万有引力定律及其应用本章知识点1认识天体的发展史

第三章 万有引力定律及其应用
一、本章知识点
１、认识天体的发展史：地心说→日心说→圆周运动→椭圆运动→开普勒对行星运动规律的描述。

２、开普勒行星运动规律：（１）所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；（２）行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积；（３）行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。

３、万有引力定律：Ｆ＝Ｇ221r
m m (r 为两个天体球心的距离，G ＝6.67×10-11N ·m 2/kg 2) 卡文迪许用扭秤测出常数Ｇ。

４、万有引力定律的应用
（！）计算天体质量的方法：求某个天体的质量，必须要把这个天体当作中心天体，然后利用其环绕天体的有关量来求解。

∵ω=T π2 ，Ｇ2r Mm =2ωmr =r
v m 2
∴Ｇ2r M =2)2(T r π 即 Ｍ＝23
24GT
r π 注：球体的体积： Ｖ＝3
34R π （Ｒ为半径）
讨论：如何计算不带卫星的行星质量？ 方法：假设行星上有一物体为m ，则 Ｇ2r Mm =2ωmr =r
v m 2
（２）预测未知天体：海王星和冥王星
（３）人造卫星：①牛顿的设想：人造卫星的原理图。

②人造卫星的特点：
Ⅰ、卫星做匀速圆周运动的向心力来源于地球对它的引力。

Ⅱ、卫星做匀速圆周运动的圆心就是地球的球心。

因此所有卫星的轨道平
面都过地球的球心。

③同步卫星的特点：Ⅰ、卫星公转角速度和地球自转角速度相同； Ⅱ、Ｔ＝２４h ；
Ⅲ、h ＝3.6×１０７m,位于赤道平面的正上方； Ⅳ、 ω、α、ν、Ｔ、Ｒ是唯一的。

④人造卫星超重、失重问题：
Ⅰ、卫星在发射、回收时，加速度方向均向上，故处于超重状态；
Ⅱ、卫星在轨道运行时，处于完全失重状态。

（４）宇宙速度：
① 第一宇宙速度（环绕速度）
作了两个近似处理：
Ⅰ、近地卫星环绕轨迹近似成圆周轨道；Ⅱ、卫星环绕运动的半径近似为地球的半径。

推导一：∵Ｇ2r Mm =r v m 2 ∴v=r
GM =地R GM =7.9㎞/s 推导二:∵r
v m 2
=mg ∴ v=gr =7.9㎞/s （由于近地的g 不变， r ≈R 地） Ｖ＝7.9㎞/s （卫星绕地球做圆周运动的最大速度、火箭发射卫星的最小速度）
讨论与交流：根据v=R
GM ，Ｒ越大（即越高），Ｖ越小，所以越容易发射吗？ ② 第二宇宙速度（脱离速度）
Ⅰ、7.9㎞/s ≤V ＜11.2㎞/s （绕地球做椭圆运动）
Ⅱ、V ≥11.2㎞/s （脱离地球的引力，成为太阳的人造行星）
③第三宇宙速度（逃逸速度）
V ≥16.7㎞/s （飞出太阳系）
５、解决天体运动的一般方法：
（１）确定研究对象：明确哪一个是中心天体，哪一个是环绕天体。

（２）理想化：将天体运动近似成圆周运动。

（３）根据两条思路列方程，并求解。

① 万有引力提供环绕天体的向心力。

Ｇ2r Mm =F 合=ma Ｇ2r Mm =2ωmr =r
v m 2=2)2(T mr π ② 万有引力等于环绕天体在距离中心天体某高度处受到的重力。

Ｇ2r
Mm ＝mg （g 为某高度处的重力加速度或环绕天体在该高度处做圆周运动的向心加速度；近地卫星常忽略g 随高度的变化。

）
６、火箭：（１）工作原理：利用火药燃烧向后急速喷出的气体产生的反作用力，使火箭向前射出。

（２）火箭史：早期火箭→中国；现代火箭→俄国的齐奥尔科夫斯基。

（３）了解三级火箭。

７、遨游太空：（１）了解太空的发展史；
（２）了解我国的“神舟”飞船：神五→杨利伟；神六→聂海胜、费俊龙。

（３）太空的环境：处于完全失重状态；有很强的紫外线。

① 生物各方面的长势均等；
②实验器材在太空中的使用：凡是其工作原理与重力有关的仪器都不能使用。

８、空间探测器：（１）了解人类深空探测史；（２）关注我国“嫦娥探月工程”的进展。

二、题型大综合
１.基础填空选择题 第一类：常识类：
（01）地心说、日心说的内容是什么？ （02）开普勒定律的内容是什么？
（03）牛顿的万有引力定律内容？ （04）扭秤实验的实验装置是怎样的？ （05）创立日心说、修改日心说、修改日心说原因、万有引力定律、引力常量相关的科学家
及国家各是什么？
（06）已知条件：地球公转周期年，地球自转周期和同步卫星周期都是天。

（07）同步卫星必须定点在赤道上空，而且所有的通讯（信）卫星_______卫星。

（08）利用开普勒第三定律时，必须注意，不同的星球所围绕的中心星球是。

（09）引力常量的数值和单位各是什么？
（10）在万有引力定律公式中，r指的是________________。

（11）为什么楼房对我们的吸引力我们感觉不到？
（12）用卫星周期怎样计算地球的质量？
（13）决定卫星运动参数最重要因素是什么？
第二类：简单能力类：
（14）决定卫星线速度、角速度、周期的因素是什么？
（15）卫星上的物体掉落后，运动情况怎样？
（16）当卫星受到阻力后，其轨道、周期、线速度、角速度怎样变化？
（17）地球同步卫星必须定点在什么地方？其轨道半径、周期、线速度、角速度有怎样的规律？其线速度比第一宇宙速度大还是小？
（18）如果只知道行星的卫星的周期，可以计算什么？
（1９）第一宇宙速度是最小的什么速度？是最大的什么速度？
（20）当把物体放在地球的中心时，地球对它的万有引力。

（21）如果用初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体用时间t落回原处，则此处的的重力加速度是多少？
（22）把卫星的轨道半径增大一倍，卫星的向心加速度（重力加速度）变为原来的多少？线速度变为原来的多少？
（23）书写出万有引力等于重力、等于向心力的四个等式。

写出重力加速度计算式（并推导）、两个卫星速度计算式（都推导出来）。

（24）如果知道行星的质量m，一个卫星绕它转动时，轨道半径是R，运行周期为T，用两种方法求卫星处的向心加速度。

２.基础能力计算：
第一类：星球表面类：
(01)一个行星的质量是地球质量的8倍，半径是地球质量1的4倍，则
①在这颗行星地面附近飞行的卫星的周期是地球表面附近飞行的卫星的周期的多少倍？
②在这颗行星地面附近飞行的卫星的速度是地球表面附近飞行的卫星的速度的多少倍？
③这颗行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？
④这颗行星的密度是地球密度的多少倍？
⑤如果地面的重力加速度为10m/s2，那么这颗行星表面的重力加速度是多少？
⑥如果地球的第一宇宙速度是8km/s，那么这颗行星第一宇宙速度是多少？
⑦如果在地球表面附近飞行的卫星的周期为5000s，那么在这颗行星表面附近飞的卫星的周期是多少？
⑧当卫星的轨道半径增大两倍（是原来的倍）时，地球对它的万有引力怎样？倍数是多少？它的线速度、角速度、周期是原来的多少倍？
第二类：万有引力定律应用类：
（02）质量各为1×107kg的轮船相距100m时，它们二者之间的万有引力大小是多少？（03）A、B两个恒星的质量之比为81:1，一个飞船在这两颗恒星中某一位置时，受到两恒星的引力相等，则该飞船距离A、B两恒星的距离之比是多少？
（04）如果一个卫星距离地面等于地球半径，受到地球的万有引力为F，如果距地面的距离
增大一倍，万有引力变为多少？
３.高级应用
第一类：竖直上抛类：利用竖直上抛（运动学）公式，计算出加速度。

所用的公式主要
是二章的三个公式：as v v t 2202=- at v v +=0 202
1at t v s += (01)某人在一星球上以速度v 0竖直上抛一物体，经时间t 后物体落回手中。

已知星球半
径为R ，那么使物体不再落回星球表面，物体抛出时的速度至少是多少？
先要利用竖直上抛计算出重力加速度，第二步写卫星线速度计算公式，第三步用第一步算出的重力加速度代替第二步式中的GM 物理量。

第二类：数据代用类：用题上所给的物理量代替所列代数式的物理量。

比如上一题也属
于此类。

(02)地球的同步卫星质量为m ，离地面的高度为h ．若地球的半径为R ，地球表面处的
重力加速度为g ，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小是多少？
第一步先用万有引力公式写代数式(记住万有引力定律的公式)，但式中的GM 物理量是
未知量，第二步用地面的重力加速度和地球半径来表示GM 物理量（会推导重力加速度公式）。

注意：此题万有引力部分“轨道半径为（R ＋h ）”。

再练：(03)地球半径为R ，地面重力加速度为g ，地球同步卫星距地面的高度为h ，则此
卫星线速度大小是多少？ 第三类：数值计算：（细心，静心是解决大计算量问题的必备情绪）
（04）地球半径为6400km ，地表重力加速度为9.8 m/s 2，万有引力恒量G = 6.67×
10-11Nm 2/kg 2，则地球的质量是多少？
（05）太阳光到达地球需要的时间为8min 20s ．地球绕太阳运行一周需要的时间为365d ，
则太阳的质量是多少？ 第四类：双星计算：
(06)已知双星A 、B 的质量m A >m B ，二者相距为L ，则它们的旋转中心到A 的距离是多
少？恒星A 转动的线速度是多少？它们的周期是多少？
三、练习题
（一）单选题（每题只有一个正确答案）
1、下列说法中不正确的是（ ）
A ．万有引力定律揭示了自然界物体间普遍存在着一种基本相互作用——引力作用规律
B ．卡文迪许用实验的方法证明了万有引力定律
C ．引力常量的单位是N ·m 2/kg 2
D ．两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的万有引力为6.67 N
2、在宇宙飞船内的宇航员可以用下列那种笔写字（ ）
A ．钢笔
B ．铅笔
C ．毛笔
D ．中性笔
３、下列说法符合史实的是（ ）
A. 牛顿发现了行星的运动规律
B. 开普勒发现了万有引力定律
C. 牛顿发现了海王星和冥王星
D.卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量
４、在轨道上运行的人造地球卫星，如天线突然脱落，则天线将做：( )
A ．自由落体运动
B ．平抛运动
C ．和卫星一起在同一轨道上绕地球运动
D ．由于惯性沿轨道切线方向作直线运动 ５、当航天飞机绕地球做匀速圆周运动时，航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体：（ ）
A、不受地球的吸引力
B、地球吸引力与向心力平衡
C、对支持它的物体的压力为零
D、以上说法都不对
６、行星绕太阳作椭圆运动时，机械能增大（）
A、向近日点运行时，引力做正功，机械能增大
B、向远日点运行时，引力做负功，机械能减小
C、万有引力是向心力
D、离太阳越远，速率越小
７、人造地球卫星在圆形轨道上环绕地球运行时有：（）
A．轨道半径越大，速度越小，周期越长B．轨道半径越大，速度越大，周期越短C．轨道半径越大，速度越大，周期越长D．轨道半径越小，速度越小，周期越长８、设两人造地球卫星的质量比为1：2，到地球球心的距离比为1：3，则它们的：（）A．周期比为3：1 B．线速度比为1：3
C．向心加速度比为1：9 D．向心力之比为1：18
９、地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有：（）A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬300大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
１０、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅只需测定（）
A．运行周期B．环绕半径C．行星的体积D．运动速度
１１、地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该处距地面球表面的高度：（）
A．（2—1）R B．R C．2R D．2R
１２、设行星绕恒星运动轨道为圆形，则它运动的周期平方与轨道半径的三次方之比T2/R3=K为常数，此常数的大小：()
A．只与恒星质量有关B．与恒星质量和行星质量均有关
C．只与行星质量有关D．与恒星和行星的速度有关
１３、人造卫星由于受大气阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况是：（）
A．速度减小，周期增大B．速度减小，周期减小
C．速度增大，周期增大D．速度增大，周期减小
１４、人造地球卫星绕地球做圆周运动的线速度可以是：（）
①11.2km/s ②7.9km/s ③6km/s ④16.7km/s
A．①②B．②③Ｃ．③④Ｄ．①④
１５、关于人造地球卫星中物体的超重和失重，下列说法中正确的是（）A．发射卫星所用的火箭燃料尚在燃烧，使卫星在加速上升过程中产生超重现象
B．卫星在轨道上做匀速圆周运动时，卫星中的物体所受重力为零，产生失重现象
C．卫星在轨道上做匀速圆周运动时，卫星中的物体处于平衡状态
D．卫星返回地球过程中，卫星向下做减速运动，卫星中的物体处于失重状态
１６、地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要
使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（ ）
A ．a g 倍
B ．a a g +倍
C ．a a g -倍
D ．a
g 倍 １７、同步卫星在赤道上空同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用而影响，会产生漂移运动而偏离原来的位置，当偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。

图中实线A 为同步轨道，若B 和C 为两个已经偏离轨道但仍在赤道平面内运行的同步卫星，要使它们回到正确的同步轨道上来，应：（ ）
①．开动B 的小发动机向前喷气，使B 适当减速
②．开动B 的小发动机向后喷气，使B 适当加速
③．开动C 的小发动机向前喷气，使C 适当减速
④．开动C 的小发动机向后喷气，使C 适当加速
A ．①③
B ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④
（二）多选题：
１、绕地球作匀速圆周运动的人造地球卫星内，其内物体处于完全失重状态，物体：（ ）
A ．不受地球引力作用
B ．所受引力全部用来产生向心加速度
C ．加速度为零
D ．物体可在飞行器悬浮
２、关于地球同步卫星，下列说法中正确的是（ ）
A ．它的加速度小于9.8 m/s 2
B ．它的周期是24 h ，且轨道平面与赤道平面重合
C ．它处于平衡状态，距地面高度一定
D ．它的线速度大于7.9 km/s
３、环绕地球在圆形轨道上运行的人造地球卫星，其周期可能是：（ ）
A ．60分钟
B ．80分钟
C ．180分钟
D ．25小时
４、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道:( )
A 、与地球表面上某一纬度线 (非赤道)是共面同心圆
B 、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
５、假设地球自转加快，则仍静止在赤道附近的物体变大的物理量是:( )
A 、地球的万有引力
B 、自转向心力
C 、地面的支持力
D 、重力
６、地球半径为R ，地面重力加速度为g ，地球自转周期为T ，地球同步卫星离地高度为h ．则地球同步卫星的线速度大小为（ ）
A ．)(2
h R gR + B ．)(h R g + C ．T h R )(2+π D ．T
g R 22π ７、如图所示，三颗人造地球卫星的质量M a =M b ＜M c ，b 与c 半径相同，则：( )
A ．线速度v b =v c ＜v a
B ．周期T b =T c ＞T a
C ．b 与c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度
D ．b 所需的向心力最小
８、在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做 "宇宙膨胀说"，这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小。

根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比:( )
A 、公转半径R 较大
B 、公转周期T 较小
C 、公转速率v 较大
D 、公转角速度ω较小
（三）填空题
１、16－17世纪有许多科学家从事天体运动的研究并且涌现一批杰出的科学家，就是其中的一个，17世纪初，他发表了行星运动三定律，使人们对行星运动的情况了解得更清楚，更确切。

２、据观测，某一有自转的行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是行星的卫星群，测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，那么，若测量结果是v与R成正比，则环是；若v2与R成反比，则环是。

３、某行星与地球的质量比为a，半径比为b，该行星表面与地球表面的重力加速度比为。

４、地球半径为R，表面的重力加速度为g，卫星在距地面高R处作匀速圆周运动时，线速度为，角速度为，加速度为，周期为。

５、某人站在星球上以速度v1竖直上抛一物体，经t秒后物体落回手中，已知星球半径为R，现将此物沿星球表面平抛，要使其不再落回球，则抛出的速度至少为。

６、一物体在地球表面的重力为16N，它在以5m/s2加速上升的火箭中视重为9N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的倍。

（g=10m/s2）
７、宇宙飞船正在离地面高度H=R地的轨道上绕地球做匀速圆周运动，宇宙飞船的向心加速度为_________g地，在飞船内用弹簧秤悬挂一个质量为m的物体，则弹簧秤的读数为________。

８、人造地球卫星作近地运行时的速度为v0，如果将它从地面发射至离地面高为二倍地球半径的高空轨道上去，那么它运行速度v= v0
９、地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为。

１０、地球的第一宇宙速度为V,若某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,则该行星的第一宇宙速度为___________。

（四）计算题
1、地球的第一宇宙速度为v1，若某行星质量是地球质量的4倍，半径是地球半径的1/2倍，求该行星的第一宇宙速度。

２、某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100 kg……周期为1 h的人造环月卫星.一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查的资料，但他记得月球半径约为地球的1/4，月球表面重力加速度约为地球的1/6。

为了了确定报道的真假，他利用学过的知识推理，试帮助他其完成推理，并判断报道的真假，（已知：地球半径约为6.4×103 km）。

３、1957年10月4日，苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星以来，人类活动范围从陆地、海洋、大气层扩展到宇宙空间，宇宙空间成为人类第四疆域，人类发展空间技术的最终目的是开发太空资源。

（1）宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中，会处于完全失重状态，下列说
法中正确的是：（ ）
A 、宇航员仍受重力作用
B 、宇航员受力平衡
C 、重力正好为向心力
D 、宇航员不受任何力作用
（2）宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站：（ ）
A 、只能从较低轨道上加速
B 、只能从较高轨道上加速
C 、只能从同空间站同一高度轨道上加速
D 、无论在什么轨道上，只要加速都行
（3）已知空间站周期约为90min ，地球半径约为6400km ，地面重力加速度约为10m/s 2，
由此计算国际空间站离地面的高度？
４、假定宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T ，当飞船降落在该星球表面，用弹簧秤称得质量为m 的砝码受重力为F ，试根据以上数据求得该行星的质量。

５、 太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h 。

在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极处时测得的读数小10%，已知引力常量11226.6710/G N m kg -=⨯，求此行星的平均密度。

６、两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心作匀速圆周运动，这样就
不至于由于万有引力而吸引在一起，设两双星质量分别为m 和M ，M=3m 。

两星间距
为L ，在相互万有引力的作用下，绕它们连线上某点O 转动，则：OM 间距为 多少？它们运动的周期为多少？
《万有引力定律》练习题答案
一、单选题：１、Ｄ ２、Ｂ ３、Ｄ ４、Ｃ ５、Ｃ ６、Ｄ ７、Ａ ８、Ｄ
９、Ａ １０、Ａ １１、Ａ １２、Ａ １３、Ｄ １４、Ｂ １５、Ａ １６、Ｂ １７、Ｂ
二、多选题：１、ＢＤ ２、ＡＢ ３、ＣＤ ４、ＢＣＤ ５、ＡＢＣ ６、ＡＣＤ ７、ＡＢＤ ８、ＢＣ
三、填空题：１、开普勒； ２、连续物；卫星群 ３、b 2:a
４、 ５、 ；
６、３； ７、1/4，0 ； ８、33 ; ９、9 ； １０、2V
四、计算题：
1、22V 1
２、解析：如可能，则卫星加速度a ≥ω2R 月，即a ≥（
T π2）2R 月＝41R 地（3600π2）2＝4.8 m/s 2＞6
g 这是不可能的，故该报道是假的。

答案：假
３、（1）AC （2）A （3）282km 14约g/6；
４、解析：飞船做匀速圆周运动的向心力是星球对飞船的万有引力提供
设行星质量、飞船质量分别为M 和飞m ，行星半径为R ，则有：
2224T
R m R Mm G π飞飞
= 该星球表面砝码的重力等于砝码的万有引力，
2
R Mm G F = 联解得： 344
316Gm
T F M π= ５、略
６、mL/(M+m) 2π
)(3m M G L +。