第6讲 曲线曲面基础-1

第6讲 曲线曲面基础-1
1.Bezier 曲线
插值公式：∑==n i i n i P t B
t P 0,)()(
伯恩斯坦（Bernstein ）基函数：i n i n i t t i n i n t B ---=)1()!
(!!)(, 2一次Bezier 曲线
当1=n 时：)1()(1,0t t B -=，t t B =)(1,1
得出：⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-==∑=0110101,)(')1()()(P P t C tP P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001111)(P P t t C 3二次Bezier 曲线
当2=n 时：22,0)1()(t t B -=，t t B 2)(2,1=，2
2,2)(t t B =
得出：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--=+-+---=+-+-==∑=210211022102202,2)21(2)1(22)1(22)1(2)(')1(2)1()()(tP P t P t tP P t tP P t t C P t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211)(P P P t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，2)1(P C =
2) 切矢性质：)(2)0('01P P C -=，)(2)1('12P P C -=
4三次Bezier 曲线
当3=n 时：33,0)1()(t t B -=，t t t B 23,1)1(3)(-=，23,2)1(3)(t t t B -=，33,3)(t t B =
得出：⎪⎩
⎪⎨⎧+-+--+----=+-+-+-==∑=32222121023322120330
3,3)1(63)1(3)1(6)1(3)(')1(3)1(3)1()()(P t tP t P t P t tP t P t t C P t P t t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(P P P P t t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，3)1(P C =
2) 切矢性质：)(3)0('01P P C -=，)(3)1('23P P C -=
5.Bezier 曲线近似作图
5.1算法思想
递推公式：)()()1()(111t tP t P t t P r i r i r i -+-+-=
其中：n r ≤≤1，r n i -≤≤0，)(0t P i 即为i P ，)(0t P n 是曲线上具有参数t 的点。

5.2以三次为例
下面演算)(30t P ：)()()1()(212030t tP t P t t P +-=
⎩⎨⎧+-=+-=+-=+-=⇒+-=210201111001001011
1020)1()()()1()()1()()()1()()()()1()(tP P t t tP t P t t P tP P t t tP t P t t P t tP t P t t P ⎩⎨⎧+-=+-=+-=+-=⇒+-=320302122102011112
1121)1()()()1()()1()()()1()()()()1()(tP P t t tP t P t t P tP P t t tP t P t t P t tP t P t t P ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=)()()()()()(23212
1211101010P P t P t P P P t P t P P P t P t P
6.B 样条曲线
插值公式：∑==n
i i k i P u N u P 0
,)()(
B 样条基函数：
⎩⎨⎧≤≤=+其它若0u u 1)(1i 1,i i u u N )()()()()(
)(111
1,111,,+-++-++-+-≤≤--+--=n k i k i k i k i i k i k i i k i u u u u u u N u u
u u u N u u u N 7一次B 样条曲线 ——
8二次B 样条曲线 ——
9三次B 样条曲线 ——
10.B 样条曲线近似作图 ——。