管理类专业学位联考综合能力数学(函数、方程、不等式)-试卷2

管理类专业学位联考综合能力数学（函数、方程、不等式）-试
卷2
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、问题求解(总题数：22，分数：44.00)
1.若m，n分别满足2m 2 +1999m+5=0，5n 2 +1999n+2=0，且mn≠1，则=( )
A. √
B.
C.
D.
E.
方程ax 2 +bx+c=0，cx 2 +bx+a=0(ac≠0)的根互为倒数，故设2m 2 +1999m+5=0 的两个根为m 1，m 2，
必有5n 2 +1999n+2=0的两个根为m，n分别是两个方程的根，且mn≠1，则不妨设m=m 1，则必有
则
2.已知不等式x 2一ax+b＜0的解是x∈(一1，2)，则不等式x 2 +bx+a＞0的解集是( )．
A.x≠1 √
B.x≠2
C.x≠3
D.x∈R
E.x∈(1，3)
由x 2 -ax+b＜0的解x∈(一1，2)可知，x 1 =一1，x 2 =2为方程x 2一ax+b=0的两个根，由韦达定理知x 1 +x 2 =一1+2=a，x 1 x 2 =一1 × 2=b，得a=1，b=一2，故x 2 +bx+a=x 2 -2x+1=(x一1) 2＞0,x ≠1．
3.关于x的一元二次方程x 2一mx+2m一1=0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 12 +x 22 =7，则(x 1一x 2 ) 2的值是( )．
A.一11或13
B.一11
C.13 √
D.一13
E.19
方程有实根，故△=m 2—4×(2m一1)=m 2 -8m+4＞0，由韦达定理知x 1 +x 2 =m， x 1 x 2 =2m-1，故x 1
2 +x
22 =(x
1 +x
2 )
2 -2x
1 x
2 =m
2 -2×(2m-1)=m 2 -4m+2=7，解得m
1 =5(△＜0，舍去)，m
2 =一1．故
(x 1一x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1+12=13．
4.已知α与β是方程x 2 -x-1=0的两个根，则a 4 +3β的值为( )．
A.1
B.2
C.5 √
α是方程的根，代入方程，得α2一α一1=0，α2 =α+1；故α4 =(α2 ) 2 =(α+1) 2 =α2 +2α+1=(α+1)+2α+1=3α+2；又由韦达定理，得α+β=1．故α4 +3β=3(α+β)+2=5．
5.已知a，b是方程x 2一4x+m=0的两个根，b，c是方程x 2一8x+5m=0的两个根，则m=( )．
A.0
B.3
C.0或3 √
D.-3
E.0或一3
b是两个方程的根，代入可得b=m，代入，得m 2 -3m=0，则m=0或m=3，代入两个方程的根的判别式△，可知m的两个取值都成立．
6.已知m，n是方程x 2一3x+1=0的两实根，则2m 2 +4n 2一6n一1的值为( )．
A.4
B.6
C.7
D.9
E.11 √
将n代人方程可得n 2 -3n+1=0，n 2 =3n-1，故 2m 2 +4n 2一6n一1=2m 2 +2n 2 +2n 2一6n一1=2m 2 +2n 2一3．由韦达定理得m+n=3，mn=1，故m 2 +n 2 =(m+n) 2 -2mn=7．故原式=14—3=11．
7.已知x 1，x 2是方程x 2 +m 2 x+n=0的两实根，y 1，y 2是方程y 2 +5my+7=0的两实根，且则x 1 -y
1 =2，x
2 -y 2 =2，则m，n的值分别为( )．
A.4， 29 √
B.4，29
C.-4，-29
D.一4，29
E.以上结论都不正确
x 1一y 1 +x 2一y 2 =(x 1 +x 2 )一(y 1 +y 2 )=4， (*) 根据韦达定理，可知x 1 +x 2 =一m 2，y 1 +y
2 +5m一4=0，解得m=1或4．当m=1时，y 2 +5my+7=0的判别式小于0，舍去；
2 =一5m，代入(*)得一m
当m=4时，y 2 +5my+7=0的判别式大于0，故m=4．由x 1 -y 1 =2，x 2 -y 2 =2以及韦达定理，得 n=x 1 x 2 =(y 1 +2)(y 2 +2)=y 1 y 2 +2(y 1 +y 2 )+4=7—40+4=-29．故m=4，n=一29．
8.若α，β是方程x 2 -3x+1=0的两根，则8α4 +21β3 =( )．
A.377 √
B.64
C.37
D.2
E.1
α，β是方程x 2一3x+1=0的两根，则α+β=3，所以 8α4 +21β3 =8(3α一1) 2 +21β(3β—1)=168(α+β)一127=377．
9.已知二次方程x 2一2ax+10x+2a 2一4a一2=0有实根，求其两根之积的最小值是( )．
A.一4 √
B.一3
C.一2
D.一1
E.一6
方程有实根，则△=(一2a+10) 2一4×(2a 2一4a一2)=4(一a 2一6a+27)≥0，即a 2 +6a一27≤0，
解得一9≤a≤3．根据韦达定理，可得x 1 x 2 =2a 2一4a一2，画图像如图3—2所示：可见，最小值取在a=1的点上，最大值取在a=一9的点上；两根之积的最小值为一4．
10.设x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2 +ax+a=2的两个实数根，则(x 1一2x 2 )(x 2一2x 1 )的最
大值为( )．
A.
B. √
C.
D.
E.
△=a 2一4(a一2)=a 2一4a+8=(a一2) 2 +4＞0，故a可以取任意实数；由韦达定理得x 1 +x 2 =一a，x 1 x 2 =a一2，故 (x 1—2x 2 )(x 2—2x 1 )=一2(x 1 +x 2 ) 2 +9x 1 x 2 =一2a 2 +9a一18．由顶点
坐标公式得，原式有最大值
11.设α，β是方程4x 2—4mx+m+2=0的两个实根，α2 +β2有最小值，最小值是( )．
A.0．5 √
B.1
C.1．5
D.2
E.以上结论均不正确
由方程有实根可得△=(4m) 2一4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2；根据图像知，当m=一1时，
α2 +β2有最小值，最小值为
12.若方程(k 2 +1)x 2一(3k+1)x+2=0有两个不同的正根，则k应满足的条件是( )．
A.k＞1或k＜一7
C.k＞1 √
E.以上答案均不正确
二次项系数k 2 +1不可能等于0，方程有两个不等的正根，故有k＞1．
13.设关于x的方程ax 2 +(a+2)x+9a=0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a的取值
范围是( )．
A.
B.
C.
D. √
E.
二次项系数a≠0：当a＞0时，应有f(1)=a+a+2+9a＜0，得不成立；当a＜0时，应有f(1)=a+a+2+9a
＞0，得
14.要使3x 2 +(m一5)x+m 2一m一2=0的两根分别满足：0＜x 1＜1＜x 2＜2，则m的取值范围为 ( )．
A.一2≤m＜0
B.一2≤m＜一1
C.一2＜m＜一1 √
D.一1＜m＜2
E.1＜m＜2
2＜m＜一1．
15.一元二次方程x 2 +(m一2)x+m=0的两实根均在开区间(一1，1)内，则m的取值范围为 ( )．
A. √
B.
C.
D.
E.
设g(x)=x 2 +(m-2)x+m，根据题目画图像可知
16.已知二次方程mx 2 +(2m一1)x一m+2=0的两个根都小于1，则m的取值范围( )．
A. √
B.
C.
D.
E.
根据题意，可得解得m
17.关于x的方程kx 2一(k一1)x+1=0有有理根，则整数k的值为( )．
A.0或3
B.1或5
C.0或5
D.1或2
E.0或6 √
当k=0时，x=一1，方程有有理根．当k≠0时，方程有有理根，k是整数，则△=(k一1) 2 -4k=k 2一
6k+1为完全平方数，即存在非负整数m，使k 2一6k+1=m 2，配方得(k一3) 2一m 2 =(k一3+m)(k一3一m)=8．由k一3+m与k一3一m是奇偶性相同的整数，其积为8，所以它们均为偶数，又k一3+m＞k
一3一m，从而有解得，k=6或k=0．综上所述，整数k的值为k=6或k=0．
18.已知关于x的方程x 2一(n+1)x+2n一1=0的两根为整数，则整数n是( )．
A.1或3
B.1或5 √
C.3或5
D.1或2
E.2或5
两根为整数，可知当n是整数时，条件②、③显然满足，故只需要再满足条件①即可．设△=(n+1) 2一4(2n一1)=k 2 (k为非负整数)，整理得(n一3) 2一k 2 =4，即(n一3+k)(n一3一k)=4，故有以
下几种情况：解得n=1或5．
19.不等式(a 2一3a+2)x 2 +(a一1)x+2＞0的解为全体实数，则( )．
A.a＜1
B.a≤1或a＞2
D.a＜1
E.a≤1√
首先判断二次项系数是否为0．当a 2一3a+2=0时，得a=1或2，当a=1时不等式解为一切实数，当a=2
时不成立．当a 2一3a+2≠0时，需满足两种情况求并集，得a≤1或
20.不等式|x 2 +2x+a|≤1的解集为空集，则a的取值范围为( )．
A.a＜0
B.a＞2 √
C.0＜a＜2
D.a＜0或a＞2
E.a≥2
|x 2 +2x+a|≤1的解集为空集，等价于|x 2 +2x+a|＞1恒成立，即x 2 +2x+a＞1或x 2 +2x+a＜一1恒成立．y=x 2+2x+a的图像开口向上，不可能恒小于一1，所以，只能恒大于1，故有x 2+2x+a＞1，x 2+2x+1+a ＞2 a＞2一(x+1) 2 a＞2．
21.x∈R k的取值范围为( )．
A.1＜k＜2
B.k＜2 √
C.k＞2
D.k＜2或k＞2
E.0＜k＜2
因为x 2 +x+1= 故可将原不等式两边同乘以x 2 +x+1，得3x 2 +2x+2＞k(x 2 +x+1)，整理，得(3一
k)x 2 +(2一k)x+(2一k)＞0，此式恒成立，需要满足条件解得k＜2．
22.若不等式x 2 +ax+2≥0对任何实数x∈(0，1)都成立，则实数a的取值范围为( )．
A.[一3，+∞) √
B.(0，+∞)
C.[一2，0)
D.(一3，2)
E.[一2，+∞)
分类讨论法．函数y=x 2 +ax+2的图像的对称轴为当x∈(0，1)时，x 2 +ax+2≥0成立，画图像可
知有如图3—3所示的三种情况：三种情况取并集，故a的取值范围为[一3，+∞)．
二、条件充分性判断(总题数：1，分数：20.00)
A.条件(1)充分，但条件(2)不充分
B.条件(2)充分，但条件(1)不充分
C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分
D.条件(1)充分，条件(2)也充分
E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分
(1).方程x 2 +ax+2=0与x 2 -2x—a=0有一个公共实数解． (1)a=3． (2)a=-2．
A. √
B.
C.
D.
E.
条件(1)：将a=3分别代入两个方程，可得 x 2 +3x+2=0，解得x=一2或x=一1；x 2一2x一3=0，解得
x=3或x=一1．有相同的实数解，条件(1)充分．条件(2)：将a=一2分别带入两个方程，可得同一个方程，即 x 2一2x+2=0，△=4—8=一4＜0，无实根；两方程不可能有相同的实数解，条件(2)不充分．
(2).实数a，b满足a=2b．(1)关于x的一元二次方程ax 2+3x一2b=0的两根的倒数是方程3x 2一ax+2b=0的两根． (2)关于x的方程x 2一ax+b 2 =0有两个相等的实根．
A. √
B.
C.
D.
E.
条件(1)：由方程是一元二次方程可知a≠0；对方程ax 2+3x一2b=0，由韦达定理，得是方
程3x 2一ax+2b=0的根，由韦达定理，得解得a=一3，故a=2b成立，故条件(1)充分．条件(2)：方程有两个相等的实根，故△=a 2一4b 2 =0，故a=±2b，故条件(2)不充分．
(3).已知a，b，c是一个三角形的三条边的边长，则方程mx 2 +nx+c 2 =0没有实根． (1)m=b 2，n=b 2 +c
2 -a 2． (2)m=a 2，n=a 2 +c 2一b 2．
A.
B.
C.
D. √
E.
方程mx 2 +nx+c 2 =0没有实根，则△=n 2一4mc 2＜0．条件(1)：根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，可知△=n 2一4mc 2 =(b 2 +c 2一a 2 ) 2一4b 2 c 2 =[(b+c) 2一a 2 ][(b 一c) 2一a 2 ] =(b+c+a)(b+c一a)(b一c+a)(b一c一a)＜0．故条件(1)充分．条件(2)：同理，可得△=n 2一4mc 2 =(a 2 +c 2一b 2 ) 2一4b 2 c 2 =(a+c+b)(a+c一b)(a一c一b)(a一c+b)＜0，故条件(2)充分．
(4).方程3x 2+[2b—4(a+c)]x+(4ac一b 2)=0有相等的实根．(1)a，b，c是等边三角形的三条边边长．(2)a，b，c是等腰三角形的三条边边长．
A. √
B.
C.
D.
E.
方程有两相等的实根，即△=[2b—4(a+c)] 2一4×3×(4ac一b 2 )=0，即8[(a一b) 2 +(b一c) 2 +(a
—c) 2]=0．条件(1)：a=b=c，△=0，充分．条件(2)：可令a=c=1，，代入可得△≠0，不充分．
(5).已知x 1，x 2是关于x的方程x 2+kx-4=0(k∈R)的两实根，能确定x 12-2x 2=8．(1)k=2．(2)k=-3．
A. √
B.
C.
D.
E.
△=k 2 +16＞0，无论k取何值，方程均有实根．条件(1)：由韦达定理，得x 1 +x 2 =-2，将x 1代入方程可得x 12 +2x 1一4=0，x 12 =4—2x 1，x 12一2x 2 =4—2x 1 -2x 2 =4—2(x 1 +x 2 )=8，充分．条件(2)：解方程得x 1 =-1，x 2 =4或x 1 =4，x 2 =一1，代入，得x 12 -2x 2≠8，不充分．
(6).α2 +β2的最小值是(1)α与β是方程x 2一2ax+(a 2 +2a+1)=0的两个实根．
A.
B.
C.
D. √
E.
条件(1)：△=4a 2一4(a 2 +2a+1)=4(一2a一1)≥0 由韦达定理，知α+β=2a，αβ=a 2 +2a+1，
则α2 +β2 =(α+β) 2一2αβ=2(a 2一2a一1)．
(7).方程2ax 2一2x一3a+5=0的一个根大于1，另一个根小于1． (1)a＞3． (2)a＜0．
A.
B.
C.
D. √
E.
a的符号不定，要分情况讨论：当a＞0时，图像开口向上，只需f(1)＜0即可，即2a一2—3a+5＜0，解得a＞3；当a＜0时，图像开口向下，只需f(1)＞0即可，即2a一2—3a+5＞0，解得a＜3，所以a＜0．故条件(1)和(2)单独都充分．
(8).方程x 2 +ax+b=0有一正一负两个实根． (1)b=一C 43． (2)b=一C 75．
A.
B.
C.
D. √
E.
有一正一负两个实根，只需要b＜0即可满足．条件(1)：b=一C 43＜0，充分．条件(2)：b=一C 75＜0，充分．
(9).方程4x 2 +(a一2)x+a一5=0有两个不等的负实根． (1)a＜6． (2)a＞5．
A.
B.
C. √
D.
E.
5＜a＜6或a＞14．所以条件(1)和(2)联立起来充分.
(10).一元二次方程ax 2 +bx+c=0的两实根满足x 1 x 2＜0． (1)a+b+c=0，且a＜b． (2)a+b+c=0，且b ＜c.
A.
B.
C. √
D.
E.
(1)：令a=一1，b=1，c=0，则ac=0，条件(1)不充分．条件(2)：令a=1，b=一1，c=0，则ac=0，条件(2)不充分．联立两个条件：有a+b+c=0且a＜b＜c，则a＜0，c＞0，故ac＜0，两个条件联立起来充分，选C。