.
（9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=, 则c 的最大值是( C ) （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。

||||1,0,a b a b ==⋅=
展开2()()0||()||||cos ,a c b c c c a b c a b θ-⋅-=⇒=⋅+=⋅+
||||cos ,c a b θθ∴=+=则c 的最大值是2;
或者利用数形结合, a ，b 对应的点A,B 在圆22
1x y +=上,
A B
C D c 对应的点C 在圆222x y +=上即可.
（10）如图，AB 是平面a 的斜线段．．．
，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动， 使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( B )
（A ）圆 （B ）椭圆
（C ）一条直线 （D ）两条平行直线
解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。

考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线
AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P 轨迹类
似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！
还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，
故面积也为无穷大，从而排除C 与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂 直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）
共线，则a =____12+解析：本小题主要考查三点共线问题。

2(1,),AB a a =+32(1,),BC a a =- 2322210,a a a a a a ⇒+=-⇒--=12a ∴=+舍负).
（12）已知21F F 、为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB =______8______。

解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。

依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ∆
中，22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =
（13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()
C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________3
解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。

依题由正弦定理得：
3sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅,3cos sin()sin B A A C B ⋅=+=, ∴3cos A = （14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，
DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，
A B C D E F 则球O 点体积等于___________。

9π
2
解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。

其关键是找出
球心，从而确定球的半径。

由题意，三角形DAC,三角形DBC 都
是直角三角形，且有公共斜边。

所以DC 边的中点就是球心（到
D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

（15）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=____1____ 解析：本小题主要考查二次函数问题。

对称轴为1,x =下方图像翻到x 轴上方.由区间[0，3]
上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,t =或检验5t =时,
(0)52f =>不符,而1t =时满足题意.
（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性
不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____40 ______（用数字作答)。

解析：本小题主要考查排列组合知识。

依题先排除1和2的剩余4个元素有222228A A ⋅=
种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有1
5A 种插法，
∴不同的安排方案共有221225240A A A ⋅⋅=种。

（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b
为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于_______1_____。

解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。

由1ax by +≤恒成立知，当0x =时，
1by ≤恒成立，∴01b ≤≤；同理01a ≤≤，∴以a ,b 为坐标点(,)P a b
所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，
BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？
18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等
基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
方法一：
（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，
可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， D A
B E F
C H
G
故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，
所以AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ．
由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ，
从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．
在Rt EFG △
中，因为EG AD ==
2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =，
从而3BE CG ==．
于是sin BH BE BEH =∠=． 因为tan AB BH AHB =∠，
所以当AB 为92
时，二面角A EF C --的大小为60． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，
建立空间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，
则(000)C ，，
，)A a ，
，0)B ，
，0)E b ，，(00)F c ，，．
（Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥，
所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ．
故AE ∥平面DCF
．
（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =--，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2
EF =，从而
3()02b c b -+-=⎧=，，
解得34b
c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，则0n AE =，0n EF =， 解得(1n a
=，．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，， 所以||31|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===，
，得到92a =． 所以当AB 为92
时，二面角A EF C --的大小为60．
（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。

已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于10
7。

并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，
设袋中白球的个数为x ，则2102107()19
x C P A C -=-=， 得到5x =．故白球有5个．
（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是
ξ的数学期望
155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =
， 所以2y n <，21y n -≤，故112
y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则
23()551y P B n =
+⨯-231755210
+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．
（20）（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-）
和到直线8
5-=y 距离相等的点的轨迹。

是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在 上）的动点；A 、B 在 上，x MB MA ⊥⊥, 轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线 的方程，使得
QA
QB
2
为常数。

本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
（Ⅰ）解：设()N x y ，为C
上的点，则||NP =
N 到直线58y =-的距离为58y +
58y =+．
化简，得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =+． （Ⅱ）解法一：
设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，，直线:l y kx k =+，则
()B x kx k +，
，从而||1|QB x +．
在Rt QMA △中，因为
222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，2
2
22
(1)2||1x x k MA k ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=+． 所以2
2
2
2
22
(1)||||||(2)4(1)
x QA QM MA kx k +=-=++ . 2
1||2|||
1kx QA k
+=
+，
22||2(11
2||||QB k x QA k x
k
++=+．
当2k =时，
2
||||
QB QA =l 方程为220x y -+=． 解法二：设22x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，，直线:l
y kx k =+，则()B x kx k +，，从而
||1|QB x +．过Q (10)-，
垂直于l 的直线11
:(1)l y x k
=-+．
因为||||QA MH =，所以2
1||2|||1
kx QA k
+=
+，
2||1
2||QB x QA x
k
+=+． 当2k =时，
2
||||
QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y
-+=．
（21）（本题15分）已知a 是实数，函数)()(a x x x -=
⎰。

（Ⅰ）求函数)(x ⎰的单调区间；
（Ⅱ）设)(a g 为)(x ⎰在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；
（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想
以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．
（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，
，()f x '=
=（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．
若0a >，令()0f x '=，得3a x =，当03
a
x <<时，()0f x '<，
当3a x >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，
． （Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，所以()(0)0g a f ==．
若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤
⎥⎝⎦
，
上单调递增，
所以()3a g a f ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，
所以()(2))g a f a ==-．
综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪
⎪=<<⎨-，
≤，，
，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤．若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤．
若6a ≥
，解得62a +≤≤a
的取值范围为32a +≤≤ （22）（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12
12
1•++∈=-+N n a a a n n n ．记
n
n a a a S +++= 21．
)
1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ．
求证：当•
∈N n 时， （Ⅰ）1+<n n a a ； （Ⅱ）2->n S n ； （Ⅲ）3<n T 。

22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，
同时考查逻辑推理能力．满分14分．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当1n =时，因为2a 是方程2
10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*
()n k k =∈N 时，1k k a a +<，
因为22
1k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-
2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．
即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．
根据①和②，可知1n n a a +<对任何*
n ∈N 都成立．
（Ⅱ）证明：由22
111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得2
2231()(1)n n a a a a n a +++
+--=．
因为10a =，所以2
1n n S n a =--．
由1n n a a +<及22
11121n n n a a a ++=+-<得1n a <，
所以2n S n >-．
（Ⅲ）证明：由22
1112k k k k a a a a +++=+≥，得
所以
2
3421
(3)(1)(1)
(1)
2
n n n a a a a a a -+++≤
≥，
于是
2222
23221
1
(3)(1)(1)
(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥，
故当3n ≥时，211
11322
n n T -<++++<，
又因为123T T T <<，
所以3n T <．。