四川省资阳市2018届高三上学期期末考试数学文试题 含

资阳市高中2018级第二次诊断性考试
数学(文史类)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}{}2|2,|250M x x N x x =≥=-<，则M N =（ ）
A ．()1,5
B ．[)2,5
C ．(]5,2-
D ．[)2,+∞
2．已知函数()()10f x x x x
=+≠，命题():0,2p x f x ∀>≥，命题()00:0,2q x f x ∃<≤-，则下列判断正确的是（ ）
A ．p 是假命题
B ．q ⌝是真命题
C ．()p q ∨⌝是真命题
D ．()p q ⌝∧是真命题
3. 下面的茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目，则这些车辆数的中位数和众数分别是（ ）
A ． 230.5，220
B ．231.5，232
C ．231，231
D ． 232，231
4. i 为虚数单位，已知复数z 满足21z i i
=++，则z =（ ） A ．12i + B ． 12i - C ．1i + D ． 1i -+
5. 已知向量,a b 满足2,3a b ==，向量a 与b 的夹角为60°，则a b -=（ ）
A ．． D ．7
6.已知tan 2α=，则2sin cos sin cos αααα
+-的值为 （ ） A ． 5 B ． 4 C. 3 D ．2
7.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）
A ．0.40.20.43<4log 0.5<
B ． 0.40.20.43<log 0.5<4
C. 0.40.20.4log 0.534<< D ．0.20.40.4log 0.543<<
8.一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ）
A ．3cm
B ． 4cm C. 5cm D ．6cm
9. 执行如图所示的程序框图，若输入01234500,1,2,3,4,5,1a a a a a a x =======-，则输出v 的值为（ ）
A ．15
B ． 3 C. -3 D ．-15
10. 在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则边BC 的长为（ ）
A ． 5
B ． 115 C. 95 D ．75
11.已知双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）
A ．()1,2
B ．⎛ ⎝ C. ⎫+∞⎪⎪⎭
D ．()2,+∞ 12.已知函数()()33f x x x x R =+∈，若不等式()
()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． ((),2,-∞+∞
B ． ,⎛-∞ ⎝ C. (2,-
D ．(,-∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知实数,x y 满足3004
x y x --≥⎧⎨<≤⎩，则y x 的最大值是 ． 14.将函数sin y x =的图象向左平移4π
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的
12
，纵坐标不变，便得到函数()f x 的图象，则()f x 解析式为 ． 15.若直线1ax by +=（,a b 都是正实数）与圆221x y +=相交于,A B 两点，当AOB ∆（O 是坐标原点）的面积为12
，a b +的最大值为 ． 16.已知函数()(
)2,1x 12,13x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，函数()f x 在0x x =处的切线为l ，若01165
x <<，则l 与()f x 的图象的公共点个数为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且451S a a =-．
（1）求数列{}n a 的公比q 的值；
（2）记21log n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若452T b =，求数列1a 的值．
18. 观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度（单位：毫米/
月）与月平均气温的对比表如下：
（1）求生长速度y 关于温度t 的线性回归方程；（斜率和截距均保留为三位有效数字）；
（2）利用（1）中的线性回归方程，分析气温从05C -至020C 时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是02C 时，预测这月大约能生长多少．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()()1122211ˆˆˆ,n n
i i i i
i i n n i i i i x x y y x y nxy b a
y bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑． 19.如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，2,1AC CE ==，平面ABC ⊥平面ACEF ．M 是线段EF 上的一个动点．
（1）若BM AC ⊥，确定M 的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥C ABM -的体积．
20. （本小题满分12分）
已知函数()()()2
11x f x axe a x =--+（其中,a R e ∈为自然对数的底数，2.718128e =）．
（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围．
21.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点()11,0,F C -的离心率为,e b 是3e 和a 的
等比中项．
（1）求曲线C 的方程；
（2）倾斜角为α的直线过原点O 且与C 交于,A B 两点，倾斜角为β的直线过1F 且与C 交
于,D E 两点，若αβπ+=，求2
AB DE 的值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为244x y =+．
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），l 与C 交于,A B 两点，8AB =，求l 的斜率．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2137f x x x =++--．
（1）在图中画出()y f x =的图象；
（2）求不等式()1f x >的解集．
试卷答案
一、选择题
1-5: BCCAC 6-10: ADACB 11、12：BD
二、填空题 13. 1
4 14. ()sin 24f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭ 15. 2 16.
2或3
三、解答题
17.（1）由{}n a 是等比数列，则1
1n n a a q -=，
由题知公比1q ≠（否则与451S a a =-矛盾），
则()
()41444111111a
q S a q a a q q -==-=--， 所以()()4
4
1101q q q ---=-，则()411101q q ⎡⎤
-+=⎢⎥-⎣⎦，
所以41q =或1
11q =--，
解得1q =-或2；
（2）由题q 取值为2，
则()2121log 2log n n b a a n ==+，
所以数列{}n b 是一个公差为1的等差数列，
由452T b =得()4114624T b b =+=+，
解之得11b =，
所以121log 11b a =+=，即11a =．
18.（1）由题可知
5068121520245678108,677
t y -++++++++++++=
===， 71
100304884120200472i i i t y
==-++++++=∑， 7212503664144225400894i i t
==++++++=∑， 则7
1
72217472748ˆ0.305894764
7i i
i i i t y ty b t t
==--⨯==≈-⨯-∑∑，ˆˆ60.3058 3.560a y bt =-≈-⨯=， 于是生长速度y 关于温度t 的线性回归方程为：ˆ 3.5600.305y
t =+； （2）利用（1）的线性回归方程可以发现，气温从月平均气温从05C -至020C 时该植物生长速度逐渐增加，如果某月的平均气温是02C 时，预测这月大约能生长
3.560.3052
4.17mm +⨯=．
19.（1）M 为线段EF 的中点，理由如下：
分别取AC EF 、的中点O M 、，连接OM ，
在等边三角形ABC 中，AC BO ⊥，又OM 为矩形ACEF 的中位线，
AC OM ⊥，而OM OB O =，
所以AC ⊥面BOM ，所以BM AC ⊥；
（2）由题13
C ABM B ACM ACM V V S h --∆==， 由（1）和三角形ABC 为等边三角形得O 为AC 的中点，
∴BO 为三棱锥B ACM -的高h ，
于是h =
又∵无论M 是EF 上的何点，M 到AC 的距离不变，即为三角形ACM 底边AC 的高， ∴12112
ACM S ∆=⨯⨯=，
∴113C ABM B ACM V V --==⨯=． 20.（1）由题知，()()()()()()221,4114x x x x f x xe x f x e xe x x e '=-++=--++=+-，
由()0f x '=得到1x =-或ln 4x =，
而当ln 4x <时，()40,ln 4x e x ->>时，()
40x e -<，列表得：
所以，此时()f x 的减区间为(),1-∞-，()ln 4,+∞，增区间为()1,ln 4-；
（2）()()()()()211122x x x f x ae axe a x x ae a '=+--+=+-+，
由()0f x '=得到1x =-或220x ae a -+= （*）
由于()f x 仅有一个极值点，
关于x 的方程（*）必无解，
①当0a =时，（*）无解，符合题意，
②当0a ≠时，由（*）得22x a e a -=，故由220a a
-≤得01a <≤， 由于这两种情况都有，当1x <-时，()0f x '<，于是()f x 为减函数，当1x >-时，()0f x '>，于是()f x 为增函数，∴仅1x =-为(
)f x 的极值点，综上可得a 的取值范围是[]0,1．
21.（1）由题可知，椭圆中2222133c b ea c a b c =⎧⎪==⎨⎪=+⎩
，解得2234b a ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程是22143x y +=； （2）设倾斜角为α的直线为1l ，倾斜角为β的直线2l ，
①当2π
α=时，由αβπ+=，知2π
β=，则12:0,:1l x l x ==-，
于是23AB b ===，此时24AB DE =；
（2）当2π
α≠时，由αβπ+=，知2π
β≠，且这两条直线的斜率互为相反数，
设1:l y kx =，则()2:1l y k x =-+， 由22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222212431243x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，
则(()222222481121244343k k AB k k +⎛⎫+=== ⎪++⎝⎭
， 由2214
3y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()22224384120k x k x k +++-=， 由于()()()()22228443412436360k k k k ∆=-+-=+>， 设2l 与椭圆的两个交点坐标依次为()()1122,,,D x y E x y ， 于是221212228412,4343
k k x x x x k k -+=-=++，
()2212143k k =+==+()
()2222248143412143
k AB k DE k k ++==++， 综上所述总有24AB DE
=． 22.（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得，
抛物线C 的极坐标方程22cos 4sin 40ρθρθ--=；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，
设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 22cos 4sin 40αραρ--=,
∵2cos 0α≠（否则，直线l 与抛物线C 没有两个公共点） 于是1212224sin 4,cos cos αρρρραα
+==-，
124cos AB ρα=-==， 由8AB =得21cos ,tan 12
αα==±， 所以l 的斜率为1或-1．
23.解析：（1）∵()135,213,3239,3x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪->⎪⎪⎩
， 函数()
y f x =的图象如图所示 （2）由不等式()1f x >得()<1f x -或()1f x >， 由()f x 的表达式及图象，
当()1f x =时，可得2x =-或103x =
； 当()1f x =-时，可得43
x =-或2x =， 故()1f x >的解集为10|23x x x ⎧
⎫<->⎨⎬⎩⎭或；
()1f x <-的解集为4|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
， 所以()1f x >的解集为410|2233x x x x ⎧⎫<-<<>⎨⎬⎩⎭或-或．。