湖南省长沙市高三数学第5次月考 文(含解析)

数学（文科）
(考试范围：高中文科数学全部内容)
一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{
x
x U =}3<， {}2A x x =<，则A C U = （ A ）
A ．{}
23x x ≤<
B ．{}
23x x <≤ C ．}{
23x x << D ．{}
2x x ≥
【解析】利用数轴易知选A.
2．等差数列{}n a 中，31a =，1479a a a ++=，则86S S -= （ C ） A ．16
B ．21
C ．20
D ．31
【解析】由31a =，1479a a a ++=可求得13,2a d =-=. 3.给出如下四个命题：
① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②若等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 则三点10100110(10,
),(100,),(110,)10100110
S S S
共线; ③ “∀x ∈R ，x 2
＋1≥1”的否定是 “∃x ∈R ，x 2
＋1≤1”;
④ 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件．
其中正确．．的命题的个数是 （ D ） A ．1
B ． 4
C ． 3
D ．2
【解析】若“p 且q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，所以①错；若等差数列{}
n a 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，所以②对；“∀x ∈R ，x 2
＋1≥1”的否定是 “∃x ∈R ，x 2
＋1<1”; 所以③错;在ABC ∆中,∴∈∈),0(),,0(ππB A “A B >”等价于“sin sin A B >”， 所以④对.
4. 已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是（ C ）
A.点P 在线段AB 上
B.点P 在线段BC 上
C.点P 在线段AC 上
D.点P 在ABC ∆外部
【解析】-2,=∴-=++∴=++ ，所以C 对. 5.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当
]
2
,
0[π
∈x 时，
()cos f x x
=，则
)3
5(
π
f 的值为
（ A ） A. 2
1
-
B. 21
C. 23-
D. 23
【解析】51(
)()()cos 33332
f f f ππππ=-=-=-=-. 6.如下图，已知
()32()0,f x ax bx cx d a =+++≠记2412b ac ∆=-则当
00()
a f x ∆><且时，的
大
致
图
像
为
（ B ）.
【解析】
()'2()320,f x ax bx c a =++≠且24120,0b ac a ∆=-><
'()y f x ∴=有两个零点，不防设为12,x x . 且12x x <则当1x x <或2x x >时，'()0f x <，
()f x 递减.当12x x x <<时， '()0f x >，()f x 递增.所以选B.
7. 设双曲线C ：22221(,0)x y a b a b
-=>的一条渐近线与抛物线y 2
= x 的一个交点的横坐标为
x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ C ）
A.(1
，+∞) C. (1
) D.
+∞) 【解析】联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去y 得：222b x x a =，由x 0>1知2
21b a <，即
22
2
1c a a
-<，故22e <，又e >1，所以1< e
B.
8.在约束条件21010x x y m x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≥下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取
值范围 （ D ）
A )3,3(-
B ]3,0[
C ]0,3[-
D ]3,3[-
【解析】作出可行域，即知目标函数2z x y =+在点22
11(,)22
m m -+处取得最大值.
由222
max
111324222
m m m z -+-+=-⨯+=≤得m ≤≤
9. 已知()x x f x
3log 31-⎪⎭
⎫
⎝⎛=，实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c ⋅⋅＜0，且0＜a ＜b ＜c ，
若实数0x 是函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是 （ D ） A ．0x ＜a
B ．0x ＞b
C ．0x ＜c
D ．0x ＞c
【解析】当0x x <时，(),0log 313>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x
当0x x >时(),0log 313<-⎪⎭
⎫
⎝⎛=x x f x
()()()f a f b f c ⋅⋅＜0，且c b a <<<0，所以c x >0不可能成立.
二．填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第9题记分．
10．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为2sin ρθ=的圆与参数方程为
1
{x
y =-的直线位置关系是_ _______相交_____.
【解析】.圆心（0,1）到直线10x y -+=的距离小于半径1.
12．定义运算()()a b c d ad bc **=-，复数z 满足(1)()1z i i i **=+
则复数z 在复平面对应点为P_（2，-1） . 【解析】设z a bi =+，则(1)
()()(1)1z i i z i i a bi i i b a i i **=⋅-=+-=-+-=+
即2,1a b ==-，所以z 在复平面对应点为P （2，-1）.
13．已知2
()f x x =-，m x g x
-=2)(，若对[]3,11-∈∀x ，[]2,02∈∃x ，使≥)(1x f )(2x g ，
则m 的范围 13≥m .
【解析】若对[]3,11-∈∀x ，[]2,02∈∃x ，；使≥)(1x f )(2x g ，则min max ()()f x g x ≥
当[]3,1-∈x 时，min ()(3)9f x f ==-；当[]2,0∈x 时，max ()(2)4g x g m ==-. 所以，由94m -≥-，得13≥m .
14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ A ） A ．π29 B ．π30 C ．
2
29π
D ．π216
15．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为,,x y z ，则
1x y
x y z
+++的最小值是 3 . 【解析】由已知可得，
1113x y x y z x y z x y
x y z x y z x y z x y z
+++++++=∴
+=+=++≥+++. 16．对于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，
1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点称为f 的n 阶周期点．
（1）设()2[0,1]f x x x =∈则f 的2阶周期点的个数是____1_______;
（2）设12[0,]2
()122[,1]2
x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩则f 的2阶周期点的个数是____4_______ .
【解析】（1）x x f x f f x f 4)2())(()(12===x x x f ==4)(2得0=x ；
（2）当2120≤
≤x ，即41
0≤≤x 时，x x f x f f x f 4)2())(()(12===.由x x x f ==4)(2 得0=x ;当1221≤<x ,即2
1
41≤<x 时，x x x f x f f x f 42)2(22)2())(()(12-=-===
3
2
4 主视图
左视图
由x x x f =-=42)(2，得5
2
=
x ；同理可得另两个周期点. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)
已知A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，设平面向量=(cosB sinC)m ，-，
=(cosC sinB)n ，，1=2
m n -.
（Ⅰ）求角
A 的值； （Ⅱ）若a =，设角
B 的大小为x ，AB
C ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.
「解析」（Ⅰ）
=(cosB sinC)m ，-，=(cosC sinB)n ，，且1
=2
m n -
1cos cos sin sin 2B C B C ∴-=-，即1
cos()2
B C +=- …………（3分）
A ，
B ，
C 是ABC ∆的三个内角，B C A π∴+=-
1cos()2A π∴-=-即1
cos 2
A =，又0A π<<
3
A π
∴= ……………………………………………………………………（6
分） （Ⅱ）由a =
3
A π
=
及正弦定理得
2sin sin sin sin 3
b c a B C A π
==== ………………………………………………（8分） 22sin 2sin()3
b x
c x π
∴==
-，
22sin 2sin(
))36
y x x x ππ
∴=+-
+=++ …………………（10分）2033A x ππ=∴<<
，，5()666x πππ
∴+∈， 6
2
x π
π
∴+
=
当
，即3
x π
=
时，max y = ………………………………………（12
分）
18．(本题满分12分)
某同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，
第二组 [)3035， 195 p 第三组 [)3540，
100 0.5 第四组 [)4045， a 0.4 第五组 [)4550， 30 0.3 第六组
[)5055，
15
0.3
（1）补全频率分布直方图，并求n,a,p 的值；
（2）从年龄段在[)4050，的“低碳族”中采用分层抽样抽取6人参加户外低碳体验生活，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[)4050，岁的概率。

解：（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）
×5=0.3 所以高为
0.3
=0.065
………………………………（2分）频率直方图如下： 第一组的人数为
120
=2000.6
，频率为0.045=0.2⨯，所以200
=10000.2
n =
由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
195
10000.3300,0.65300
p ⨯==
=所以 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯= ………………………………（6分） （2）因为[)4050，岁年龄段的“低碳族”与[)4550，岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，[)4045，岁中有4人， [)4550，岁中有2人. …………（8分） 设[)4045，岁中的4人为[),,,,45,50a b c d 岁中的2人为,m n ，
则选取2人作为领队的情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
a b a c a d a m a n b c b d b m b n c d c m c n d m d n m n 共
15
种，其中恰有
1
人年龄在
[)4045，
岁的情况有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a m a n b m b n c m c n d m d n ，共8种. ……………………（11分）
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[)4045，岁的概率为8
15
p =
………………（12分）
19．(本题满分12分)
如图，三棱锥A BCD -中，DC BC ⊥
，BC =，2CD AC ==
，AB AD ==（Ⅰ）证明：AB CD ⊥；
（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD 所成的角的正弦值.
「解析」：（Ⅰ）在ACD ∆中，2AC CD ==
，AD =
2
2
2
AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥
…………………………………………（2
分）
又
DC BC ⊥，且AC BC C ⋂=
DC ABC ∴⊥面，又
ABC AB ⊂面
AB CD ∴⊥ ………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）在三角形ABC 中，2AC =，AB =BC = 2
2
2
BC AB AC ∴=+，BA AC ∴⊥ 11
222
ABC S AB AC ∆∴=
⨯⨯=⨯= 由（1）可知：DC ABC ⊥面
112333
D ABC ABC V S DC -∆∴=
⨯=⨯= ………………………………………（8分） 在Rt BDC 中， 4BD =
==，
在ABD ∆中，AB AD ==222
AB AD BD ∴+=，故AB AD ⊥
11
422
ABD S AB AD ∆∴=
⨯⨯=⨯= ………………………………………（10分）
设点C 到平面ABD 的距离为h ，CA 与平面ABD 所成的角为θ
C AB
D D ABC V V --= 1433
h ∴⨯⨯=
h ∴= sin 2h AC θ∴=
= 即AC 与平面ABD 所成的角的正弦值为2
………………（12分）20．(本题满分13分)
A
B
D
C
已知单调递增的等比数列{}n a 满足：24320,8a a a +==； （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12
log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求1
250n n S n ++⋅>成立的正整数 n 的
最小值.
【解析】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有3
112
3120
8a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232
q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩；…………………………（4分） 又{}n a 单调递增，∴1
22q a =⎧⎨
=⎩，∴2n
n a =.………………………………………………….6分） （2）依题意，, 12
2log 22n n n n b n =⋅=-⋅…………………………………………………（8分）
∴23122232...2n
n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ①， ∴231
21222...(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-⨯+⋅ ②，
∴①-②得，21
12(12)22 (22)
212
n n n n n S n n ++-=+++-⋅=-⋅-
11222n n n S n ++=-⋅- ………………………………………………………………………（10分）
∴1250n n S n ++⋅>即为11
2250,252n n ++->∴>，
∵当n ≤4时，1
52
23252n +≤=<；当n ≥5时，16226452n +≥=>.
∴使1
250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ………………………………………（13
分）
21．(本题满分13分)
为了使“神州七号”飞船的返回仓顺利返回地面，及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援点A 、B 、C （如图）.其中点B 在点A 的正东方向，且与点A 相距6km ；点C 在点B 的北偏东30°方向，且与点B 相距4km.某一时刻，返回仓于点P 着陆，并同时发出着陆信号.由于B 、C 两地比A 地距着陆点P 远，因此在救援点A 收到信号4s 后，B 、C 两个救援点才同时接受到返回仓的着陆信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）试确定返回仓的着陆点P 相对于救援点A 的位置；
（2）若返回仓在着陆点P 的正上方某处发出信号，那么救援点A 与B 收到信号的时间差变大还是变小？说明你的理由.
【解】（1）以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线
为y 轴，建立直角坐标系，则点A(－3，0)，B(3，0). ………… （2分）
过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，由已知，|BC|＝4，
∠CBD ＝60°.则|BD|＝4cos60°＝2，|CD|＝4sin60
°＝
所以C(5
，因为|PB|＝|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上. 因为直线BC 的斜率为tan60
，线段BC 的中点为(4
). 所以线段BC 的垂直平分线方程为是3
(4)3
y
x ，即
3x y
因为|PB|－|PA|＝4，所以点P 在以A 、B 为焦点的
双曲线左支上，且双曲线方程为
2
21(0)4
5
x y x .…………（4
由222221(0)
(7
)451115625604
15
37
x y x x x x x x y
，
即(11x －32)(x ＋8)＝0. 因为x ＜0，所以x ＝－8，点P(－8，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E ，则|AE|＝5，|PE|＝所以|PA|＝10，即∠PAE＝60°. 故着陆点P 位于救援点A 的北偏西30°，且与点A 相距10km. …………（8分）
（2）设返回仓在着陆点P 的正上方点M 处发出信号，|PM|＝h ，|PA|＝a ，|PB|＝b ，如图. 则2222||
||MB MA b h a h
22
2
2
2
2
2
2
2
2
()
b
a b
h a h
b
h
a
h
()||||a b
a b a PB PA b
a
.
故救援点A 与B 收到信号的时间差变小. …………………………（13分）
22． (本题满分13分)
已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈
A B
C
P B
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，不等式()2f x bx ≥-对(0,)x ∀∈+∞恒成立，求实数
b 的取值范围；
（3）当1x y e >>-时，证明不等式ln(1)ln(1)x
y
e y e x +>+ 解：（1）函数的定义域是(0,),+∞且11
().ax f x a x x
-'=-=…………………………（1分）
当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，若1
0x a
<<
，则10ax -<，从而()0f x '<； 若1
x a ≥
，则10ax -≥，从而()0f x '≥， 所以函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1
(,)a
+∞上单调递增. …………………（4分）
（2）由（1）可知，函数的极值点是1x a =，若1
1a
=，则1a =. 若()2f x bx ≥-在(0,)+∞上恒成立，即1ln 2x x bx --≥-在(0,)+∞上恒成立，只需
1ln 1x
b x x
≤+-
在(0,)+∞上恒成立. ………………………………………………（6分） 令1ln ()x g x x x =
-
，则2222
11ln ln 2
()x x g x x x x x -'=--+=， 易知2
x e =为函数()g x 在(0,)+∞内唯一的极小值点，也是最小值点，故
2min 21()()g x g e e ==-
，即min 1ln (1)x x x +-=211e -，故只要21
1b e
≤-即可. 所以b 的取值范围是21,1e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦.……………………………………………………（8分）
（3）由题意可知，要证不等式ln(1)ln(1)x
y
e y e x +>+成立，只需证11
ln(1)ln(1)
x y e e x y ++>++.
构造函数()ln x
e h x x =,则221
ln (ln )()ln ln x x
x e e x e x x x h x x x
--'==，因为在(,)e +∞上单调递增，由于1x y e >>-，所以11x y e +>+>，所以
11
ln(1)ln(1)
x y e e x y ++>++，即
- 11 - ln(1)ln(1)x y e y e x +>+.
……………………………………………………………………………………………（13分）。