最新-解析山东省淄博一中2018届高三数学教学质量检测

精品解析：山东省淄博一中2018届高三教学质量检测（四）数学（理）
试题解析（教师版）
【试题总体说明】本套试题立足考纲，紧贴教材；所涉及知识涵盖高考考点，体现高考对高中数学所学知识即基本能力与解题技巧，较好地对复习情况作出反馈。

试题覆盖面广，知识跨度大，题型新颖，难度不大，可较好地考查学生对高中数学的内容掌握情况，是难得的一套好题。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设i 是虚数单位，则复数i 1i
-+的虚部是（ ） A.i 2 B.-i 2 C.12 D.- 1
2
【答案】D 【解析】i i(1i)11i (1i)(1i)2
i ---==-+-+--，故虚部是12-。

2.设全集U={n ∈N*| x ≤a},集合P={1，2，3}，Q={4，5，6}，则a ∈[6，7）是Q P C U =的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当a ∈[6，7）时，U={1,2,3,4,5,6}，此时U C P ={4,5,6}，∴a ∈[6，7）是Q P C U =的充要条件。

【解析】由图像可知N （1μ，21σ）（01>σ）对应的图像比N （2μ，2
2σ）（02>σ）矮
胖，且对称轴在左侧，故2121,σσμμ><。

4.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则3253
S S S S --的值为（ ） A.2 B.3 C.15
D.不存在 【答案】
A
6.a α,α
α απ4π)ab 25(α+π4A.13 B.27 C.17 D.23
【答案】C 【解析】22cos 22sin sin 1sin 5a b αααα=+-=-= ，∴3sin 5
α=，又α∈(π4,π)，∴sin 3tan cos 4ααα==-，tan(α+π4)=31tan 11431tan 714
αα-+==-+。

的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有（ ） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
【答案】C
【解析】
）24的展开式通项为245836212424,0,1,2,24r r r r r r T C x x C x r ---+=== ， ∴x 的幂指数为整数的项有r=0,6,12,18,24共5项。

8.函数y=cos x-sin x 的图象可由函数
的图象
A.向左平移π4向左平移3π4
个长度单位 C.向右平移π43π4
个长度单位 【答案】B
【解析】3)4
x π-
，∴的图象.向左平移3π4个长度单位 可得函数y=cos x-sin x 的图象。

9.设F 1、F 2是双曲线2
214x y -=1PF ·2PF =0，则|1PF |·
|2PF |的值为（ ） A.2 B.2 C.4
D.8
【答案】A
【解析】设1||PF m = ，2||PF n = ，由题意可得222
4||2m n c m n a
⎧+=⎨-=⎩，∴2mn=4b 2=4，
∴|1PF |·|2PF |的值为2.
10.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标
准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy
=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）
A.4
B.3.15
C.4.5
D.3
【答案】D 【解析】由题意可得3456942x +++=
=，∴90.70.35 3.52y =⨯+=，
∴2.54 4.5 3.54
m +++=，∴m=3. 11.已知程序框图如右：
如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（ ）
A.k ≤10
B. k ≤9
C. k ＜10
D. k ＜9
【答案】A
【解析】∵12×11=132，∴判断框中应填入k ≤10。

12.已知f(x)是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2,如果直线y=x+a 与曲线y= f(x)恰有两个不同的交点，则实数a 的值为（ ）
A.2 k （k Z k k 14
（k Z C.0
k k 14
（k Z 【答案】D 【解析】设-1≤x ≤0，则 0≤-x ≤1，f （-x ）=（-x ）2=x2=f （x ），
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n 等于 .
【答案】192
【解析】由题意，因为200：1200：1000=1：6：5，所以女学生中抽取总人数的
512， 故N=80÷512
=192．故答案为：192 14.设x 、y 满足约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2-3+1y x . 【答案】5
【解析】约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，对应的平面区域如右
图所示：
2-3+1y x 表示平面上一定点（-1，32
）与可行域内任一点连线斜率的2倍
由图易得当该点为（0，4）时，2-3+1
y x 的最大值是5。

15.若f(x)在R 上可导，f(x)=x 2+2 f ′(2)x+3,则
3
0()dx f x =⎰ .
【答案】-18
【解析】：∵f （x ）=x2+2f ′（2）x+3，∴f ′（x ）=2x+2f ′（2），
当x=2时，有：f ′（2）=4+2f ′（2），∴f ′（2）=-4，∴f （x ）=x 2-8x+3，
∴3
0()f x dx ⎰=3
20(83)x x dx -+⎰=-18．
16.==（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a+t= .
【答案】41
【解析】（Ⅰ）1()2cos212f x x x =
-- πsin(2)16
x =-- ………………………………………（1分） ()sin[2()]1sin(2)1666g x x x π
ππ
=+--=+-
18．（本小题满分12分）
ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.
(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(Ⅱ)求二面角A-A 1D-B 的正弦值.
【答案】
【解析】如图建系
（Ⅰ）1
(1,2,AB '=
1(A B '=-
(2,1,0)BD '=-
11
1430AB AB ''∴⋅=-+-= 1
2200AB BD ''⋅=-++= 111,AB A B AB BD ∴⊥⊥
11AB A BD ∴⊥面 ………………………………………（4分）
（Ⅱ）1
1(1,2,ADB AB =面的一个法向量为
1A A D B --即二面角 ……………………………（12分） 解析说明：利用直线与平面垂直的判定定理证明；可通过两平面的法向量所成的角求解，注意二者的关系。

19.（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有
S n 、a n 、n 成等差数列.
(Ⅰ)求证：数列{a n +1}是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)求数列{21
n n a a +}的前n 项和T n ； (Ⅲ)数列{b n }满足b 1=3, b n+1=λb n + a n +1,若{b n }为等比数列，求实数λ.
（Ⅱ）1
22(21)12122n n n n n n a C a --===-+设 0211111(2)(2)(2)(2)2222n n T -∴=-
+-+-++- 021********()2222222n n n n --=-++++=-+ （Ⅲ）113,12n n n n n b b b a b λλ+==++=+
21232b b λλ'∴=+=+
22322324b b λλλ=+=++
{}n b 为等比 2213b b b ∴=⋅ 2291249612λλλλ∴++=++
43
λ∴=
1423
n n n b b +=+此时 124,3,623b b q λ===∴=当时 132n n b -∴=⋅
1114432,23224223233
n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅
1423n n n b b +=
+满足 43
λ=从而 ………………………………………………（12分） 解析说明：利用等比数列的定义证明 即可，对通项公式分离常数，分组求和，通过有限项成等比数列，求得λ的值，再证明即可。

20.（本小题满分12分）
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关.若T ≤1，则销售利润为0元；若1＜T ≤3，则销售利润为100元；若T ＞3，则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1＜T ≤3，T ＞3这三种情况发生的概率分别为p 1, p 2, p 3,又知p 1, p 2是方程25x 2
-15x+a=0的两个根，且p 2= p 3.
(Ⅰ)求p 1, p 2, p 3的值； (Ⅱ)记l 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求l 的分布列；
(Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值.
224(40)5525P l ==
⨯= …………………………………………（9分）
…………（10分） （Ⅲ）E l =401002003004002402525252525
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= …（12分） 解析说明：根据概率的性质与方程的观点求得p 1, p 2, p 3的值；由积事件的概率的求法可得概率的分布列，代入期望公式求得期望。

21.（本小题满分12分）
已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1
相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程； (Ⅱ)设点A （x 0,y 0）为圆上任意一点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ =m OA +n ON ，（其中m+n=1,m,n ≠0,m 为常数），试求动点Q 的轨迹方程C 2；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当
C,问是否存在与l 1垂直的一条直线l 与曲线C 交于B 、D 两点，且∠BOD 为钝角，请说明理由.
【答案】
【解析】（Ⅰ）
2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 …………………………（2分）
（Ⅱ）设Q （x,y ）. 则由A （x 0,y 0）知N （x 0,0）
∴(x,y)=m （x 0,y 0）+n(x 0，0)
000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 0220004x x x y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩
代入得
∵∠BOD 为钝角
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x.
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；(Ⅱ)求函数f(x)在区间［1，e］上的最小值；
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x01
e
，ef(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】（Ⅰ）a=1时，f(x)=x2-3x+ln x 定义域为（0，+∞）
f ′(x)=2x-3+1
x
令f ′(x) ＞0
∴2x2-3x+1＞0 (x＞0)
∴0＜x＜1
2
或x＞1
∴ f (x)的单增区间为（0，1
2
），（1，+∞）…………………………（4分）
（Ⅱ）f (x)= x2-（2a+1）x+aln x
f ′(x)=2x-（2a+1）+a
x
=
2
2(21)
x a x a
x
-++
令f ′(x)=0 ∴x=a或x=1
2
………………………………（5分）
①当a≤1
2
时，f(x)在（0，a），（
1
2
，+∞）递增
∴f(x)在［1，e］≤递增∴f(x)min=f(1)=-29 ……………………（6分）
②当1
2
＜a≤1时，f(x)在［1，e］≤单增∴f(x)min=f(1)=-2 a …（7分）
③当1＜a＜e时， f(x)在［1，a) ，（a，e）
∴f(x)min= f (a)=-a2-a+alna …………………………（8分）
④e≤a时 f(x) ［1，e］上递减
∴f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a …………………………（5分）综上所述：a≤1时 f(x)min=-2 a
1＜a＜e时 f(x)min=-a2-a+alna
a≥e时 f(x)min=e2-(2a+1)e+a ………………………（9分）
设t(x)=
22
ln x x x x -
-
t(e)=
(2)
1
e e
e
-
>
-
∴t(x) min x=t(e)=
(2)1e e e -- ∴a ≤(2)1
e e e -- 解析说明：根据函数的导数与函数单调性之间的关系可求得函数的单调区间，根据a 的取值情况可得函数在所给区间的单调性，从而可得函数的最值情况；将存在x 01e ，ef(x 0)≥g(x 0)成立，转化为2
2ln x x a x x -≤- 在［1e ，e ］有解，再利用导数求解。

参考答案
一、DCAAD CCBAD AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13. 192 14. 5 15. -18 16. 41
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （12分）
（Ⅱ）()0sin(2)16g B B π
=+=由得
（Ⅱ）1
1(1,2,ADB AB '=面的一个法向量为
1222n n n d -∴=-= 21n n a =-从而 ……………………（4分）
1423n n n b b +=
+此时 124,3,623
b b q λ===∴=当时 132n n b -∴=⋅
1114432,23224223233
n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅ 1423
n n n b b +=+满足 43
λ=从而 ………………………………………………（12分） 20.(12分)
224(40)5525P l ==
⨯= …………………………………………（9分）
…………（10分）
（Ⅲ）E l =401002003004002402525252525
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= …（12分） 21. 解：（Ⅰ）2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 …………………（2分）
（Ⅱ）设Q （x,y ）. 则由A （x 0,y 0）知N （x 0,0）
∴(x,y)=m （x 0,y 0）+n(x 0，0)
000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 0220004x x x y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩
代入得
∵∠BOD 为钝角
∴OB OD
<0 ∴x 1x 2+y 1y 2 <0 ……………………………（8分）
∴ f (x)的单增区间为（0，12
），（1，+∞） …………………………（4分）
（Ⅲ）由题意：f(x)≥9（x）在［1
e
，e］上有解。