高考数学 空间几何体的表面积和体积 习题
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专题八立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
基础篇
考点一空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
答案B
2.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π
2
,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.2π
3B.4π
3
C.5π
3
D.2π
答案C
3.(多选)(2023届湖北摸底联考,10)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和9,且∠ABC=120°,则该圆台的( )
图1
图2
A.高为4√2
B.体积为50√2
3
π
C.表面积为34π
D.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶22
答案AC
4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.
答案1
考点二空间几何体的表面积与体积
1.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3
答案C
2.(2022武汉部分重点中学联考,3)若一圆台的上底面半径为1,且上、下底面半径和高的比为1∶2∶√3,则圆台的体积为( )
A.7√3
3B.7√3 C.7√3π
3
D.7√3π
答案C
3.(2023届浙南名校联盟联考,4)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=AA1=2,∠BAC=π
3
,则此球的表面积为( )
A.40π
9B.40π
3
C.32π
3
D.32π
答案B
4.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( )
A.√2
12B.√3
12
C.√2
4
D.√3
4
答案A
5.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为.
答案39π
6.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱
BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为.
答案1
7.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.
答案1
3
综合篇
考法一空间几何体的表面积和体积
考向一求空间几何体表面积的方法
1.(2022广东中山模拟,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一
个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高(棱锥侧面三角形底边上的高)的比值为4
5
,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是( )
A.4
5B.3
5
C.12
5
D.5
12
答案B
2.(2023届广州8月阶段测,4)2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫,威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是( )
A.9√3+6
B.9√3+8
C.12√3+6
D.12√3+8
答案C
3.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π
答案 C
4.(2020课标Ⅰ,文12,理10,5分)已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,☉O 1为△ABC 的外接圆.若☉O 1的面积为4π,AB=BC=AC=OO 1,则球O 的表面积为 ( )
A.64π
B.48π
C.36π
D.32π 答案 A
5.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为7
8
,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 . 答案 40√2π
考向二 求空间几何体体积的方法
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为
( )
A.56
B.28√2
C.56
3
D.
28√2
3
答案 D
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m 时,相应水面的面积为140.0 km 2;水位为海拔157.5 m 时,相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时,增加的水量约为(√7≈2.65)
( )
A.1.0×109 m 3
B.1.2×109 m 3
C.1.4×109 m 3
D.1.6×109 m 3 答案 C
3.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙
=2,则
V 甲V 乙
= ( )
A.√5
B.2√2
C.√10
D.5√10
4
答案 C
4.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O ,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( )
A.1
3 B.1
2 C.√3
3
D.
√2
2
答案 C
5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A.[18,81
4] B.[27
4
,81
4
]
C.[27
4,64
3
] D.[18,27]
答案C
6.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )
A.V3=2V2
B.V3=V1
C.V3=V1+V2
D.2V3=3V1
答案CD
7.(多选)(2023届长沙长郡中学月考,10)正四棱锥P-ABCD的所有棱长为2,用垂直于侧棱PC的平面α截该四棱锥,则( )
A.PC⊥BD
B.四棱锥外接球的表面积为8π
C.PA与底面ABCD所成的角为60°
D.当平面α经过侧棱PC的中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3∶1
答案ABD
考法二与球有关的切、接问题
考向一空间几何体的外接球问题
1.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
( ) A.12π B.24π C.36π D.144π
答案C
2.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面积为9√3
4
的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )
A.√3
B.3
2 C.1 D.
√32
答案 C
3.(2022江苏南通重点中学强基测试,8)三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上.PA =2,PB =3,PC =4,AB =√13,BC =5,AC =2√5,则球O 的表面积为 ( )
A.28π
B.29π
C.30π
D.31π 答案 B
4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3√3和4√3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π
B.128π
C.144π
D.192π 答案 A
5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,8)中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也,甍,屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长
没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD 为正方形,四边形ABFE 、四边形DCFE 为两个全等的等腰梯形,EF ∥AB ,AB =BF =2EF =4,则此刍甍的外接球的表面积为 ( )
A.
4√11
11
π B.
4√13
13
π C.36811π D.160
13π 答案 C
6.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面
上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为
( )
A.8√6π
B.4√6π
C.2√6π
D.√6π 答案 D
7.(2022山东青岛二中期末,15)已知A ,B ,C 是半径为2的球O 的球面上的三个点,且AC ⊥BC ,AC =BC =√2,则三棱锥O -ABC 的体积为 . 答案
√3
3
考向二空间几何体的内切球问题
1.(2022辽宁鞍山月考,4)正方体的外接球体积与内切球体积的比为( )
A.3
B.3√3
C.√3
D.2
答案B
2.(2022辽宁大连模拟,6)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是( ) A.9∶4 B.9∶5 C.3∶2 D.3∶1
答案A
3.(2022浙江丽水模拟)已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中点,AB=2,则平面ACE截球O所得截面圆的直径为.
答案√6
3。