走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),导数及导数的运算

导数公式及运算法则
[例 2] 求下列函数的导数： 1 5 4 3 (1)y＝ x － x ＋3x2＋ 2； 5 3 (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； x (3)y＝ 2； 1 － x＋ x (4)y＝3xex－2x＋e； lnx (5)y＝ 2 ； x ＋1
(6)y＝xcosx－sinx. (7)(理)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln x2＋1； (9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg 1－x2.
．
4．(理)复合函数求导的运算法则 一般地，设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数 u′x＝φ′(x)，函 数 y＝f(u)在 u 处有导数 y′u＝f′(u)，则复合函数 y＝f(φ(x))在
u′x 点 x 处也有导数，且 y′x＝ y′u·
＝ af′(ax＋b)
φ′(x) ＝f′(u)·
．
复合函数 y＝f(ax＋b)的导数为(f(u))′＝ f′(u)φ′(x) .
2 2 2 1＋ 2
，
π π π π ∴f 4 ＝f′ 4 cos ＋sin ＝ 4 4
2 2 · ＋ ＝1. 2 2 2 1＋ 2
2 2
lnx 6．(2012· 辽宁重点高中联考)函数 f(x)＝ x 在点(x0， f(x0)) 处的切线平行于 x 轴，则 f(x0)＝________.
1 [答案] e
1－lnx lnx [解析] ∵f(x)＝ x ，f′(x)＝ 2 ，切线斜率 f′(x0)＝ x 1－lnx0 1 ＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝ . x2 e 0
7．已知曲线 S：y＝3x－x3 及点 P(2,2)．求过点 P 的切线方 程．
[解析] 设切点为(x0，y0)，
2 则 y0＝3x0－x3 . 又 f ′ ( x ) ＝ 3 － 3 x ， 0
y0－2 ∴切线斜率 k＝ ＝3－3x 2 0， x0－2
2 即 3x0－x3 － 2 ＝ ( x － 2)(3 － 3 x 0 0 0)
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝1± 3， 相应的斜率 k＝0 或 k＝－9±6 3. ∴切线方程为 y＝2 或 y＝(－9±6 3)(x－2)＋2.
导数的概念
fx0－k－fx0 [例 1] (1)若 f ′(x0)＝2，则lim 的值为 2 k k→ 0 ________； fa＋Δx－fa－Δx (2)若 f ′(x0)＝A，则 lim ＝________. Δ x Δx→0
[解析] (1)令－k＝Δx，则 k＝－Δx， fx0＋Δx－fx0 ∴原式＝ lim －2Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 1 1 ＝－ lim ＝－ f ′(x0)＝－1. 2Δx→0 Δx 2 fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx (2)原式＝ lim Δx Δx→0 fa＋Δx－fa fa－Δx－fa ＝ lim ＋ lim Δ x － Δx －Δx→0 Δx→0 ＝A＋A＝2A.
(2)函数 f(x)的导函数
fx＋Δx－fx lim Δx 称函数 f′(x)＝ Δx→0 为 f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝x (n∈Q ) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝tanx f(x)＝cotx
n *
[答案] D
[解析] 直线 2x－y＋4＝0 的斜率为 k＝2. 由 y＝x2 得 y′＝2x，令 2x＝2，得 x＝1.所以切点为(1,1)， 斜率 k＝2，则所求切线为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0 为所求．
4．(文)若函数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图像的顶点在第二象限， 则函数 f ′(x)的图像是( )
[答案] (1)－1 (2)2A
设函数 f(x)在 x0 点可导，则下列极限等于 f ′(x0)的是 ( ) fx0－Δx－fx0 A.lim Δx Δx→0 fx0－fx0－Δx C.lim Δx Δx→0 fx0＋3Δx－fx0 B.lim Δx Δx→0 fx0－fx0＋Δx D.lim Δx Δx→0
＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
.
②几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点 在(x0，f(x0)) 处的
切线的斜率
Fra Baidu bibliotek
(瞬
时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)． 相应地， 切线方程为．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
(4)(理)定积分也是微积分的核心概念之一，它能解决自然 科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速 直线运动的路程、变力所做的功等．实际上微积分在物理、化 学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要 的应用，因此导数及其应用成为近几年高考的热点．
1．重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和导 数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础． 2．在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学 习，而忽视它的思想和价值．
5π 0， ，则导数 12
f′(1)的取值范围为(
)
A．[－2,2] C．[ 3，2]
B．[ 2， 3] D．[ 2，2]
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝sinθ· x2＋ 3cosθ· x， ∴f′(1)＝sinθ＋
π 3cosθ＝2sinθ＋ 3 .
5π π π 3π ∵θ∈0，12 ，∴θ＋ ∈3， 4 . 3 π ∴sinθ＋ 3 ∈
3
4．(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数． (理 )能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
考向预测 1．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、 填空题的形式出现，有时也出现在解答题中． 2．导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应 用的同时考查导数的运算．
[答案] C
[解析]
b 4c－b2 由题意可知 在第二象限 － ， 2 4
b －2<0 ⇒ 2 4 c － b >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
sinθ 3 3cosθ 2 ( 理 ) 设 函 数 f(x) ＝ x ＋ x ＋ tanθ ， 其 中 θ ∈ 3 2
1 x
f(x)＝lnx
f′(x)＝
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； ；
g(x)＋f(x)· g′(x) (2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)·
fx (3) gx′＝
f′xgx－fxg′x (g(x)≠0) g2x
3．导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题，难 度为中档题，故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、 解决单调性问题、 求函数的极值(最值)、 构造函数证明不等式等 问题．函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命 题的热点，而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方 便许多，因此在复习时一定要重视．此外，导数与解析几何或 函数的图像的混合问题也是一种重要类型，是高考中考查综合 能力的一个方向，应引起重视．
第 一 节
导数及导数的运算
考纲解读 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．(文)能根据导数定义，求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y 1 ＝x ，y＝x的导数．
2
(理)能根据导数定义，求函数 y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2， 1 y＝x ，y＝x，y＝ x的导数．
知识梳理 1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 ①定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
＝
Δy lim Δx Δx→0
为函数 y＝f(x)在 x
Δy ＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx Δx→0
导函数 f′(x)＝ 0
n－ 1 nx f′(x)＝
f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx 1 f′(x)＝ 2 cos x 1 f′(x)＝－ 2 sin x
原函数 f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ axlna f′(x)＝
ex
f′(x)＝
1 xlna
[答案] C
[解析] 解法 1： 令 x0－Δx＝x′0， 则当 Δx→0 时， x ′ 0→ x0 ， fx′0＋Δx－fx′0 ∴ lim ＝f ′(x′0)＝f ′(x0)． Δ x Δx→0 fx0－fx0－Δx 解法 2： lim Δx Δx→0 fx0＋－Δx－fx0 ＝ lim ＝f ′(x0). － Δ x －Δx→0
2．(2011· 江西文，4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ( ) A． 1 C． e B. 2 1 D. e
[答案] A
[解析] 本题主要考查导数的意义． y′＝e ′＝ex，所以 k＝e0＝1.

x
3．与直线 2x－y＋4＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线方程是 ( ) A．2x－y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0 B．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0
导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导 数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而 且近几年有加强的趋势，预测 2013 年对本单元的考查为： (1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现．
(2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查， 多与函数的应用综合，以考查函数的单调性、极值、最值问题， 以大题形式出现． (3)以实际应用为背景，考查导数在生活中的最优化问题的 应用，以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题， 以大题形式出现．
基 础 自 测
1.(2010· 新课标文)曲线 y＝x3－2x＋1 在点(1,0)处的切线方 程为( ) B．y＝－x－1 D．y＝－2x－2
A．y＝x－1 C．y＝2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法， 在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线 的斜率，题目定位于简单题． 由题可知，点(1,0)在曲线 y＝x3－2x＋1 上，求导可得 y′ ＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率 k＝1，切线过点(1,0)， 根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线 y＝x3－2x＋1 的切线方 程为 y＝x－1，故选 A.
[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．
1 4 5 (1)y′＝5x ′－3x3′＋(3x2)′＋(
2 ，1， 2
∴f′(1)∈[ 2，2]，故选 D.
5 ． ( 文 )( 教材改编题 ) 已 知 f(x) ＝ (2x ＋ 1)2 ，则 f′(x) ＝ ________.
[答案] 8x＋4
[解析] ∵f(x)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1， ∴f′(x)＝8x＋4.
(理)已知函数 ________．
π f(x) ＝ f′ 4 cosx ＋ sinx ， 则
π f 4 的 值 为
[答案] 1
[解析] 主要考查导数及函数的求值．
π f′(x)＝－f′4 sinx＋cosx， π π π π ∴f′ 4 ＝－f′ 4 sin ＋cos ， 4 4 π f′4 1＋ π 2 2 ＝ ，∴f′4 ＝ 2 2