点线面之间的位置关系
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D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面
P 例2 23
.
在长方体A
C1中,
P为棱BB1的中点,画出
由A1,C1,P三点所确定的平面与长方体
表面的交线.
D1
C1
A1
B1
D
C
P
A
B
D1
C1
A1
B1
D
C
P
A
B
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面）
直线（点的集合）：小写英文字母l, m, n
平面（点的集合）：用希腊字母, , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
• 点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号
元素与集合关系：,
集合与集合关系：, ;
平面的特征： (1) 平展性 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度 平面的画法： 通常用平行四边形来表示平面。
公理2：
1.文字语言：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其它公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线。
2.符号语言:
P,P 3.图形语言：
l且P l
Pl
公理3
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面的基本性质
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
b
α
P22例1.已知 : A, B,C l,D l 求证:直线AD,BD,CD共面
A
l
B
D C
证明: D l. l与D确定平面.
又 A, B,C l, l A, B,C .
A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D ]
2．下列推断中，错误的是[ C ]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解
例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B
A
C
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A
B
(2)l ,m
(3) l
A
(4)Pl, P,Ql,Q
P
l
Q
平面基本性质
公理1：
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。
2.符号语言:Al, B l, A, B l
3.图形语言：
平面基本性质
平面基本性质
公理3：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。
2.符号语言: A
, B ,C
A, B,C不共线
唯一
A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
3.图形语言：
A
B C
P23练习:(1)为什么自行车后轮只安装一支脚?
(2)用符号表示" A在直线l, l在平面外",正确的是( ) A.A l, l B.A l, l C.A l, l D.A l,l (3)若A , B , A l, B l,那么直线l与平面有
___ 个公共点. (4)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面.
2 平面与平面 若有公共点,就不止一个.
3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有
一个平面. 已知：点A a.
A B aC
求证：过点A和直线a可以确定一个平面.
平面图形与立体图形比较
平面图形
立体图形
直线是向两方无限延伸 直线用线段加想象表示
平面是向四周无限延伸， 无比平整的
平面用封闭平面图形加以想 象表示
平面几何研究平面图形
立体几何研究空间图形
最简单、最基本的图形是： 最简单、最基本的图形是：
点、直线
点、直线、平面
点、线、面的表示
•字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D……
证明：存在性.
因为A a，在a上任取两点B，C.
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）
因为B∈，C∈，所以a .（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a 上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C。 根据公理3，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个。
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，
故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
证法二：
B
因为A 直线BC上，
A
C
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈. 故AB ，同理AC ，
所以AB，AC，BC共面.
(2)B1_ , D_ A
(3) A1B1
O
C
B
(4) BB1
D1
(5)A1B1 __, A1B1 _ A1
O1
（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD= oo1
B1
C1
练习
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A, B
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
证法三：
B
A
C
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1）
同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
两个百度文库交平面的画法：
三种语言转换
图形语言
Q A
P
B
D A1
A
M
C B
A1 D
A
B
A
C
B
A
BC
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内
直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内
直线AB与直线BC交于点B
l A
直线l和平面α交于A
平面α和平面β交于直线l
l
符号语言
P AB Q AB
M 平面AC A1 平面AC
AB 平面AC AA1 平面AC
AB BC=B
l A
l
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B , B1C ，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1)A1_, A_ D
P 例2 23
.
在长方体A
C1中,
P为棱BB1的中点,画出
由A1,C1,P三点所确定的平面与长方体
表面的交线.
D1
C1
A1
B1
D
C
P
A
B
D1
C1
A1
B1
D
C
P
A
B
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面）
直线（点的集合）：小写英文字母l, m, n
平面（点的集合）：用希腊字母, , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
• 点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号
元素与集合关系：,
集合与集合关系：, ;
平面的特征： (1) 平展性 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度 平面的画法： 通常用平行四边形来表示平面。
公理2：
1.文字语言：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其它公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线。
2.符号语言:
P,P 3.图形语言：
l且P l
Pl
公理3
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面的基本性质
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
b
α
P22例1.已知 : A, B,C l,D l 求证:直线AD,BD,CD共面
A
l
B
D C
证明: D l. l与D确定平面.
又 A, B,C l, l A, B,C .
A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D ]
2．下列推断中，错误的是[ C ]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解
例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B
A
C
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A
B
(2)l ,m
(3) l
A
(4)Pl, P,Ql,Q
P
l
Q
平面基本性质
公理1：
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。
2.符号语言:Al, B l, A, B l
3.图形语言：
平面基本性质
平面基本性质
公理3：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。
2.符号语言: A
, B ,C
A, B,C不共线
唯一
A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
3.图形语言：
A
B C
P23练习:(1)为什么自行车后轮只安装一支脚?
(2)用符号表示" A在直线l, l在平面外",正确的是( ) A.A l, l B.A l, l C.A l, l D.A l,l (3)若A , B , A l, B l,那么直线l与平面有
___ 个公共点. (4)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面.
2 平面与平面 若有公共点,就不止一个.
3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有
一个平面. 已知：点A a.
A B aC
求证：过点A和直线a可以确定一个平面.
平面图形与立体图形比较
平面图形
立体图形
直线是向两方无限延伸 直线用线段加想象表示
平面是向四周无限延伸， 无比平整的
平面用封闭平面图形加以想 象表示
平面几何研究平面图形
立体几何研究空间图形
最简单、最基本的图形是： 最简单、最基本的图形是：
点、直线
点、直线、平面
点、线、面的表示
•字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D……
证明：存在性.
因为A a，在a上任取两点B，C.
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）
因为B∈，C∈，所以a .（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a 上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C。 根据公理3，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个。
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，
故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
证法二：
B
因为A 直线BC上，
A
C
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈. 故AB ，同理AC ，
所以AB，AC，BC共面.
(2)B1_ , D_ A
(3) A1B1
O
C
B
(4) BB1
D1
(5)A1B1 __, A1B1 _ A1
O1
（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD= oo1
B1
C1
练习
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A, B
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
证法三：
B
A
C
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1）
同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
两个百度文库交平面的画法：
三种语言转换
图形语言
Q A
P
B
D A1
A
M
C B
A1 D
A
B
A
C
B
A
BC
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内
直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内
直线AB与直线BC交于点B
l A
直线l和平面α交于A
平面α和平面β交于直线l
l
符号语言
P AB Q AB
M 平面AC A1 平面AC
AB 平面AC AA1 平面AC
AB BC=B
l A
l
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B , B1C ，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1)A1_, A_ D