第4章 拉氏变换作业参考答案

第四章 习题解
4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。

（1）at
e --1
（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）t
e
t 3-
（4）()t e
t
5cos 4-
（5）()[]t
b e at --cos 1
（6）()t
e
t
t 22
531-++
（7）5232
++t t （8）()t
e t 732--δ
（9）()t Ω2
cos （10）t t e e βα--- （11）()t e
t
5cos 22-
（12）()ϕω+t cos
解：（1）)
(1
11]1[a s s a s s e L at +=
+-=
-- （2）()()25
796
57323]5cos 73sin 2[2
22222+++=+++⨯=
+s s s s s s t t L （3）2
3)3(1][+=
-s e
t L t
（4）())](21
[)](21[
]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t t
e e e j
L e e e j L t e
L --+-----+=+= 25
)4(5
)541541(212
++=+++-+=
s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b t
b ----=-
2
2)(1a
b s a b s ++++=
（6）由于1
!
][+=
n n
s n t L ,由s 域频移特性得
()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)
2(207)2(10
)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）3
2
232
526526]523[s
s s s s s t t L ++=++=++ （8）()7
32]32[7+-
=--s e
t L t
δ
（9）()()2
2
2
42121]2cos 2121[
]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs s
s t L t L （10）)
)((1
1][βααββαβα++-=
+-+=
---s s s s e e
L t t
（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得
()25
)2(221
)2(21]5cos [222+++⋅
++=
-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+
2
22222s i n c o s s i n c o s ω
ϕωϕ
ωϕωωϕ+-=+-+=
s s s s s
4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。

(1)
321
+s (2)
334+s s
(3)()342
+s s
(4)
)
2)(5(3
++s s
(5))
2)(5(3++s s s
(6)
82
42++s s (7)
11
1
2++s (8)
231
2+-s s
(9)
1275
42+++s s s
(10)
)
200201()
50(1002+++s s s
(11))15(1
+s s
(12)
)31(31s s s
+-
(13)
()
5
1
2
+s s (14)
)
2()1()
3(3
+++s s s
(15)
()
841
2++s s s
(16)
()
221
22++s s s
解：(1)由于2
321
3
21
+=+s s ，故
2
]321[
2
31t e
s L --=
+ (2) 由于
1
1
3434334+⋅
-=+s s s ，故 t e t s s L ---=+3
4
)(34]334[
1δ (3) 由于
())4
3
1
1(32)3441(32342+-=+-=+s s s s s s
()t
e s s L 43
1
3
232]342[---=+
(4) 由于
5
1
21)2)(5(3+-
+=++s s s s ，故 t t e e s s L 521])
2)(5(3
[
----=++
(5) 由于
2
2
55)2)(5(3+-
+=++s s s s s ，故 t t e e s s s
L 25125])
2)(5(3[
----=++
(6) 由于
2
2222)
22(2
)22(4824+++=++s s s s s ，故
2
22sin 22cos 4]824[
21t
t s s L +=++- (7))(sin ]11
1
[
21t t s L δ+=++- (8) 由于
1
1
212312--
-=+-s s s s ，故 t
t e e s s L ----=+-22
1]2
31[
(9) 由于37
411127542+-
+=+++s s s s s ，故 t t e e s s s L 3421711]1275
4[----=+++
(10) 由于
)200
150
149(199100)200)(1()50(100)200201()50(1002
+-+=+++=+++s s s s s s s s ，故 )200150
149(199100])
200201()50(100[
2
1+-+=+++-s s s s s L (11) 由于
)1
55
1()15(1+-=+s s s s ，故
t e t u s s L 51
1
)(])15(1
[---=+
(12) 由于
3
12
11361)31(31+-=+-=+-s s
s s s s s
t e t u s s s
L 31
1
2)(])31(31[---=+-
(13) 由于
()
)5
1(51512
2+-=+s s
s s s ()
])5cos(1[1
512
1
t s
s s L -=+-
(14) 由于
1
)1()1(2)2()1()
3(2322232113+++++++=+++s K s K s K s K s s s
1|)1(3
23
1-=++=
-=s s s K
2|2
3
121=++=
-=s s s K 1|]2
3[122-=++=
-=s s s ds d K 1|]2
3[2112
223=++=-=s s s ds d K 1
1
)1(1)1(221)2()1()3(233++
+-++++-=+++s s s s s s s t t e t t e s s s L ---+-+-=+++)1(])
2()1()
3([
223
1 (15) 由于
()
j s K j s K s K s s s 22228
41
222112
-+++++=++ (
)
81
|8
4102
1=++=
=s s s K 16161)1(161|}22(12221j j j j s s K j s -=-=-+=
--=
16
1
16)1(161|}22(12222-=+-=++=
+-=j j j j s s K j s
()
)
22(161
)22(161818412
j s j j s j s s s s -+-+++-+=++
()
t j t j e j e j t u s s s L )22()22(2
1)1()1(8)
(]8
41[
--+---+-+=++ (16) 由于
()
j s K j s K s K s s s -+++++=++112
21
222112 (
)
21|2
210
21=++=
=s s s K 441)1(41|}1(1121j j j j s s K j s -=-=-+=
--=
4
1
4)1(41|}1(1122-=+-=++=
+-=j j j j s s K j s
()
)
1(41
)1(41212212j s j j s j s s s s -+-+
++-+=++ ()
t j t j e j e j t u s s s L )1()1(2
1)1()1(2)
(]2
21[
--+---+-+=++ 4-15 求下列LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。

(1)
()()()()t x t y dt t dy dt t y d 22322=++ (2) ()()()()dt
t dx t y dt t dy dt t y d =++2222 (3)
()()()()()()t x dt t dx t y dt t dy dt t y d dt t y d +=+++361162233 (4) ()()()()()t x dt
t dx dt t x d t y dt t dy ++=+3222 解：对输入和输出求拉氏变换
（1）)
2)(1(2
)()()()(2)(2)(3)(2
++=
=⇒=++s s s X s Y s H s X s Y s sY s Y s 冲激响应())()22()]([21
t u e
e s H L t h t
t
----==
阶跃响应s
s s s X s H s G t g 1
)2)(1(2)()()()(⋅++=
=↔
)(]21[)]([)(21t u e e s G L t g t t ---+-==
（2）)()(2)(2)(2
s sX s Y s sY s Y s =++
1
)1(1
1)1(1)22()()()(222++-+++=++==
⇒s s s s s s s X s Y s H 冲激响应())()sin cos ()]([1
t u t e t e s H L t h t
t
----== 阶跃响应2
21
1)22()()()()(22++=
⋅++=
=↔s s s s s s s X s H s G t g )()sin )]([)(1t u t e s G L t g t --==
（3）)()13()()6116(2
3
s X s s Y s s s +=+++
)
1)(2)(3(1
3)()()(++++=
=
s s s s s X s Y s H )()45()]([)(3211t u e e e s H L t h t t t -----+-==
阶跃响应)
1)(2)(3(1
31)1)(2)(3(13)()()()(++++=
⋅++++=
=↔s s s s s s s s s s s X s H s G t g )()3
4
2561()]([)(3211t u e e e s G L t g t t t ----+-+==
（4）2
1
1213)()()()()13()()2(22
+-+=+++==⇒++=+s s s s s s X s Y s H s X s s s Y s )()()()]([)(21t u e t t s H L t h t ---+'==δδ
阶跃响应)
2(131213)()()()(22+++=⋅+++==↔s s s s s s s s s X s H s G t g
)()2
1
()]([)(21t u e s G L t g t --+==。