(专题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组经典测试题及答案解析

（专题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组经典测试题及答案解
析
一、选择题
1．不等式组
30
213
x
x
+
⎧
⎨
->
⎩
…
的解集为（）
A．x＞1 B．x≥3C．x≥﹣3 D．x＞2【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解：
30
213
x
x
+>
⎧
⎨
->
⎩
①
②
，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x>2，
故此不等式组的解集为：x>2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．
2．关于 x 的不等式组
21
2
3
1
x
x a
-
⎧
<
⎪
⎨
⎪-+>
⎩
恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（）
A．-2≤a＜-1 B．-2＜a≤-1 C．-3≤a＜-2 D．-3＜a≤-2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】
解：
21
2
3
1
x
x a
-
⎧
<
⎪
⎨
⎪-+>
⎩
①
②
解不等式组①，得x<7
2
，
解不等式组②，得x>a+1，
则不等式组的解集是a+1<x<72
， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3．
所以可以得到-1⩽ a+1<0，
解得−2≤a ＜−1．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
3．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）
A ．21090(18)2100x x +-≥
B ．90210(18)2100x x +-≤
C ．21090(18) 2.1x x +-≤
D ．21090(18) 2.1x x +->
【答案】A
【解析】
设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．
4．已知方程组31331x y m x y m
+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，则m 取值范围是（ ） A ．m >1
B ．m <-1
C ．m >-1
D ．m <1
【答案】C
【解析】
【分析】 直接把两个方程相加，得到12m x y ++=
，然后结合0x y +>，即可求出m 的取值范围. 【详解】 解：31331x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩
， 直接把两个方程相加，得：
4422x y m +=+， ∴12m x y ++=
， ∵0x y +>， ∴102
m +>，
∴1m >-；
故选：C.
【点睛】 本题考查了加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法，正确得到12m
x y ++=，然后进行解题.
5．不等式组360
420x x +≥⎧⎨->⎩的所有整数解的和为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】D
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，再把所有整数解相加即可．
【详解】
360
420x x +≥⎧⎨->⎩
360x +≥
解得2x ≥-
420x ->
解得2x >
∴不等式组的解集为22x -≤<
∴不等式组的所有整数解为2,1,0,1--
∴不等式组的所有整数解之和为21012--++=-
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
6．已知关于x 的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a 的值为（
）
A ．﹣16
B ．
C ．﹣8
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出x 的取值范围，再求出a 、b 的值，即可求出答案.
【详解】
由不等式组
， 解得. 故原不等式组的解集为1-b x -a ，
由图形可知-3x 2， 故
， 解得，则b a =． 故答案选B ．
【点睛】
本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练的掌握在数轴上表示不等式的解集.
7．下列不等式的变形正确的是（ ）
A ．若,am bm >则a b >
B ．若22am bm >，则a b >
C ．若,a b >则22am bm >
D ．若a b >且0,ab >则11a b > 【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；
若22am bm >，则a b >，故B 正确；
当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；
若0a b >>，则
11a b
<，故D 错误； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．
8．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩
无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=-- ∴83
a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833
a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
9．若整数a 使得关于x 的方程3222a x x
-=--的解为非负数，且使得关于y 的不等式组32212203
y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）． A ．17
B ．18
C ．22
D ．25
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为
非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】
解：
322
1
22
3
y y
y a
--
⎧
+>
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
„
，
不等式组整理得：
1 y
y a
>-
⎧
⎨
⎩„
，
由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，
2－
3
22
a
x x
=
--
，
去分母得：2（x－2）－3＝－a，
解得：x＝7
2
a -
，
∵7
2
a
-
≥0，且
7
2
a
-
≠2，
∴a≤7，且a≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．解不等式组
34
22
1
33
x
x x
-≥
⎧
⎪
⎨
+>-
⎪⎩
①
②
时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是
( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．【详解】
解不等式①得：1
x≤-，
解不等式②得：5
x<，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
11．如果不等式组26x x x m -+<-⎧⎨
>⎩的解集为x ＞4，m 的取值范围为（ ） A ．m ＜4
B ．m ≥4
C ．m ≤4
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m 的范围即可．
【详解】
解不等式﹣x+2＜x ﹣6得：x ＞4， 由不等式组26x x x m -+<-⎧⎨>⎩
的解集为x ＞4，得到m≤4， 故选：C ．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
12．若x y >，则下列各式正确的是（ ）
A ．0x y -<
B ．11x y -<-
C ．34x y +>+
D ．xm ym >
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】
由x ＞y 可得：x-y ＞0，1-x ＜1-y ，x+3＞y+3，
故选：B ．
【点睛】
此题考查不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．
13．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b
>,一定能推
出a b >的有(
) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．
【详解】
解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，
在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，
在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，
在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，
综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），
故选：A ．
【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．
14．若关于x 的分式方程
11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50
x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．12 【答案】C
【解析】
【分析】
分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．
【详解】 解：解分式方程
11144ax x x -+=--， 得4x 1a
=-． 又∵4x ≠，解得0a ≠．
又∵方程有整数解，
∴11a -=±，2±，4±，
解得：2,3a =，1-，5，3-．
解不等式组2(1)43,50
x x x a +≤+⎧⎨-<⎩，
得，25
a x -<…． 又不等式组有且只有3个整数解，
可求得：05a <≤．
综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．
15．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A ．6折
B ．7折
C ．8折
D ．9折 【答案】B
【解析】
【详解】
设可打x 折，则有1200×
10
x -800≥800×5%， 解得x≥7．
即最多打7折．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
16．若关于x 的不等式组24x x a <⎧⎨
-≤⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥-
B ．2a >-
C ．2a ≤-
D ．2a <- 【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集x<2，推出a 42+≥求解即可．
【详解】
因为不等式组24x x a
<⎧⎨-≤⎩的解集是x<2
所以不等式组2+4<⎧⎨≤⎩
x x a 的解集是x<2 根据同小取较小原则可知，a 42+≥ ，故2a ≥-
故选：A
【点睛】
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得到a 42+≥是解此题的关键．
17．若整数a 使关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩
无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10 【答案】C
【解析】
【分析】
解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．
【详解】
解：解关于x 的分式方程
111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，
∴a ≠0，a≠1，
∵关于x 的分式方程
111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12
a >， 解不等式1()02
x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥
，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，
∴a ≤4，
∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．
18．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤
B ．37x ≤≤
C ．36x ≤≤
D ．17x ≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】
先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．
【详解】
9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤，
当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；
当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；
当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；
当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；
当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；
综上，x 取值范围为：26x ≤≤，
故选：A ．
【点睛】
本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．
19．已知实数(0)a a >，b ，c 满足0a b c ++<，20a b +=，则下列判断正确的是（ ）．
A ．c a <，24b ac >
B ．c a <，24b ac <
C ．c a >，24b ac >
D ．c a >，24b ac <
【答案】A
【解析】
【分析】
由20a b +=，可得2,b a =- 代入0a b c ++<可得答案，再由2b a =-得到224,b a =利用已证明的基本不等式c a <，利用不等式的基本性质可得答案．
【详解】
解：20,a b +=Q
2,b a ∴=- 224,b a =
0,a b c ++Q ＜
20,a a c ∴-+＜
,c a ∴＜
0,a Q ＞ 40,a ∴＞
244,a ac ∴＞
24.b ac ∴＞
故选A ．
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．
20．若关于x 的不等式0521x m x -<⎧⎨-≤⎩
，整数解共有2个，则m 的取值范围是( ) A ．3m 4<<
B ．3m 4<≤
C ．3m 4≤≤
D ．3m 4≤< 【答案】B
【解析】
【分析】
首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m 的范围．
【详解】
解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩
L L ①②， 解①得x m <，
解②得2x ≥．
则不等式组的解集是2x m ≤<．
Q 不等式组有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则34m <≤．
故选B ．
【点睛】
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。