线性代数课本课件5.2

另两个明显成立的常用性质是 性质3 m个n维向量组成的向量组 当 n<m 时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关
性质4 含有零向量的任一向量必是线性相关.
例 试用各种方法说明向量v1， v2 ，v3线性无关
1 0 0
0
1 0
其中
0 0 1 v1 5, v2 2,v3 3
4 4 0 1 0 1
定理 对给定的两组向量a1、… ak; b1、… bs， 若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,…,k) 皆可依后一组向量线性表出，则 k≤s.
证明 现考虑齐次方程组 Cx 0 其中 x 是 k 1未知数向量.若证得 Cx 0 只有平凡
解，则由齐次方程组的理论 必有 r(C)=k . 已知a1、…、ak 线性无关，以反证法证明
1、线性相关性的概念
定义 设1,2 , ,m 为同维向量, 若存在不全为零
的数 k1, k2 , , km ,使得
k11 k22 kmm 0 () 则称向量组1,2 , ,m 线性相关, 否则称它们线性无关.
依据前面的分析可得如下重要结论
向量组
A：a1, a2, …, am 线性相关(无关)
1 0 1
(b1
,
b2
,
b3
)
(a1
,
a2
,
a3
)
1
1
0
0 1 1
记作 BAK 设 Bx0 以 BAK 代入得 A(Kx)0
因为A的列向量组线性无关 所以可推知 Kx0
又因 |K|20 知方程 Kx0 只有零解 x0
所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关
例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线 性表示？
问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组 合的系数是否不全为零？
向.量b 能由向量 组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
r( A) r( A,b)
问题1′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答 齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km = 0 ，则
xx11
x3 x2
0 0
x2 x3 0
由于此方程组的系数行
列式
101 1 1 020 011
故方程组只有零解
x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性 无关
例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
证法二 反证法 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知r(E)n 即r(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性 无关的
1
0
2
例
已知
a1
1
,
a2
2
,
a3
4
,
1
5
7
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性．
解
1 0 2 1 0 2
A a1
1v1 解一2v2 从3定v3解义二出0 发，改考写解察(5三-向9)量的对成零向解关线量四于性v1,组1v,对2合2,v,向33分量的别组齐删再次去
由于
1v1
方程组
2
v2维 4，向53，量vv13 6个v02分（v量35-后9）1e32，1形100e成,4e2一1000010组,,ee明35显0010000线
证明 已知对每个 aj 有 s 个数c1j、… csj 使成立 aj= c1j bj+…+ csjbs , (j=1,…,k)
把 k 个线性表出关系写成矩阵等式, 有
c11
c1k
a1
ak b1
bs
cs1
csk
记C=[cij]这是个 s k 矩阵. 若能证明 r(C)=k 则因 r(C)≤s 就可推得 k≤s 了.
证法三 利用矩阵秩 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
(b1
,
b2
,
b3
)
(a1
,
a2
,
a3
)
1
1
0
0 1 1
记作BAK 因为 |K|20 知K可逆 所以 r(B)r(A)
因为A的列向量组线性无关 所以 r(A)3 从而 r(B)3 因此b1 b2 b3线性无关
2、线性相关性的性质
至少有一列可由其余的列线性表出．
设1,2 , ,m 为 m 维向量,
向量组
A：a1, a2, …, am 线性无关
m 元齐次线性方程 Ax = 0 有零解
r(A) = m
A 0
推论 若向量组 1 ,2 , ,m (m 2) 线性无关, 则任一向量都不能由其余 m − 1个向量线性表示.
定理 若向量组 1 ,2 , ,m 线性无关, 而向量 1 ,2 , ,m , 线性相关, 则向量 β 可由1 ,2 , ,m 线性表示, 且表示式唯一.
3、向量组的秩
定义 设向量 i1 ,i2 , ,ir 是向量组1,2 , ,m 的一个部分组, 它满足
(1)i1 ,i2 , ,ir 线性无关; (2)向量组 1,2 , ,m中每一个向量都可以由向量
i1 ,i2 , ,ir 线性表示, 则称向量组i1 ,i2 , ,ir 是向量组1,2 , ,m 的一个极大线性无关组
αi
k1 ki
α1
ki1 ki
αi 1
ki1 ki
αi 1
即 αi 可由其余m −1个向量线性表示.
km ki
αm
2、线性相关性的性质
定理 向量组 1 ,2 , ,m (m 2)线性相关的充要 条件是至少有一个向量可由其余 (m − 1) 个向量线性表示.
证 充分性. 设向量组 1 ,2 , ,m 中的某一个向量αi
157 155
故向量组a1, a2, a3线性无关.
例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
证法一 利用定义
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
即
x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即
(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有
可以由其余向量线性表示, 即
αi l1α1 li1αi1 li1αi1 lm αm l1α1 li1αi1 αi li1αi1 lm αm 0
显然, 数 l1, ,li1, 1, li1, , lm 不全为零, 故 1 ,2 , ,m 线性相关.
设1,2 , ,m 为 m 维向量,
7
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性．
解 本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次
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方程组是n n的情形.此时，可计算行列式值的方
法来判断线性相关性,即
若行列式为零，向量组线性相关；
若行列式不等于零，则线性无关.
102 100
det a1 a2 a3 1 2 4 1 2 2 0
对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则 线性无关．
两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(对应分量成比例)
向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线
向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m
例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
注 一个向量组的极大无关组可以是不唯一的;但不同最 大线性无关组的向量个数是确定的.
定义 向量组1,2, ,m 的极大无关组所含向量 的个数称为向量组的秩.
显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数; 而只含零向量的组其秩为零.
定理 向量组 1 ,2 , ,m (m 2)线性相关的充要 条件是至少有一个向量可由其余 (m − 1) 个向量线性表示.
证 必要性. 设向量组1 ,2 , ,m 线性相关, 则存在
一组不全为零的数k1, k2, … , ki , … , km , 使得
k11 k22 kmm 0
不失一般性, 设 ki≠0,于是
向量组
A：a1, a2, …, am 线性相关
m 元齐次线性方程 Ax = 0
有非零解
r(A) < m
A 0
定理 向量组 1 ,2 , ,m (m 2)线性相关的充要 条件是至少有一个向量可由其余 (m − 1) 个向量线性表示.
注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵．
推论 对m 阶矩阵A=[a1, a2, …, am], r(A) < m的充要条件是
注 只含零向量的向量组没有极大无关组.
注 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.
1 0 1
例 设向量组
1
0 0
,
2
1 0
,
3
02 ，
求向量组1,2 ,3的一个极大无关组
解 由于 1,2 线性无关, 且 3 1 22
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组.
还可以验证2 ,3 也是一个极大无关组.
k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0（零向量）
问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线 性表示？
问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组 合的系数是否不全为零？
向.量b 能由向量 组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
r( A) r( A,b)
问题2′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合 的系数不一定全等于零．
及 两式相减, 得
l11 l22 lmm
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0 由于1 ,2 , ,m 线性无关, 则
ki li 0 ki = li (i 1, 2, , m)
所以向量 可由1,2 , ,m 线性表示, 且表示式唯一.
定理 对给定的两组向量a1、… ak; b1、… bs， 若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,…,k) 皆可依后一组向量线性表出，则 k≤s.
xk0
这与a1, …, ak线性无关矛盾. b1
故 Cx 0 只有平凡解，
c11
bs
cs1
0
bs
0
0
c1k
x10
csk xk0
即 r(C)=k. 又因 sk 矩阵 C 有 r(C)≤min(s,k) ≤s,
从而 k s
线性相关与无关的性质
性质1 设列向量组 1 ,2 , ,m Rl ,列向量组 1 , 2 , , m Rs , 且向量组1 ,2 , ,m 线性无关,则
m 元齐次线性方程 Ax = 0
有非零解(零解)
r(A) < m (r(A) = m )
其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数．
以上结果，显示了Rn的向量之线性相关性与齐 次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系. 注
给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必 居其一;
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情 形；
证 由上定理的必要性证明, 可得β能由 1 ,2 , ,m 线性表示,下面证明唯一性.
定理 若向量组 1 ,2 , ,m 线性无关, 而向量
1 ,2 , ,m , 线性相关, 则向量 β 可由1 ,2 , ,m
线性表示, 且表示式唯一.
证 唯一性 设向量 能由1 ,2 , ,m 线性表示为 ＝k11 k22 kmm
a2
a3
1
2
4
r
~
0
2
2
1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2, a3) = 2 < 3（向量的个数）， 故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，r(a1, a2) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
1
0
2
例
已知
a1
1
,
a2
2
,
a3
4
,
1
5
Cx 0 只有平凡解.
设 Cx 0 有非平凡解 x0 x10 xk0 T
定理 对给定的两组向量a1、… ak; b1、… bs， 若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,…,k) 皆可依后一组向量线性表出，则 k≤s.
证明
k
xi0ai a1
i 1
ak
x10
b1
l ＋ s 维列向量组
i
i
i
(i 1, 2,
, m)
也是线性无关的. 通常称向量 i 为接长向量, i为截短向量.
即 ➢ 截短向量组线性无关时，原向量组必线性无关; ➢ 加长向量组线性相关时，原向量组必线性相关
性质2 若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组 B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线 性无关 则向量组A也线性无关 即 ➢ 具有线性相关部分组的任一组向量都线性相关; ➢ 一组线性无关向量的任一部分组必线性无关