内蒙古包头市第四中学2019届高三数学上学期期中试题 文

包头四中2018-2019学年第一学期期中考试
高三年级数学（文科）试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
3．命题“*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）
A ． *x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x <
B ． *x R n N ∀∈∀∈，，使得2n x <
C ． *x R n N ∃∈∃∈，，使得2n x <
D ． *x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x < 4．函数()2ln f x x =的图象与函数()2
45g x x x =-+的图象的交点个数为( )
A ． 3
B ． 2
C ． 1
D ． 0
5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）
A ． 1433AD A
B A
C =-
+ B ． 14
33
AD AB AC =- C ． 41
33
AD AB AC =+ D ． 431-3AD A AC B =
6．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ．
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ． 乙可以知道四人的成绩 B ． 丁可以知道四人的成绩 C ． 乙、丁可以知道对方的成绩 D ． 乙、丁可以知道自己的成绩 8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A ． B ． C ． D ．
9．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
11．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线在点处的切线的斜率为，则________.
14．已知,x y满足
30
350
30
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
++≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则2
z x y
=+的最大值是__________.
15．若,则____________.
16．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – ． （1）求∠A ； （2）求AC 边上的高．
18．（本小题满分12分）已知为等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图1­5，在三棱锥V­ABC 中，平面VAB⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． (1)求证：VB∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V­ABC 的体积．
20.（本小题满分12分）已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.
21．（本小题满分12分）设函数()1
ln x x
be f x ae x x
-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切
线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求,a b ; (2)证明: ()1
f x >.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M 的极径.
23.（本小题满分10分）．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
包头四中2018-2019学年第一学期期中考试
高三年级数学（文科）试题答案
一、选择题（12x5）
二、填空题（4x5）
13．【答案】 14．【答案】5
15．【答案】 16.【答案】36π
三、解答题：（70分）
17（12分）．解：（1）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定（2）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．
如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．
18．（本小题满分12分）（1）设等差数列的公差为，则
由已知，得，解得,故；
（2）由已知可得
，
．
19. （12分）解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又因为OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .
(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.
所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ， 所以三棱锥C ­VAB 的体积等于 13OC ·S △VAB ＝33
. 又因为三棱锥V ­ABC 的体积与三棱锥C ­VAB 的体积相等， 所以三棱锥V ­ABC 的体积为3
3
.
＋k )x ＋7＝0， 由题设可得1＋k 2
＋y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.
21．（12分）
试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x
--=+
-+. 由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =.
（2）证明：由（1）知， ()1
2ln x
x f x e x e x
-=+， 从而()1f x >等价于2ln x
x x xe e
->-
. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ()'0g x <；
当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时， ()'0g x >.
故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为
11g e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
设函数()2x
h x xe e
-=-
，则()()'1x
h x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()1
1h e
=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >.
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 22．（10分）
【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m 得l 2的普通方程. 设,由题设得，消去k 得. 所以C 的普通方程为. （2）C 的极坐标方程为. 联立得. 故， 从而. 代入得，
所以交点M的极径为. 23．（10分）
【解析】（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．。