点线面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
点线面间的位置关系知识点总结(含题)(
点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。
时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是基本的几何元素。
它们之间的位置关系是我们研究几何学的基础。
本文将详细探讨点线面之间的位置关系，并从几何学的角度解释这些关系。
一、点与线的位置关系在平面几何中，点是最简单的几何元素。
它没有长度、面积和方向。
而线则是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
点与线之间有以下几种位置关系：1. 点在线上：当一个点正好在一条线上时，我们说这个点在这条线上。
这意味着点与线上的所有点重合。
2. 点在线的两侧：如果一个点不在一条线上，并且离线的两侧距离都不为零，则我们说这个点在这条线的两侧。
3. 点在线的延长线上：如果一个点不在一条线上，并且它在这条线的延长线上，则我们说这个点在线的延长线上。
延长线是指将线无限延长的线段。
二、点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面之间也有几种不同的位置关系：1. 点在面上：当一个点正好在一个平面上时，我们说这个点在这个平面上。
这意味着点与面上的所有点重合。
2. 点在面的上方或下方：如果一个点不在一个平面上，并且它在这个平面的上方或下方，则我们说这个点在这个平面的上方或下方。
3. 点在面的边界上：如果一个点在一个平面的边界上，则我们说这个点在这个平面的边界上。
三、线与面的位置关系线与面之间的位置关系也是几何学中重要的内容，它们之间有以下几种位置关系：1. 线在面上：当一条线正好在一个平面上时，我们说这条线在这个平面上。
这意味着线上的所有点都在这个平面上。
2. 线与面相交：如果一条线与平面有一个或多个公共点，则我们说这条线与这个平面相交。
3. 线平行于面：如果一条线与平面上的所有点都不相交，则我们说这条线平行于这个平面。
4. 线垂直于面：如果一条线与平面的交点为一点，并且与平面上的所有其他点都垂直，则我们说这条线垂直于这个平面。
综上所述，点线面之间的位置关系是几何学的重要内容，它们的不同位置关系可以通过几何学的方法进行判断和描述。
通过研究这些位置关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并应用于实际生活和工作中。
点、线、面之间的位置关系
结束
同一条直线
面内
平行 相交
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
点、线、面之间的位置关系
结束
[小题体验]
1．已知 a，b 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面， 给出下列命题： ①若 α∥β，a⊂α，则 a∥β； ②若 a，b 与 α 所成的角相等，则 a∥b； ③若 α⊥β，β⊥γ，则 α∥γ； ④若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. 其中正确命题的序号是________．
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点、线、面之间的位置关系
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[小题纠偏]
1．(2017· 南京名校联考)已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l， a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则 直线 b 和 c 的位置关系是________．
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点、线、面之间的位置关系
结束
解析：由 α∥β，a⊂α，结合面面平行的定义可得 a∥β，所 以①正确；由 a，b 与 α 所成角相等，可得 a 与 b 平行或相 交或异面，所以②不正确；由 α⊥β，β⊥γ，得 α 与 γ 平行 或相交，所以③不正确；由垂直于同一条直线的两个平面 平行，知④正确． 答案：①④
结束
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：因为 EF∥CD1，EF<CD1， 所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， 所以 P∈直线 DA. 所以 CE，D1F，DA 三线共点．
点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系点线面之间的位置关系(一)平面：1、平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 考点一、点线面的位置关系表示点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A ∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ?a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ）A ∈α点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ?α例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A ∈α,B ?α,A ∈l,B ∈l;(2)a ?α,b ?β,a ∥c,b∩c=P,α∩β=c.例6．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（）()A ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =?∈∈βαβα ,直线()C αα??∈?A l A l , ()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α?与β重合考点2.直线与直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．a b a b ab βααα推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα?∈AB 与a 是异面直线例1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 .例2.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a,则c 与b 的位置关系. ①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线例3.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则说法错误的有（填序号）. ①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面例4. 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.例5.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形.例4 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？例5.如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC ′与A′B′所成的角的度数； (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.例6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小．变式训练1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也异面其中真命题个数为（）()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 02．在正方体-ABCD ''''D C B A 中，M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点，P 为上底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（）()A 300 ()B 450 ()C 600 ()D3．已知直线a ，如果直线b 同时满足条件：①a 、b 异面②a 、b 所成的角为定值③a 、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（）()A 1条 ()B 2条 ()C 4条 ()D 无数条4.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 .考点三.直线与平面的位置关系(二)三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈?α?l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
点线面的位置关系
点线面的位置关系点、线、面是几何学中的基本概念，它们之间存在着重要的位置关系。
通过研究它们的位置关系，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
本文将详细探讨点、线、面的位置关系，并对其应用进行讨论。
一、点、线、面的定义1. 点：几何学中最基本的元素，没有大小和形状，只有位置。
可以用坐标表示，例如(x, y)。
2. 线：由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。
可以用两个点的坐标表示，例如(1, 2)和(3, 4)之间的线段。
3. 面：由无数个线按照一定规律连接而成，具有长度和宽度。
可以用多边形的边界来表示，例如三角形、矩形等。
二、点、线、面的位置关系1. 点与线的位置关系：a. 在线上：如果一个点恰好在一条线上，则称该点在线上。
b. 在线内：如果一个点在一条线的两个端点之间，则称该点在线内。
c. 在线外：如果一个点既不在线上，也不在线内，则称该点在线外。
2. 点与面的位置关系：a. 在面上：如果一个点恰好在一个面上，则称该点在面上。
b. 在面内：如果一个点在一个面的边界之内，则称该点在面内。
c. 在面外：如果一个点既不在面上，也不在面内，则称该点在面外。
3. 线与线的位置关系：a. 相交：如果两条线有公共的一个或多个点，则称这两条线相交。
b. 平行：如果两条线的方向相同，但没有公共的点，则称这两条线平行。
c. 重合：如果两条线有无数个公共的点，则称这两条线重合。
4. 线与面的位置关系：a. 相交：如果一条线与一个面有公共的一个或多个点，则称这条线与该面相交。
b. 平行：如果一条线的方向与一个面平行，且线上没有与该面有公共的点，则称这条线与该面平行。
c. 重合：如果一条线与一个面重合，即线上的所有点都在该面上，则称这条线与该面重合。
5. 面与面的位置关系：a. 相交：如果两个面有公共的一条或多条线段，则称这两个面相交。
b. 平行：如果两个面的法向量平行，则称这两个面平行。
c. 重合：如果两个面有无数个公共的点，则称这两个面重合。
点、线、面的位置关系
点、线、面的基本位置关系如下表所示：公理1：文字语言：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．图形语言：公理2：文字语言：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 符号语言：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭图形语言：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上说明：①公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．②指出:今后所说的两个平面(或两条直线，如无特殊说明，均指不同的平面(直线). 公理3：文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合图形语言：应用：①确定平面；②证明两个平面重合说明：①“有且只有一个”的含义分两部分理解：“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．②在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.图形符号语言文字语言（读法）AaA a ∈ 点A 在直线α上 AaA a ∉点A 不在直线a 上BA αAαA α∈ 点A 在平面α内AαA α∉点A 不在平面α内b a Aa b A = 直线a 、b 交于A 点aαa α⊂ 直线a 在平面α内aαa α=∅ 直线a 与平面α无公共点a Aαa A α= 直线a 与平面α交于点Al αβ=平面α、β相交于直线l【典型例题分析】例1、将下列符号语言转化为图形语言：()1,,,;A B A l B l αβ∈∈∈∈()2,,//,,.a b a c b c p c αβαβ⊂⊂==例2、将下列文字语言转化为符号语言： ⑴ 点A 在平面α内，但不在平面β内； ⑵ 直线a 经过平面α外一点M ；⑶ 直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l ）例3、求证:三角形是平面图形. 已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例4、点A ∉平面BC D ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若E H 与F G 交于P . 求证：P 在直线BD 上.1、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内； （3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ； （4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M .2、 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1A A 与1C C 是否在同一平面内？ ②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1AC D 与平面1BD C 的交线.GH A BC D EPFA 1D 1C 1CD AB B 13、已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.c'badc αC B A4、求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点. 求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面. 已知：直线P b a = .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b有且只有一个平面【小结】认清点、线、面的位置关系，注意各种关系的定义【课堂练习】1．在空间中，下列命题不正确的是（）错误！未找到引用源。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
位置原理知识点总结
位置原理知识点总结位置原理是指几何图形的位置关系，在几何学中，位置原理是一个重要的概念，它涉及到图形之间的相对位置，以及用来描述这些位置关系的概念和术语。
在几何图形的位置原理中，我们包括了线、点、面等对象的位置关系，以及相交、平行、垂直、相等等概念。
了解和掌握位置原理，有助于我们更好地理解几何图形之间的关系，从而更好地进行几何学的研究和应用。
一、点、线、面的位置关系1.点的位置关系在几何学中，点是最基本的几何对象，它是零维的。
当我们讨论点的位置关系时，主要涉及到点的相对位置和点的在图形上的位置。
在平面几何中，我们通常用坐标系来描述点的位置，两个点之间的距离可以通过距离公式来计算，而点到直线或者点到点之间的位置关系可以通过垂直、平行等概念来描述。
2.线的位置关系直线是一种零维图形，它包括无穷多个点，线的位置关系描述了两条直线之间的相对位置。
在平面几何中，我们通常用直线的斜率、截距等概念来描述直线的位置关系，两条直线是否平行、相交等问题都可以通过这些概念来描述和解决。
3.面的位置关系面是由无数个点和线构成的，它是二维的。
在几何图形的位置原理中，我们需要了解和掌握平面图形之间的位置关系，比如平行四边形的特性、三角形的相似性等概念，在描述图形的位置关系时，我们需要掌握这些概念和方法，从而更准确地描述和分析图形之间的位置关系。
二、图形的位置关系在几何图形的位置原理中，我们需要了解和掌握不同图形之间的位置关系，这包括了点、线、面等图形之间的位置关系，以及描述这些位置关系的方法和概念。
1.点与直线的位置关系在几何学中，我们通常用坐标系来描述点和直线的位置关系，而点到直线的距离可以通过距离公式来计算，我们也可以通过垂直、平行等概念来描述这种位置关系，了解点和直线之间的位置关系，有助于我们更好地理解几何图形在平面上的位置关系。
2.直线与直线的位置关系两条直线之间的位置关系通常可以通过斜率和截距来描述，我们可以通过斜率的大小和符号来判断两条直线的相对位置，以及通过截距的大小和符号来判断两条直线之间的位置关系，了解直线之间的位置关系，有助于我们更好地理解几何图形在平面上的位置关系。
立体几何 点线面位置关系+线面位置关系 定理+图
点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2n 2m 1n 1
m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们之间存在着丰富而复杂的位置关系。
在本文中，我们将探讨点、线和面之间的位置关系，以帮助读者更好地理解几何学的基础知识。
一、点和点的位置关系在二维平面上，点是最基本的几何元素。
两个点之间的位置关系可以分为以下几种情况：1. 重合：当两个点的坐标完全相同时，它们被认为是重合的。
例如，点A(2,3)和点B(2,3)是重合的。
2. 相离：当两个点的坐标完全不同时，它们被认为是相离的。
例如，点C(1,1)和点D(4,5)是相离的。
3. 共线：当两个点在同一条直线上时，它们被认为是共线的。
例如，点E(2,2)、F(4,4)和G(6,6)是共线的。
二、点和线的位置关系点和线之间的位置关系相对复杂一些。
下面我们讨论几种常见的情况：1. 在线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们称该点在线上。
例如，点H(2,2)在直线y=x上。
2. 在直线的延长线上：当一个点位于一条直线的延长线上时，我们称该点在直线的延长线上。
例如，点I(5,5)在直线y=x的延长线上。
3. 在线段上：当一个点位于一条线段的两个端点之间时，我们称该点在线段上。
例如，点J(2,2)在线段AB上，其中A(1,1)和B(3,3)。
3. 在直线的一侧：当一个点不在直线上，但位于直线的一侧时，我们称该点在直线的一侧。
例如，点K(2,3)在直线y=2x的上方。
4. 在直线的另一侧：当一个点不在直线上，但位于直线的另一侧时，我们称该点在直线的另一侧。
例如，点L(2,1)在直线y=2x的下方。
三、点和平面的位置关系点和平面之间的位置关系也有多种情况：1. 在平面上：当一个点位于一个平面上时，我们称该点在平面上。
例如，点M(2,3,4)在平面xyz=1上。
2. 在平面的延长线上：当一个点位于一个平面的延长线上时，我们称该点在平面的延长线上。
例如，点N(2,3,0)在平面xyz=1的延长线上。
3. 在平面内部：当一个点在一个平面内部时，我们称该点在平面的内部。
根据点线面之间的相对位置关系的知识点总结
根据点线面之间的相对位置关系的知识点
总结
在几何学中，点、线和面是最基本的几何概念。
它们之间的相对位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
以下是根据点线面之间的相对位置关系的一些重要知识点的总结：
1. 点和线的关系：
- 直线上的每个点都在同一条直线上；
- 直线外的点不存在于同一条直线上。
2. 点和平面的关系：
- 平面可以由无数个点组成；
- 平面上的每个点都在同一平面上；
- 平面外的点不存在于同一平面上。
3. 线和平面的关系：
- 一条直线在平面上可以有三种不同的相交情况：
- 直线和平面相交于一个点；
- 直线和平面平行，不相交；
- 直线包含在平面内。
4. 线和线的关系：
- 直线和直线可能相交于一个点，此时它们称为交线；
- 直线和直线可能平行，不相交。
5. 面和面的关系：
- 两个平面可以平行，不相交；
- 两个平面可以相交于一条直线；
- 两个平面可以相交于一点。
6. 直线、平面和点的关系：
- 一条直线可能与一个点相交；
- 一条直线可能与一个平面相交；
- 一个平面可能与一个点相交。
以上是根据点线面之间的相对位置关系的一些重要知识点的总结。
通过理解和掌握这些知识点，你将能够更好地解决几何问题和分析几何结构。
点线面之间的位置关系——垂直关系-简单-讲义
点、线、面之间的位置关系——垂直关系知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点0，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足.2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图.直线l与平面a互相垂直，记作l ±a .2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.符号语言表述：l ±a,l ±b,a,b u a,a p|b = A n l ±a图像语言表述：l la3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.符号语言表述：a±a,b±a n a//b图像语言表述:4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线（2 ）推论1 ：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面;（3）推论2 ：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行;（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（a± b, a± c, b u a, c u a, b^c = M n a±a ）（3）平行线垂直平面的传递性（a g, b l a n a l a）（4）面面垂直的性质（a l。
, a Qp = l, a u p , a 11 n a l a）（5）面面平行的性质（a l a, a Q p n a 1p）（6）面面垂直的性质（a n P=l,a l y , p l y n l l y）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：m l a, m u p n a l p图像语言表述：3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：a l p, aqp=l,m G P,m 11 n m l a图像语言表述:4.面面垂直的性质(1)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面(2)两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内5.证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a l p, a u a n a l p )三、垂直模型总结1.勾股定理a2 + b2 = C2 n AC 1 CB2.等腰三角形三线合一AB = AC, D为BC重点n AD ± BC3,直径所对的圆周角为直角BD = CD = AD n BA ± AC4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD中n BD ± AC5.正方形、矩形临边垂直AB 1 BC, BC 1 CD6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD中，E, F为CD, BC的中点n AE1DF7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中n AD ± 面ABC, AD 1 AB, AD 1BC, AD 1 AC典型例题一，选择题（共10小题）1 （2018•云南模拟）在正方体ABCD - A1B1c1D1中"点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A- AD J DPB- AP±B1C C. AC J DP D• A i P,B i C2 . （2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P - ABCD中，4PAB与^PBC是正三角形，平面PAB，平面PBC, AC X BD，则下列结论不一定成立的是（）AA . PB±ACB . PD，平面ABCDC . AC±PD D .平面PBD，平面ABCDA . AE±CEB . BE±DEC . DE±CED .面ADE±® BCE4 （2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD〃BC ,AD=AB ,N BCD=45°,N BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD,面BCD，连结AC ,则下列命题正确的是（）A .面ABD±® ABCB .面ADC±® BDC C .面ABC±® BDCD .面ADC±® ABC 5 . （2017春•昆都仑区校级期中）如图，A ABC是直角三角形，N ABC=90°, PA ，平面ABC ,此图中直角三角形的个数为（）BA . 1B . 2C . 3D . 46.( 2017•青州市模拟)如图，在三棱锥A - BCD中，AB,平面BCD , N ACB=45°, N ADB=30°, N BCD=120°, CD=40 视AB=( )A . 10B . 20C . 30D . 407（2017秋•赣州期中）设a邛为不重合的平面，m , n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A .若m u a, n u 0, m〃n,则U a〃B B .若n±a , n±P , m，B,则U m±aC .若m〃a,n〃B,m，n,UU a±0D .若a±0 ,n，0,m，n,UU m±a8. （2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A - BCD中，若AD±BC , BD1AD , △BCD是锐角三角形，那么必有（）A .平面八8口，平面ADCB .平面八8口，平面ABCC .平面ADC,平面BCDD .平面ABC,平面BCD9. （2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B.一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面10（2015秋•东昌区校级期中）过^ABC所在平面a外一点P ,作PO，a ,垂足为O，若PA±PB，PB±PC，PC L PA，则点O 是 ^ABC 的（）A .垂心B .重心C .内心D .外心二，填空题（共4小题）11.过平面外两点，可作个平面与已知平面平行.12. （2015春•上海校级期末）点P为^ABC所在平面外一点，PO,平面ABC , 垂足为。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面的位置关系是向量法在几何学中的应用之一。
向量是具有方向、大小和起点的量，可以用来描述空间中的几何对象。
在考虑点、线、面的位置关系时，向量可以提供方便的分析工具。
首先，我们来分别介绍点、线、面的定义和表示方法。
点是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点可以用坐标表示，例如在直角坐标系中，点P的坐标可以用元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示点P在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
线是由无数点构成的一维图形，可以用起点和终点或参数方程表示。
例如，直线AB可以表示为矢量形式AB=rB - rA，其中rA和rB分别是线段的起点和终点的位置矢量。
面是由无数点构成的二维图形，可以由三个或更多个点确定。
平面ABC可以用参数方程表示为rA + s(rB - rA) + t(rC - rA)，其中rA、rB和rC分别是平面上的三个点的位置矢量，s和t为参数。
点、线、面的位置关系可以通过向量的点积、叉积以及向量的几何解释来研究。
1. 点与直线的位置关系：- 点P是否在直线AB上可以通过向量PA与向量AB的点积判断，若PA·AB=0，则点P在直线上。
- 点P到直线AB的距离可以通过求向量PA与向量AB的叉积的模长除以向量AB的模长得到，即d=|(PA×AB)/|AB||。
- 点P在直线AB上的投影可以通过直线AB上一点C的位置矢量rC与向量AB的叉积得到，即P=rC+(PA×AB)/|AB|^2·AB。
2. 点与平面的位置关系：- 点在平面上的条件是点P到平面上的任意一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积为零，即PQ·n=0。
- 点到平面的距离可以通过求点P到平面上一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积除以向量n的模长得到，即d=|(PQ·n)/|n||。
3. 线与平面的位置关系：- 直线与平面是否相交可以通过直线上一点A的位置矢量rA与平面的法向量n的点积判断，若rA·n=0，则直线与平面平行或在平面上。
空间点线面位置关系整理(ppt)
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
第2讲、点线面位置关系
第2讲 立体几何之点线面之间的位置关系一、知识点： （一）三种关系：1、线线关系：相交（特殊垂直）、平行、异面（既不平行也不相交） ①异面直线夹角]90,0(︒︒∈θ（平移构造)；2、线面关系：线在面内、线面平行、线面相交（特殊垂直）；3、面面关系：面面平行、面面相交（特殊垂直）； （二）重要关系——平行、垂直(I )、线面平行：判定：线和面内直线平行，则线面平行； 性质：线面平行，则线平行于面面交线；(II )、面面平行：判定：α内两交线分别与β平行，则α∥β；性质1：γ穿过平行平面α、β，则交线平行；性质2：面面平行，则面内直线平行于另一面；（III ）、线面垂直: 判定：线和面内两相交直线垂直，则线面垂直； 性质：垂直于同一面的直线平行； （IV ）、面面垂直：判定：α经过β的垂线，则α⊥β；性质：α⊥β，则α内垂直于交线的线垂直于β； （三）、高频考点+做题技巧： 1、证明线线平行：中位线法【有中点、中位线】；平行四边形法【证//AB CD ，只需证//AC BD 】；传递性； 角度法【内错角、同位角、同旁内角】；面面平行性质【γ穿过平行平面α、β，则交线平行】 2、判断线面关系——辅助正（长）方体； 二、典型题目1、 平面l =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且l C ∈，又R l AB =⋂，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ） A ．直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为6、下列命题正确的是（ ）A 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．相交B ．α//bC ．α⊂bD ．α//b 或α⊂b8、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定 9、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面 10、b a ,是异面直线，则过a 且与b 平行的平面有____个11.对于平面α和直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α;②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β12.若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ13．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°14设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④15、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ）A ． 90B ． 60C ． 45D ．3016．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11AC 的中点，则直线CE 垂直于（ ） A ．AC B ． BD C ．1A D D ．11A D17．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ．090 B ．060 C ．045 D ．03018、到空间不共面四点距离相等的平面的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 719.空间四边形ABCD 中，线段AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、R 、S ，则在下面的命题中： （1）P 、Q 、R 、S 四点共面；（2）PR 与QS 不相交； （3）当AC=BD 时，四边形PQRS 是菱形；（4）当AC ⊥BD 时，四边形PQRS 是矩形． 正确命题的个数为（ ）A. 1 B ． 2 C ． 4 D ． 720、已知a ，b 是两条异面直线，直线c ∥a ，那么c 与b 的位置关系是 21、空间三条直线a 、b 、c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 的位置关系是22、过已知直线外一点可作 条直线与已知直线平行；可以作 条直线与已知直线垂直23、如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心，求证：//GH BD ．24、如图，在三棱锥P-ABC 中，点Ο、D 分别是AC 、PC 的中点，求证： OD//平面PAB 。
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2 平面与平面 若有公共点,就不止一个.
3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有
一个平面. 已知：点A a.
A B aC
求证：过点A和直线a可以确定一个平面.
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
证法三：
B
A
C
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1）
同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
平面的基本性质
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
b
α
P22例1.已知 : A, B,C l,D l 求证:直线AD,BD,CD共面
A
l
B
D C
证明: D l. l与D确定平面.
又 A, B,C l, l A, B,C .
平面图形与立体图形比较
平面图形
立体图形
直线是向两方无限延伸 直线用线段加想象表示
平面是向四周无限延伸， 无比平整的
平面用封闭平面图形加以想 象表示
平面几何研究平面图形
立体几何研究空间图形
最简单、最基本的图形是： 最简单、最基本的图形是：
点、直线
点、直线、平面
点、线、面的表示
•字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D……
直线（点的集合）：小写英文字母l, m, n
平面（点的集合）：用希腊字母, , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
• 点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号
元素与集合关系：,
集合与集合关系：, ;
平面的特征： (1) 平展性 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度 平面的画法： 通常用平行四边形来表示平面。
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，
故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
证法二：
B
因为A 直线BC上，
A
C
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈. 故AB ，同理AC ，
所以AB，AC，BC共面.
(2)B1_ , D_ A
(3) A1B1
O
C
B
(4) BB1
D1
(5)A1B1 __, A1B1 _ A1
O1
（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD= oo1
B1
C1
练习
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A, B
l
符号语言
P AB Q AB
M 平面AC A1 平面AC
AB 平面AC AA1 平面AC
AB BC=B
l A
l
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B , B1C ，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1)A1_, A_ D
公理2：
1.文字语言：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其它公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线。
2.符号语言:
P,P 3.图形语言：
l且P l
Pl
公理3
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
公理3：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。
2.符号语言: A
, B ,C
A, B,C不共线
唯一
A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
3.图形语言：
A
B C
P23练习:(1)为什么自行车后轮只安装一支脚?
(2)用符号表示" A在直线l, l在平面外",正确的是( ) A.A l, l B.A l, l C.A l, l D.A l,l (3)若A , B , A l, B l,那么直线l与平面有
A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D ]
2．下列推断中，错误的是[ C ]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解
例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B
A
C
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A
两个相交平面的画法：
三种语言转换
图形语言
Q A
P
B
D A1
A
M
C B
A1 D
A
B
A
C
B
A
BC
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内
直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内
直线AB与直线BC交于点B
l A
直线l和平面α交于A
平面α和平面β交于直线l
B
(2)l ,m
(3) l
A
(4)Pl, P,Ql,Q
P
l
Q
平面基本性质
公理1：
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。
2.符号语言:Al, B l, A, B l
3.图形语言：
平面基本性质
证明：存在性.
因为A a，在a上任取两点B，C.
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）
因为B∈，C∈，所以a .（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a 上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C。 根据公理3，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个。
D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面
P 例2 23
.
在长方体A
C1中,
P为棱BB1的中点,画出
由A1,C1,P三点所确定的平面与长方体
表面的交线.
D1
C1
A1
B1
D
C
P
A
B
D1
C1
A1
B1
D
C
P
AA、B表示点， a表示直线，α、β表示平面）