2018版高考数学(理)一轮复习文档：第九章解析几何9.7含解析

1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程y2＝2px
（p>0)
y2＝－
2px(p>0)
x2＝2py
（p〉0)
x2＝－2py
（p>0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点O(0，0)
对称轴y＝0x＝0
焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝1
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px（p〉0）上一点P(x0，y0)到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!。

3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0）焦点F的弦,
若A(x1，y1），B（x2，y2)，则
（1)x1x2＝错误!，y1y2＝－p2.
（2)弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝错误!(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×）
（2）方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(错误!，0)，准线方程是x＝－错误!.( ×）
（3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( ×）
（4)AB为抛物线y2＝2px(p〉0)的过焦点F（错误!，0）的弦,若A（x1,y1），
B(x2，y2)，则x1x2＝p2
4
，y1y2＝－p2，弦长｜AB|＝x1＋x2＋p。

（√)
1．（2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( ）
A．(0，2）B．(0，1）
C．(2，0) D．（1,0）
答案D
解析∵对于抛物线y2＝ax,其焦点坐标为错误!,
∴对于y2＝4x，焦点坐标为（1，0）．
2．（2016·甘肃张掖一诊）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1）,Q(x2,y2)两点,如果x1＋x2＝6,则｜PQ|等于（) A．9 B．8 C．7 D．6
答案B
解析抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1。

根据题意可得，｜PQ｜＝|PF|＋|QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8。

3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.错误!B．［－2，2］
C．［－1，1] D．[－4，4］
答案C
解析Q(－2,0），设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴,并且经过点P（－2，－4）,则该抛物线的标准方程为________________．
答案y2＝－8x或x2＝－y
解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0）．将P（－2，－4）代入,分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y。

5．(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0）的准线与圆x2＋y2－
6x－7＝0相切，则p的值为________．
答案2
解析抛物线y2＝2px（p>0）的准线为x＝－错误!,
圆x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3）2＋y2＝16，
则圆心为（3，0），半径为4。

又因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋错误!＝4，
解得p＝2。

题型一抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3，2)，则｜PB|＋｜PF|的最小值为________．
答案4
解析如图，
过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则｜P1Q|＝｜P1F｜。

则有｜PB｜＋|PF｜≥｜P1B|＋|P1Q｜＝
|BQ|＝4。

即|PB｜＋｜PF|的最小值为4.
引申探究
1．若将本例中的B点坐标改为（3，4），试求｜PB|＋｜PF|的最小值．
解由题意可知点(3，4）在抛物线的外部．
∵|PB｜＋｜PF｜的最小值即为B，F两点间的距离，
∴｜PB｜＋|PF|≥｜BF｜＝错误!
＝错误!＝2错误!，
即｜PB｜＋｜PF|的最小值为2错误!。

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解由题意知，抛物线的焦点为F(1，0）．
点P到y轴的距离d1＝|PF｜－1,
所以d1＋d2＝d2＋｜PF|－1。

易知d2＋｜PF｜的最小值为点F到直线l的距离,故d2＋|PF｜的最小值为错误!＝3错误!，
所以d1＋d2的最小值为32－1.
思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线"，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案错误!
解析如图，
易知抛物线的焦点为F（1,0),准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是,问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A（－1，1）的距离与点P到F（1,0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为错误!＝错误!.
题型二抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C1：错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)的离心率为2.若抛
物线C 2：x 2＝2py (p 〉0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ） A ．x 2＝错误!y B ．x 2＝错误!y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y
答案 D
解析 ∵x 2
a
2－错误!＝1的离心率为2，
∴错误!＝2,即错误!＝错误!＝4，∴错误!＝3，错误!＝错误!。

x 2＝2py （p >0)的焦点坐标为错误!，错误!－错误!＝1的渐近线方程为y ＝
±错误!x ，即y ＝±错误!x .由题意得错误!＝2，∴p ＝8。

故C 2的方程为x 2＝16y .
命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）是过F 的直线与抛物线的两个交点,求证： （1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝错误!； (2）错误!＋错误!为定值；
(3）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1）由已知得抛物线焦点坐标为(错误!，0）． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋错误!，代入y 2＝2px ，
得y2＝2p错误!，即y2－2pmy－p2＝0.（*）
则y1,y2是方程(＊)的两个实数根,所以y1y2＝－p2.
因为y错误!＝2px1,y错误!＝2px2，所以y错误!y错误!＝4p2x1x2，
所以x1x2＝错误!＝错误!＝错误!.
(2)错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!.
因为x1x2＝错误!,x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得错误!＋错误!＝错误!＝错误!(定值)．
(3) 设AB的中点为M（x0,y0），分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则｜MN｜＝错误!(|AC｜＋｜BD｜）＝错误!（|AF|＋|BF｜)＝错误!|AB|。

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线
的问题更是如此．
(1)（2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D，E两点．已知｜AB|＝42，｜DE｜＝25，则C的焦点到准线的距离为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
(2）（2016·昆明三中、玉溪一中统考）抛物线y2＝2px(p>0）的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB＝120°。

过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则错误!的最大值为（）
A。

错误!B．1 C.错误!D．2
答案(1)B （2）A
解析(1)不妨设抛物线C：y2＝2px（p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r〉0）,如图，
又可设A(x0,2错误!)，
D错误!,
点A(x0，2错误!)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A（x0，2错误!）在圆x2＋y2＝r2上，∴x错误!＋8＝r2，②
点D错误!在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋错误!2＝r2，③
联立①②③,解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B. (2）设｜AF｜＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，
由抛物线的定义知，|AF｜＝｜AQ|，|BF|＝|BP｜，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋｜BP|＝a＋b.
|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b）2－ab。

又ab≤(错误!)2,
所以（a＋b）2－ab≥(a＋b）2－错误!（a＋b）2＝错误!(a＋b)2,
得到｜AB｜≥错误!（a＋b），
所以错误!≤错误!＝错误!，
即|MN｜
｜AB｜的最大值为错误!。

题型三直线与抛物线的综合问题
命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M（－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若错误!·错误!＝0,则k＝________.
答案2
解析抛物线C的焦点为F（2，0），则直线方程为y＝k（x－2）,与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0.设点A （x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋8
k2,x1x2＝4。

所以y1＋y2＝k(x1＋x2）－4k＝错误!,
y1y2＝k2［x1x2－2（x1＋x2）＋4］＝－16.
因为错误!·错误!＝(x1＋2，y1－2）·（x2＋2，y2－2）＝(x1＋2）(x2＋2)＋（y1－2）(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2（y1＋y2）＋8＝0,
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明：AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．(1)证明由题意知，F错误!，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A错误!，B错误!，P错误!，Q错误!，
R 错误!。

记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －（a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.
记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＝－b ＝错误!＝k 2.
所以AR ∥FQ .
（2)解 设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1，0),
则S △ABF ＝错误!|b －a ｜｜FD ｜＝错误!｜b －a ｜错误!，
S △PQF ＝｜a －b |2。

由题意可得｜b －a ｜错误!＝错误!，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去）．
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．
当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得错误!＝错误!(x ≠1)．而错误!＝y ,所以y 2＝x －1(x ≠1）．
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为（1，0）, 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1）．
思维升华 (1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦
点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
（2017·北京东城区质检）已知抛物线C：y2＝2px（p〉0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且｜QF｜＝错误!|PQ|。

（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
解（1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝错误!.
所以|PQ｜＝错误!,｜QF｜＝错误!＋x0＝错误!＋错误!。

由题设得错误!＋错误!＝错误!×错误!，
解得p＝－2（舍去)或p＝2。

所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0）．
代入y2＝4x,得y2－4my－4＝0.
设A（x1，y1），B(x2,y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝错误!｜y1－y2｜＝4(m2＋1）．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－错误!y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x,并整理得y2＋错误!y－4（2m2＋3）＝0。

设M(x3，y3)，N(x4，y4）,
则y3＋y4＝－错误!，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E（2
m2＋2m2＋3，－错误!)，
｜MN|＝错误!|y3－y4|＝错误!，
由于MN垂直平分AB,故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝错误!｜MN|，
从而错误!｜AB|2＋｜DE｜2＝错误!｜MN|2，
即4（m2＋1)2＋(2m＋错误!）2＋(错误!＋2）2
＝错误!，
化简得m2－1＝0,解得m＝1或m＝－1。

所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0。

7．直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例(12分)已知抛物线C:y＝mx2(m〉0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
（1）求抛物线C的焦点坐标；
(2）若抛物线C上有一点R(x R，2）到焦点F的距离为3,求此时m的值；
（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由．
思维点拨(3）中证明错误!·错误!＝0。

解(1）∵抛物线C:x2＝错误!y，∴它的焦点F（0，错误!）．[2分]（2)∵｜RF｜＝y R＋错误!，∴2＋错误!＝3，得m＝错误!。

[4分]
(3）存在,联立方程错误!
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝（－2）2－4×m×（－2)>0⇒m〉－错误!。

［6分]
设A（x1，mx错误!），B（x2，mx错误!)，则错误!(＊)
∵P是线段AB的中点,∴P（错误!，错误!）,
即P(错误!，y P)，∴Q(错误!,错误!)．[8分］
得错误!＝（x1－错误!,mx错误!－错误!），错误!＝（x2－错误!，mx错误!－错误!）,若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形,则错误!·错误!＝0，
即(x1－错误!）·（x2－错误!)＋（mx错误!－错误!)（mx错误!－错误!）＝0，［10分]
结合(＊)化简得－错误!－错误!＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0,∴m＝2或m＝－错误!，
而2∈(－错误!，＋∞），－错误!∉(－错误!，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．［12分］
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：
第一步：联立方程,得关于x或y的一元二次方程；
第二步:写出根与系数的关系,并求出Δ〉0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果;
第四步：反思回顾,查看有无忽略特殊情况．
学必求其心得，业必贵于专精
1．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上,经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,如果错误!·错误!＝－12，那么抛物线C 的方程为（ )
A ．x 2＝8y
B ．x 2＝4y
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝4x 答案 C
解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p 〉0)，直线方程为x ＝my ＋p 2
， 联立错误!消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，
设A (x 1，y 1），B （x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝－p 2，
得错误!·错误!＝x 1x 2＋y 1y 2＝（my 1＋错误!）（my 2＋错误!）＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋错误!（y 1＋y 2）＋p 24
＋y 1y 2＝－错误!p 2＝－12⇒p ＝4， 即抛物线C 的方程为y 2＝8x .
2．已知抛物线y 2＝2px （p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
答案B
解析∵y2＝2px(p〉0）的焦点坐标为(错误!，0），
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－错误!，
即x＝y＋错误!,将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0。

设A(x1，y1)，B(x2,y2),
则y1＋y2＝2p，∴错误!＝p＝2,
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px（p〉0）的焦点为F，点M在C上，｜MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则抛物线C的方程为( ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案C
解析∵抛物线C:y2＝3px(p>0)的焦点为F(错误!,0),
∴|OF|＝错误!，
∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0，2)，连接AF,AM，可得AF⊥AM,在Rt△AOF中，｜AF｜＝错误!,
∴sin∠OAF＝错误!＝错误!，
根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于点A，
∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt△AMF 中,sin∠AMF ＝错误!＝错误!， ∵|MF |＝5,|AF |＝ 错误!,
∴ 错误!＝错误!，
整理得4＋错误!＝错误!,解得p ＝错误!或p ＝错误!，
∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x 。

4．已知抛物线y 2＝2px (p 〉0）的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2）,则错误!的值一定等于（ )
A ．－4
B ．4
C ．p 2
D ．－p 2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴,
则x 1＝x 2＝p 2
，∴x 1x 2＝错误!； ∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，
∴错误!＝－4.
②若焦点弦AB 不垂直于x 轴,
可设AB 的直线方程为y ＝k (x －错误!），
联立y 2＝2px ,得k 2x 2－（k 2p ＋2p )x ＋错误!＝0，
则x 1x 2＝错误!。

∴y 1y 2＝－p 2.故错误!＝－4.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p〉0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若｜BC|＝2｜BF｜,且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝错误!x
答案C
解析如图，
分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝｜AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC｜＝2｜BF｜,
∴|BC|＝2｜BB1|,∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°,连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则｜KF|＝|A1F1|＝错误!｜AA1｜＝错误!｜AF｜，即p＝错误!，∴抛物线方程为y2＝3x。

故选C。

6．抛物线y2＝4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点，若点A(－1，0）,则错误!的最小值是( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案B
解析抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图,
过P作PN垂直直线x＝－1于N，
由抛物线的定义可知|PF｜＝｜PN|，连接PA，
在Rt△PAN中，sin∠PAN＝错误!，
当|PN|
｜PA|＝错误!最小时，sin∠
PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时,PA为抛物线的切线,设PA的方程为y＝k(x＋1）,联立错误!得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0,
所以Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，
解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°,
|PF｜
NPA＝错误!,故选B。

|PA｜＝错误!＝cos∠
7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB｜＝________。

答案12
解析焦点F的坐标为错误!，
方法一直线AB的斜率为错误!，
所以直线AB的方程为y＝错误!错误!，
即y＝错误!x－错误!，代入y2＝3x，得错误!x2－错误!x＋错误!＝0。

设A(x1，y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝错误!,
所以｜AB|＝x1＋x2＋p＝错误!＋错误!＝12.
方法二由抛物线焦点弦的性质可得
｜AB|＝错误!＝错误!＝12.
8．已知抛物线C：y2＝2px（p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为错误!的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若错误!＝错误!，则p＝________。

答案2
解析如图，
由AB的斜率为错误!，
知∠α＝60°,又错误!＝错误!，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，
∴｜BP|＝错误!|AB|＝|BM｜.
∴M为焦点,即错误!＝1，∴p＝2.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为错误!，E的右焦点与抛物线C:y2＝8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB｜＝________.
答案6
解析抛物线y2＝8x的焦点为（2，0）,
准线方程为x＝－2。

设椭圆方程为x2
a2＋错误!＝1(a>b〉0)，
由题意,c＝2，错误!＝错误!，可得a＝4,b2＝16－4＝12。

故椭圆方程为x2
16
＋错误!＝1.
把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3。

从而｜AB｜＝6.
*10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A,B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2（r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．
答案（2，4）
解析如图,
设A(x1，y1)，B（x2，y2），M(x0,y0），
则错误!
两式相减得,（y1＋y2）(y1－y2)＝4（x1－x2）．
当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条．
当k存在时，x1≠x2，
则有错误!·错误!＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2。

由CM⊥AB,得k·错误!＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0,x0＝3，
即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，则有－2错误!<y0〈2错误!.
因为点M在圆上,所以（x0－5）2＋y错误!＝r2,
故r2＝y20＋4〈12＋4＝16。

又y错误!＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0),
所以4〈r2<16，即2〈r<4。

11．(2016·沈阳模拟）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2错误!的直线交抛物线于A(x1，y1），B(x2，y2）（x1〈x2）两点，且|AB｜＝9.
(1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点,若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．
解(1)直线AB的方程是y＝2错误!（x－错误!)，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0。

所以x1＋x2＝错误!，由抛物线定义得
|AB｜＝x1＋x2＋p＝错误!＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x。

（2）由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2错误!，y2＝4错误!，
从而B(4，42）．设C(x3，y3),
则错误!＝（x3,y3）＝(1,－2错误!）＋λ(4,4错误!）
＝（4λ＋1，4错误!λ－2错误!)．
又y错误!＝8x3，即［2错误!(2λ－1)］2＝8(4λ＋1），
整理得（2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2。

12．设P，Q是抛物线y2＝2px(p〉0）上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且错误!·错误!＝0。

（1)求该抛物线的标准方程;
(2）过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
解(1)设P(x1，y1），Q(x2,y2），
∵错误!·错误!＝0，则x1x2＋y1y2＝0.
又点P,Q在抛物线上，∴y错误!＝2px1，y错误!＝2px2，代入得错误!·错误!＋y1y2＝0，
y1y2＝－4p2，∴|x1x2｜＝错误!＝4p2.
又｜x1x2|＝4，
∴4p2＝4，p＝1,
∴抛物线的标准方程为y2＝2x.
（2)设直线PQ过点E（a，0)且方程为x＝my＋a,联立方程组错误!
消去x得y2－2my－2a＝0，
∴错误!①
设直线PR与x轴交于点M(b，0)，
则可设直线PR的方程为x＝ny＋b，
并设R（x3，y3),同理可知，
错误!②
由①②可得错误!＝错误!。

由题意得,Q为线段RT的中点，
∴y3＝2y2,∴b＝2a.
又由（1)知，y1y2＝－4，代入①,
可得－2a＝－4，∴a＝2，
∴b＝4,y1y3＝－8，
∴|PR｜＝错误!|y1－y3|
＝错误!·错误!
＝2错误!·错误!≥4错误!。

当n＝0，即直线PR垂直于x轴时，
｜PR｜取最小值4错误!.
*13。

如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m〉0,x≥0)和半圆x2＋y2＝r2（x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”
经过点（3,2）和(－1
2
，错误!)．
(1)求“黄金抛物线C"的方程；
（2)设P（0,1)和Q(0,－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C"相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使
得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由．
解(1）∵“黄金抛物线C”过点(3,2）和（－错误!，错误!），
∴r2＝(－错误!)2＋（错误!)2＝1,4＝3m＋1,∴m＝1.
∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1（x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．(2）假设存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，
设直线l：y＝kx＋1，联立错误!消去y，
得k2x2＋（2k－1)x＝0，∴x B＝错误!，y B＝错误!,
即B（错误!，错误!），
∴k BQ＝错误!，
联立错误!消去y,得(k2＋1)x2＋2kx＝0，
∴x A＝－错误!，y A＝错误!，即A（－错误!，错误!），
∴k AQ＝－错误!，
∵QP平分∠AQB，∴k AQ＋k BQ＝0，
∴错误!－错误!＝0，解得k＝－1±错误!，
由图形可得k＝－1－错误!应舍去，∴k＝错误!－1,
∴存在直线l：y＝(2－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.。