2014创新设计(苏教版)第九章第4讲直线与圆的位置关系

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苏科版数学九年级上册：直线与圆的位置关系课件

A C
O
.
MB
导学
点和圆的位置关系有哪几种？用数量关系如何来判断？
形
与
数
⑴点在圆内
·r O
d<
⑵点在圆上
·r O
r d=r
· ⑶点在圆外
r
O
d>
r
（1）如图，思考在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
教学目标
（1）了解直线和圆的位置关系和有关概念。（2）理解和掌握直线和圆的位置关系判别方法。（3）通过实物和课件演示让学生体验数形结合的数学思想。从而提高学生的画图、识图能力。（4）由点和圆的位置关系归纳、类比出直线和圆的位置关系，从而提高学生的知识迁移能力。
l
A
如图，P为正比例函数
y
3 2
x
图象上一个动点，⊙P
的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取
值范围；
已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心， 2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD为x．（1）如图1，当x为何值时，⊙O与AM相切；（2）如图2，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两
d>r 直线L与⊙o相离； d=r 直线L与⊙o相切； d<r 直线L与⊙o相交。
布置作业：
1、教材P102练习1、2 2、如图，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心、以r为半径的圆与直
线OA有怎样的位置关系？ ⑴ r =2cm； ⑵ r =4cm；⑶ r =2.5cm。

《直线与圆的位置关系》

《直线与圆的位置关系》
2023-11-10
目录
• 引言 • 直线与圆的位置关系概述 • 判断直线与圆的位置关系的方法 • 直线复习与思考
01
CATALOGUE
引言
课程背景介绍
平面解析几何是数学的基础知识，而直线与圆的位置关系是解析几何中的重要内容之一。
在物理学中，圆和直线是非常重要的概念，它们被广泛应用于各种现象和实验
中。
例如，在力学中，圆被用来描述物体的运动轨迹，而直线则被用来描述物体的运动速度和方向。此外，在电磁学中，圆和直线也被广泛应用于描述电磁波的
传播和电场线的分布。
另外，在光学中，直线则被用来描述光的传播路径和光的干涉现象，而圆则被用来描述光的衍射现象。因此，掌握直线与圆的位置关系对于理解物理现象和
解决物理问题非常重要。
直线与圆在经济学中的应用
在经济学中，直线与圆的位置关系也被广泛应用于各种经济理论和模型中。
VS
例如，在供需模型中，直线被用来表示供给曲线和需求曲线，而圆则被用来表示市场均衡点。此外，在货币供应和货币政策中，直线则被用来表示货币供应量和利率之间的关系，而圆则被用来表示通货膨胀率和失业率之间的权衡关系。
对于练习题，需要仔细计算公共弦的长度，避免出错。
对于思考题，可以通过几何方法证明两点之间线段最短，也可以用解析几何的方法证明。
通过本章的学习，可以进一步加深对平面几何的认识和理解，同时为后续学习空间几何打下基础。
THANKS
感谢观看
相交直线的性质
01
02
03
相交直线的夹角
两条相交直线之间的夹角是锐角或直角，且夹角的大小取决于两条直线的倾斜程度。

《直线与圆的位置关系》教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。

《直线和圆的位置关系》教学教案设计.doc

24.2.2直线和圆的位置关系（一）学习目标：1、知识与技能：使学生理解直线和圆的位置关系；初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系。

2、过程与方法：通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。

3、情感与价值观：在用运动的观点揭示直线和圆的位置关系的过程中向学生渗透，世界上的一切事物都是变化着的，并且在变化的过程中在一定的条件下是可以互相转化的。

重点：使学生正确理解直线和圆的位置关系。

难点：圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的理解。

教学过程：一、回顾旧知师：我们已经学习了点和圆，同学们想一想点和圆有哪几种位置关系？生：点在圆外、点在圆上、点在圆内。

师：怎样判断点和圆的位置关系？生：根据点到圆心的距离与圆半径大小来判断。

当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。

二、创设情境师：我们知道了点和圆有三种位置关系，那么直线和圆有几种位置关系呢？今天我们就来研究这个问题。

“24.2.2直线和圆的位置关系（一）”教师板书课题。

三、探索新知师：下面老师先画一个圆。

师：我们把直尺的边缘看作一条直线，任意移动直尺。

同学们想一想，这一过程中直线和圆的公共点可能有多少个？生：直线和圆公共点可能有0个，1个，2个。

教师画出图形并标出公共点。

师：根据公共点的个数，我们把直线和圆位置关系分成三种，即没有公共点叫相离，唯一公共点叫相切，两个公共点叫相交。

教师板书定义。

师：我们知道要判断点和圆的位置关系可以根据点到圆心的距离与半径的大小来判断，那么要判断直线和圆的位置关系可不可以用类似的方法呢？下面请一位同学画出圆心到直线的距离d？师：看图形你发现了什么？生：我发现了直线与圆相离时，d＞r；相切时，d=r；相交时，d＜r。

教师板书上述数量关系。

师：这是已知了直线与圆的位置关系，得出对应的数量关系，反过来，如果已知数量关系，可不可以得出对应的位置关系呢？用这种数量关系来判断直线与圆的位置关系，关键是要知道d和r，然后比较d与r大小，从而确定位置关系。

直线与圆的位置关系完整教案

4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标:1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的种类；（2）会利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――几何法、代数法。

3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：1、提出问题，情境导入教师利用多媒体展示如下问题：问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域，已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。

如果轮船沿直线返港，那么它是否会触礁危险？设计意图：让学生感受暗礁这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船会不会触礁？利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。

生：暗礁所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。

师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。

2、回顾旧知、揭示课题——直线与圆的位置关系问题2：在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点。

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程，可以展示下面的表格，使问题直观形象。

5.1直线与圆的位置关系一等奖创新教案_1

5.1直线与圆的位置关系一等奖创新教案《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学目标：1．知识目标：掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法；解决与位置关系相关的问题，如，弦长、切线方程等；2．能力目标：能够几何问题代数化，代数问题几何化；3．情感目标：形成“数学是相互联系、统一的整体”的数学观。

二、教学重点、难点：重点：掌握几何法和解析法判断直线与圆的位置关系难点：灵活运用“数形结合”来解决直线与圆的位置关系三、教学方法探究式教学法、讲练结合、情景教学四、学情分析通过初中的学习，直线与圆的位置关系已有感性认识，学生已经知道直线与圆有三种位置关系，并且从直线与圆的直观感受上，学生已经懂得“利用直线与圆的交点的个数及圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较”来研究直线与圆的位置关系。

高中要求学生能够利用直线与圆的方程，定量来进行判断，解决问题的主要方法是解析法,而解析法的思想方法学生不熟悉。

本节课，学生将进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系。

五、教学过程1.情景导入借用“大漠孤烟直，长河落日圆”引出日落情景，把太阳比做圆，地平面作为水平线，引出本节课题内容：直线与圆的三种位置关系。

2. 引入课题引导探究:通过几何画图，观察直线与圆的位置关系，进而引出判断直线与圆的位置关系。

（1）直线与圆的位置关系圆与直线的交点个数：几何判定法：(1)直线与圆__相交__，有两个公共点；设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：(2)直线与圆__相切__，只有一个公共点；(1)d>r 圆与直线__相离__；(3)直线与圆__相离__，没有公共点．(2)d＝r 圆与直线__相切__；(3)d0 直线与圆__相交__；(2)Δ＝0 直线与圆__相切__；(3)Δ。

苏科版数学九年级上册《直线与圆的位置关系》ppt教学课件

∠POBP．A＝
反思：切线长定理为∠证OP明B线．段相
等、角
2.5 直线与圆的位置关系（4）
典型例题
例1 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、 AC分别与小圆相切于点D、 E．AB与AC相等吗？为什么？
2.5 直线与圆的位置关
典系型（例4）题
例2 如图，PA、PB是⊙O的切
线，切点分别是A、B，直线EF也是
2.5 直线与圆的位置关系（4）
2.5 直线与圆的位置关系（4）
请你画一画
问题1．经过平面上一个已知
点，作已知圆的切线会有怎样的
情形？
点在哪里呢？
2.5 直线与圆的位置关系（4）
请你画一画
点在圆内时，不存在切线．
2.5 直线与圆的位置关系（4）
请你画一画
点在圆上时．
F
O
DO
P
E
点在圆上时，只能画一条切线．
课系堂（4点C，PC＝OC，PA、PB是
⊙O的切线，切点分别为A、B．5如3 果⊙O的半径为56，0 则切线长
为
，两条切
线的夹角为 °.
2.5 直线与圆的位置关系（4）
课堂练习
3．如图，如图AB是⊙O的直径，
C为圆上任意一点，过C的切线分别
与过A、B两点的切线交90于P、Q，则
∠OBP＝90°．
试用文字
∵ OA＝OB，OP＝OP．语你言所叙发述现
∴Rt△AOP≌Rt△BOP的(H结L论) ．．
2.5 直线与圆的位置关
请系你（说4一）
切线说长定理从
B
圆外一点引圆的两
条切线，它们的切
． O
P
线长相等，圆心和

直线与圆的三种位置关系-苏科版九年级数学上册教案

直线与圆的三种位置关系-苏科版九年级数学上册教案一、教学目标1.知道直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交。

2.熟练掌握判定直线与圆的三种位置关系的方法。

3.能在解决实际问题中运用所学知识。

二、教学重难点1.重点掌握判定直线与圆相交的方法。

2.难点在于综合运用所学知识解决实际问题。

三、教学过程设计1. 检查预习请学生们回答几个问题，检查他们的预习情况：1.什么是圆？2.什么是直线？3.直线和圆之间有哪些位置关系？4.如何判定直线和圆的位置关系？2. 导入新知教师通过幻灯片等形式介绍“直线与圆的三种位置关系”，包括图示和定理：定理1：切线的定理。

若直线L与圆C相切，则直线L是圆C的切线。

定理2：弦切定理。

若弦AB与圆C相交于点E，弦上点D为弦AB的中点，则直线DE是圆C的切线。

定理3：两点判定定理。

若圆C上AB两点间连线l与直线l相交于点P，且点P到线段AB的距离等于圆C的半径，则直线l与圆C相切。

3. 案例分析举例说明判定直线与圆的位置关系的方法。

例如：已知圆C的方程x2+y2=5，直线l的方程y=x+3，求直线l与圆C 的位置关系。

解：先将直线l的方程化为一般式：x−y+3=0。

设圆C上某点为P(x, y)，则由圆的方程得x2+y2=5。

对于直线l，将其带入圆的方程，则有(x−y+3)2+y2=5，即x2−2xy+y2+6x−6y+4=0。

因此x2+y2−2xy+6x−6y+4=5，即x2+y2−2xy+6x−6y−1=0。

当x2+y2−2xy+6x−6y−1>0时，直线l与圆C相离；当x2+y2−2xy+6x−6y−1=0时，直线l与圆C相切；当x2+y2−2xy+6x−6y−1<0时，直线l与圆C相交。

经过计算，可以得出x2+y2−2xy+6x−6y−1=−3(x−1)2−3(y−2)2，因此x2+y2−2xy+6x−6y−1<0，即直线l与圆C相交。

4. 练习和巩固1.解方程x2+y2=25和x+y=3的解集，并判断直线与圆的位置关系。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教案理解析版

１．直线与圆的位置关系（半径为r，圆心到直线的距离为d）相离相切相交图形量化方程观点Δ错误!0Δ＝0Δ错误!0几何观点d错误!r d错误!r d＜r２．圆与圆的位置关系（两圆半径为r１，r２，d＝|O１O２|）相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|＜d＜r１＋r２d＝|r１—r２|d＜|r１—r２|[小题体验]１．（２0１9·徐州调研）已知圆x２＋y２＝r２与圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0相内切，则正数r的值为________．解析：圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0的标准方程为（x＋３）２＋（y—４）２＝３6，圆心为（—３,４），半径为6，圆x２＋y２＝r２的圆心为（0,0），半径为r，则圆心距d＝错误!＝５．若两圆内切，则|r—6|＝５，得r—6＝５或r—6＝—５，即r＝１１或１．答案：１或１１２．直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B两点，则AB＝________.解析：由x２＋y２—２x—４y＝0，得（x—１）２＋（y—２）２＝５，所以该圆的圆心坐标为（１,２），半径r＝错误!，又圆心（１,２）到直线３x—y—6＝0的距离为d＝错误!＝错误!，由错误!２＝r２—d２，得AB２＝４错误!＝１0，即AB＝错误!.答案：错误!３．若直线x—y＋１＝0与圆（x—a）２＋y２＝２有公共点，则实数a的取值范围为________．解析：由题意可得，圆的圆心为（a,0），半径为错误!，所以错误!≤错误!，即|a＋１|≤２，解得—３≤a≤１．答案：[—３,１]４．若圆x２＋y２＝４与圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0相外切，则实数m＝________.解析：将圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0化成标准方程，得（x—m）２＋y２＝１，圆心为（m,0），半径r１＝１，圆x２＋y２＝４的圆心为（0,0），半径r２＝２．由两圆相外切，得|m|＝r１＋r２＝３，解得m＝±３．答案：±３１．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．２．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏]１．过点（２,３）与圆（x—１）２＋y２＝１相切的直线的方程为________．解析：１若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k（x—２）＋３，由圆心（１,0）到切线的距离为半径１，得k＝错误!，所以切线方程为４x—３y＋１＝0，２若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝２，也是圆的切线，所以直线方程为４x—３y＋１＝0或x＝２．答案：x＝２或４x—３y＋１＝0２．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝________.答案：±２错误!或0错误!错误![题组练透]１．（易错题）（２0１8·苏北四市调研）直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y ２—２x＋２y—7＝0的位置关系是________．解析：法一：x２＋y２—２x＋２y—7＝0化为圆的标准方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝9，故圆心坐标为（１，—１），半径r＝３，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!.再根据r２—d２＝9—错误!＝错误!，而7a２—４a＋7＝0的判别式Δ＝１6—１96＝—１80＜0，故有r２＞d２，即d＜r，故直线与圆相交．法二：由（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）整理得x—y＋a（x＋y＋２）＝0，则由错误!解得x＝—１，y＝—１，即直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）过定点（—１，—１），又（—１）２＋（—１）２—２×（—１）＋２×（—１）—7＝—５＜0，则点（—１，—１）在圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0的内部，故直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0相交．答案：相交２．（２0１9·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y—２＝0与圆心为C的圆（x—１）２＋（y—a）２＝１6相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析：因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝４，所以圆心C到直线AB的距离为２错误!，从而有错误!＝２错误!，解得a＝—１．答案：—１３．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知点A（１,0）和点B（0,１），若圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0上仅有两个不同的点P，使得△PAB的面积为错误!，则实数t的取值范围是________．解析：由题可得AB＝错误!，若△PAB的面积为错误!，则点P到直线AB的距离为错误!，圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0的标准方程为（x—２）２＋（y—１）２＝５—t，圆心到直线AB的距离为错误!，所以错误!—错误!＜错误!＜错误!＋错误!，解得错误!＜t＜错误!.答案：错误![谨记通法]判断直线与圆的位置关系的两种方法（１）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．（２）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．错误!错误![锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：（１）求圆的切线方程（切线长）；（２）求弦长；（３）由弦长或切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程（切线长）１．已知圆的方程为x２＋y２＝１，则在y轴上截距为错误!的切线方程为________________．解析：在y轴上截距为错误!且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋错误!，则错误!＝１，所以k＝±１，故所求切线方程为y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!.答案：y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!角度二：求弦长２．若a２＋b２＝２c２（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x２＋y２＝１所截得的弦长为________．解析：因为圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝错误!＝错误!＝错误!，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于错误!＝错误!，所以弦长为错误!.答案：错误!角度三：由弦长或切线问题求参数３．（２0１8·苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（１，１）的直线l与圆（x＋１）２＋（y—２）２＝５相切，且与直线ax＋y—１＝0垂直，则实数a＝________.解析：因为点M在圆上，所以切线方程为（１＋１）（x＋１）＋（１—２）（y—２）＝５，即２x—y—１＝0，所以２a—１＝0，即a＝错误!.答案：错误!４．已知圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝２截y轴所得线段与截直线y＝２x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为１，CA＝CB＝错误!可知，圆心C（１,２）到直线２x—y＋b＝0的距离也等于１才符合题意，于是错误!＝１，解得b＝±错误!.答案：±错误![通法在握]１．圆的切线方程的２种求法（１）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.（２）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒] 若点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝r２上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.２．弦长的２种求法（１）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．（２）几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝２错误!.[演练冲关]１．（２0１9·启东检测）已知点P是直线y＝x上一个动点，过点P作圆（x＋２）２＋（y—２）２＝１的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为________．解析：圆心C（—２,２），半径r＝１，则切线长PT＝错误!.要使PT最小，只需PC最小即可，此时CP垂直于直线y＝x，则C到直线x—y＝0的距离d＝错误!＝错误!＝２错误!，此时PT＝错误!＝错误!，故线段PT长度的最小值为错误!.答案：错误!２．过原点且与直线错误!x—错误!y＋１＝0平行的直线l被圆x２＋（y—错误!）２＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l的方程为错误!x—y＝0，因为圆心（0，错误!）到l的距离d＝错误!＝１，所以所求弦长l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!３．已知点A（１，a），圆x２＋y２＝４．（１）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（２）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．解：（１）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故１２＋a２＝４，得a＝±错误!.当a＝错误!，即A（１，错误!）时，切线的斜率为—错误!，故切线方程为y—错误!＝—错误!（x—１），即x＋错误!y—４＝0，当a＝—错误!，即A（１，—错误!）时，切线的斜率为错误!，故切线的方程为y＋错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y—４＝0．所以a＝错误!时，切线方程为x＋错误!y—４＝0，a＝—错误!时，切线方程为x—错误!y—４＝0．（２）设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，所以１＋a＝b，所以直线方程为x＋y＝１＋a，即x＋y—a—１＝0．又直线与圆相切，所以d＝错误!＝２，所以a＝±２错误!—１．所以切线方程为x＋y＋２错误!＝0或x＋y—２错误!＝0．错误!错误![典例引领]１．（２0１9·常州调研）若圆O：x２＋y２＝１0与圆M：（x—a）２＋y２＝90（a＞0）相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题意得，O（0,0），r１＝错误!，M（a,0），r２＝３错误!，∴２错误!＜|a|＜４错误!.∵OA⊥MA，∴在Rt△AOM中，根据勾股定理，得OM２＝OA２＋MA２，即a２＝（错误!）２＋（３错误!）２＝１00，∴a＝１0或a＝—１0（不合题意，舍去），则线段AB的长度为错误!＝错误!＝6．答案：6２．（２0１8·南京、盐城、连云港、徐州二模）已知圆O：x２＋y２＝１，动圆M：（x—a）２＋（y—a ＋４）２＝１．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得圆心M（a，a—４）在直线x—y—４＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x—y—４＝0上，半径为１的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝２，即点P也在x２＋y２＝４上，于是２—１≤错误!≤２＋１，即１≤错误!≤３，解得２—错误!≤a≤２＋错误!，故实数a的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]圆与圆位置关系问题的解题策略（１）处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．（２）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[即时应用]１．已知圆x２＋y２＝9与圆x２＋y２—４x＋２y—３＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：由题意，两圆的公共弦为２x—y—３＝0，∵圆x２＋y２＝9的圆心坐标为（0,0），半径为３，∴圆心到直线的距离d＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·镇江模拟）若圆C１：x２＋y２＝１与圆C２：x２＋y２—6x—8y＋m＝0外切，则m＝________.解析：圆C１的圆心为C１（0,0），半径r１＝１，因为圆C２的方程可化为（x—３）２＋（y—４）２＝２５—m，所以圆C２的圆心为C２（３,４），半径r２＝错误!（m＜２５）．从而C１C２＝错误!＝５．由两圆外切，得C１C２＝r１＋r２，即１＋错误!＝５，解得m＝9．答案：9一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·扬州期末）已知直线l：x＋错误!y—２＝0与圆C：x２＋y２＝４交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：圆心C（0,0）到直线l的距离d＝错误!＝１，所以AB＝２错误!＝２错误!，故弦AB的长为２错误!.答案：２错误!２．（２0１9·南京调研）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋２y＝0与圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５的圆心坐标为（３,１），半径为５．∵圆心（３,１）到直线x＋２y＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝２错误!＝４错误!.答案：４错误!３．设圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，则圆半径r的取值范围为________．解析：∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）的圆心坐标为（３，—５），半径为r，∴圆心（３，—５）到直线４x—３y—２＝0的距离d＝错误!＝５，∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，∴|r—５|＜２，解得３＜r＜7．答案：（３,7）４．（２0１8·苏锡常镇调研）若直线３x＋４y—m＝0与圆x２＋y２＋２x—４y＋４＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：圆的标准方程为（x＋１）２＋（y—２）２＝１，故圆心到直线的距离d＝错误!≤１．即|m—５|≤５，解得0≤m≤１0．答案：[0,１0]５．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—6x＋５＝0的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，则S△ABC＝________.解析：圆C：x２＋y２—6x＋５＝0化为标准方程得（x—３）２＋y２＝４，圆心为（３,0），半径为２．∵点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，∴圆心（３,0）到直线AB的距离为错误!＝１，∴S△ABC＝错误!×２错误!×１＝错误!.答案：错误!6．若圆x２＋y２＋mx—错误!＝0与直线y＝—１相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为错误!２＋y２＝错误!２，圆心到直线y＝—１的距离错误!＝|0—（—１）|，解得m＝±错误!，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·苏北四市调研）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为２，到直线错误!x ＋y—２＝0的距离为１，则满足条件的点A的个数为________．解析：如图，作出直线错误!x＋y—２＝0，作出以原点为圆心，以２为半径的圆，∵原点O到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，∴在直线错误!x＋y—２＝0的右上方有一点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，过原点作直线错误!x＋y—２＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１．故满足条件的点A共３个．答案：３２．（２0１8·苏州调研）两圆交于点A（１,３）和B（m,１），两圆的圆心都在直线x—y＋错误!＝0上，则m＋c＝________.解析：由题意可知线段AB的中点错误!在直线x—y＋错误!＝0上，代入得m＋c＝３．答案：３３．（２0１8·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy中，过点P（—２,0）的直线与圆x２＋y２＝１相切于点T，与圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．解析：因为PT与圆x２＋y２＝１相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝１，OP＝２，∠OTP＝错误!，从而∠OPT＝错误!，PT＝错误!，故直线PT的方程为x±错误!y＋２＝0，因为直线PT截圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３得弦长RS＝错误!，设圆心到直线的距离为d，则d＝错误!，又错误!＝２错误!，即d＝错误!，即|a±３＋２|＝３，解得a＝—8或a＝—２或a＝４，因为a＞0，所以a＝４．答案：４４．（２0１8·无锡模拟）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，线段EF在直线l：y＝x＋１上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得错误!·错误!≤0，则线段EF长度的最大值是________．解析：由错误!·错误!≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝错误!≥sin ４５°＝错误!，所以PC≤２错误!.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋１垂直时，PC min ＝错误!，以C为圆心，CP＝２错误!为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EF max＝２错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·镇江调研）若圆O：x２＋y２＝５与圆O１：（x—m）２＋y２＝２0（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：如图，因为圆O１与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O１A⊥OA. 又因为OA＝错误!，O１A＝２错误!，所以OO１＝５．又A，B关于OO１对称，所以AB为Rt△OAO１斜边上高的２倍．由错误!·OA·O１A＝错误!OO１·AC，得AC＝２．所以AB＝４．答案：４6．（２0１8·淮阴期末）圆C１：x２＋y２＋２ax＋a２—４＝0和圆C２：x２＋y２—２by＋b２—１＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为（x＋a）２＋y２＝４，x２＋（y—b）２＝１，∴圆心分别为（—a,0），（0，b），半径分别为２和１．∵两圆相内切，∴错误!＝１，∴a２＋b２＝１，∴错误!＋错误!＝错误!（a２＋b２）＝５＋错误!＋错误!≥５＋４＝9，当且仅当错误!＝错误!，即a２＝错误!，b２＝错误!时等号成立．故错误!＋错误!的最小值为9．答案：97．（２0１8·苏北四市期末）已知A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，则|错误!＋错误!|的取值范围为________．解析：如图，因为A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，所以线段AB的中点H在圆O：x２＋y２＝错误!上，且|错误!＋错误!|＝２|错误!|.因为点P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，所以５—错误!≤|错误!|≤５＋错误!，即错误!≤|错误!|≤错误!，所以7≤２|错误!|≤１３，从而|错误!＋错误!|的取值范围为[7,１３]．答案：[7,１３]8．（２0１9·淮安模拟）已知圆O：x２＋y２＝１．若直线y＝错误!x＋２上总存在点P，使得过点P 的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．解析：圆O的圆心为O（0,0），半径r＝１．设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO＝错误!r＝错误!，∴圆心O到直线y＝错误!x＋２的距离小于或等于PO＝错误!，即错误!≤错误!，即１＋k≥２，解得k≥１，∴实数k的最小值为１．答案：１9．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!.化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径r＝|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．１0．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—４x＝0及点A（—１，0），B（１,２）．（１）若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；（２）在圆C上是否存在点P，使得PA２＋PB２＝１２？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解：（１）圆C的标准方程为（x—２）２＋y２＝４，所以圆心C（２,0），半径为２．因为l∥AB，A（—１,0），B（１,２），所以直线l的斜率为错误!＝１，设直线l的方程为x—y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝错误!.因为MN＝AB＝错误!＝２错误!，而CM２＝d２＋错误!２，所以４＝错误!＋２，解得m＝0或m＝—４，故直线l的方程为x—y＝0或x—y—４＝0．（２）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x—２）２＋y２＝４，PA２＋PB２＝（x＋１）２＋（y—0）２＋（x—１）２＋（y—２）２＝１２，即x２＋y２—２y—３＝0，即x２＋（y—１）２＝４．因为|２—２|＜错误!＜２＋２，所以圆（x—２）２＋y２＝４与圆x２＋（y—１）２＝４相交，所以点P的个数为２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·苏州调研）过曲线y＝２|x—a|＋x—a上的点P向圆O：x２＋y２＝１作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P作圆O：x２＋y２＝１的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OPA＝３0°，所以PO＝２AO＝２，故点P的轨迹方程为x２＋y２＝４．y＝２|x—a|＋x—a＝错误!当x≤a时，曲线为x＋y—a＝0，当x≥a时，曲线为３x—y—３a＝0．故当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，即—错误!＜２，解得a＞—错误!，即—错误!＜a＜0；当a＝0时，曲线为y＝２|x|＋x＝错误!符合题意；当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，解得a＜２错误!，即0＜a＜２错误!，综上，实数a的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇调研）在平面直角坐标系xOy中，过点M（１,0）的直线l与圆x２＋y２＝５交于A，B两点，其中点A在第一象限，且错误!＝２错误!，则直线l的方程为__________．解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：y＝k（x—１）．由错误!＝２错误!，可设BM＝２t，MA＝t，如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝错误!.设OH＝d，在Rt△OBH中，d２＋错误!２＝r２＝５，在Rt△OMH中，d２＋错误!２＝OM２＝１，解得d２＝错误!.所以d２＝错误!＝错误!，解得k＝１或k＝—１，因为点A在第一象限，错误!＝２错误!，由图知k＝１，所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），所以错误!＝（x１—１，y１），错误!＝（１—x２，—y２）．因为错误!＝２错误!，所以错误!即错误!又x错误!＋y错误!＝５，所以（２x１—３）２＋４y错误!＝５，联立错误!解得x１＝２，代入可得y１＝±１，又点A在第一象限，故A（２,１），所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．答案：x—y—１＝0３．已知圆C１：（x＋１）２＋y２＝１和圆C２：（x—４）２＋y２＝４．（１）过点C１作圆C２的切线，求该切线方程；（２）过圆心C１作倾斜角为θ的直线l交圆C２于A，B两点，且A为C１B的中点，求sin θ；（３）过点P（m,１）引圆C２的两条割线l１和l２.直线l１和l２被圆C２截得的弦的中点分别为M，N，试问过点P，M，N，C２的圆是否过定点（异于点C２）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：（１）显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k（x＋１），由题意得错误!＝２，解得k＝±错误!，所以所求直线方程为y＝±错误!（x＋１），即２x±错误!y＋２＝0．（２）设直线l的方程为y＝k（x＋１），则圆心C２到直线l的距离d＝错误!，设AB的中点为R，则AR＝错误!＝错误!AB＝错误!C１R＝错误!错误!，解得d２＝错误!.在Rt△C１RC２中，sin θ＝错误!＝错误!＝错误!.（３）依题意，过点P，M，N，C２的圆即为以PC２为直径的圆，所以（x—４）（x—m）＋（y—１）（y—0）＝0，即x２—（m＋４）x＋４m＋y２—y＝0，整理成关于实数m的等式（４—x）m＋x２—４x＋y２—y＝0恒成立，则错误!所以错误!或错误!（舍去）．即存在定点（４,１）．命题点一直线与方程、两条直线的位置关系１．（２0１7·北京高考）已知x≥0，y≥0，且x＋y＝１，则x２＋y２的取值范围是________．解析：依题意，x２＋y２可视为原点到线段x＋y—１＝0（x≥0，y≥0）上的点的距离的平方，如图所示，故（x２＋y２）min＝错误!２＝错误!，（x２＋y２）max＝|OA|２＝|OB|２＝１，故x２＋y２∈错误!.答案：错误!２．（２0１５·山东高考改编）一条光线从点（—２，—３）射出，经y轴反射后与圆（x＋３）２＋（y—２）２＝１相切，则反射光线所在直线的斜率为________．解析：由已知，得点（—２，—３）关于y轴的对称点为（２，—３），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（２，—３）．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋３＝k（x—２），即kx—y—２k—３＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝错误!＝１，解得k＝—错误!或k＝—错误!.答案：—错误!或—错误!３．（２0１6·上海高考）已知平行直线l１：２x＋y—１＝0，l２：２x＋y＋１＝0，则l１与l２的距离是________．解析：由两平行线间的距离公式得d＝错误!＝错误!.答案：错误!命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系１．（２0１7·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，A（—１２,0），B（0,6），点P在圆O：x２＋y２＝５0上．若错误!·错误!≤２0，则点P的横坐标的取值范围是________．解析：设P（x，y），则错误!·错误!＝（—１２—x，—y）·（—x,6—y）＝x（x＋１２）＋y（y—6）≤２0．又x２＋y２＝５0，所以２x—y＋５≤0，所以点P在直线２x—y＋５＝0的上方（包括直线上）．又点P在圆x２＋y２＝５0上，由错误!解得x＝—５或x＝１，结合图象，可得—５错误!≤x≤１，故点P的横坐标的取值范围是[—５错误!，１]．答案：[—５错误!，１]２．（２0１8·全国卷Ⅲ改编）直线x＋y＋２＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x—２）２＋y２＝２上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆（x—２）２＋y２＝２的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋２＝0的距离为d，则圆心C（２,0），r＝错误!，所以圆心C到直线x＋y＋２＝0的距离为错误!＝２错误!，可得d max＝２错误!＋r＝３错误!，d min＝２错误!—r＝错误!.由已知条件可得|AB|＝２错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!×|AB|×d max＝6，△ABP面积的最小值为错误!×|AB|×d min＝２．综上，△ABP面积的取值范围是[２,6]．答案：[２,6]３．（２0１8·北京高考改编）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线x—my—２＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________．解析：由题知点P（cos θ，sin θ）是单位圆x２＋y２＝１上的动点，所以点P到直线x—my—２＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x—my—２＝0恒过点（２,0），所以当m变化时，圆心（0,0）到直线x—my—２＝0的距离错误!的最大值为２，所以点P到直线x—my—２＝0的距离的最大值为３，即d的最大值为３．答案：３４．（２0１8·全国卷Ⅰ）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＋２y—３＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x２＋y２＋２y—３＝0，得x２＋（y＋１）２＝４．∴圆心C（0，—１），半径r＝２．圆心C（0，—１）到直线x—y＋１＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．（２0１7·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x２＋mx—２与x轴交于A，B两点，点C 的坐标为（0,１），当m变化时，解答下列问题：（１）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（２）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：（１）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A（x１,0），B（x２,0），则x１，x２满足x２＋mx—２＝0，所以x１x２＝—２．又C的坐标为（0,１），故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝—错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况．（２）证明：由（１）知BC的中点坐标为错误!，可得BC的中垂线方程为y—错误!＝x２错误!.由（１）可得x１＋x２＝—m，所以AB的中垂线方程为x＝—错误!.联立错误!可得错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.故圆在y轴上截得的弦长为２错误!＝３，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．6．（２0１6·江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x２＋y２—１２x—１４y＋60＝0及其上一点A（２,４）．（１）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（２）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；（３）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得错误!＋错误!＝错误!，求实数t的取值范围．解：圆M的标准方程为（x—6）２＋（y—7）２＝２５，所以圆心M（6,7），半径为５．（１）由圆心N在直线x＝6上，可设N（6，y0）．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7—y0＝５＋y0，解得y0＝１．因此，圆N的标准方程为（x—6）２＋（y—１）２＝１．（２）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为错误!＝２．设直线l的方程为y＝２x＋m，即２x—y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝错误!＝错误!.因为BC＝OA＝错误!＝２错误!，而MC２＝d２＋错误!２，所以２５＝错误!＋５，解得m＝５或m＝—１５．故直线l的方程为２x—y＋５＝0或２x—y—１５＝0．（３）设P（x１，y１），Q（x２，y２）．因为A（２,４），T（t,0），错误!＋错误!＝错误!，所以错误!１因为点Q在圆M上，所以（x２—6）２＋（y２—7）２＝２５．２将１代入２，得（x１—t—４）２＋（y１—３）２＝２５．于是点P（x１，y１）既在圆M上，又在圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５上，从而圆（x—6）２＋（y—7）２＝２５与圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５有公共点，所以５—５≤错误!≤５＋５，解得２—２错误!≤t≤２＋２错误!.因此，实数t的取值范围是[２—２错误!，２＋２错误!]．。

苏教版数学九年级上册教学设计《2-5直线与圆的位置关系(4)》

苏教版数学九年级上册教学设计《2-5直线与圆的位置关系（4）》一. 教材分析本节课的内容是苏教版数学九年级上册的《2-5直线与圆的位置关系（4）》。

这部分内容主要介绍了直线与圆的位置关系的应用。

通过本节课的学习，学生能够理解直线与圆的位置关系的概念，掌握直线与圆的位置关系的判定方法，并能运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过直线与圆的基本知识，对于直线与圆的位置关系有一定的了解。

但是，对于直线与圆的位置关系的应用，学生可能还比较陌生，需要通过实例来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解直线与圆的位置关系的概念，掌握直线与圆的位置关系的判定方法，能运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：直线与圆的位置关系的概念和判定方法。

2.难点：如何运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探究；通过案例分析，使学生理解和掌握直线与圆的位置关系；通过小组合作，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的案例和图片，用于讲解和展示直线与圆的位置关系。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾直线与圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）利用多媒体展示直线与圆的位置关系的概念和判定方法，让学生直观地感受直线与圆的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，判断给定的直线与圆的位置关系。

可以分组进行，每组选一条直线和一个圆，观察它们的位置关系，并给出判定方法。

4.巩固（10分钟）让学生运用所学知识解决实际问题。

可以给出几个实例，让学生独立解决，或者分组讨论解决。

苏教版数学九年级上册说课稿《2-5直线与圆的位置关系(4)》

苏教版数学九年级上册说课稿《2-5直线与圆的位置关系（4）》一. 教材分析《2-5直线与圆的位置关系（4）》这一节内容，是在学生已经掌握了直线与圆的位置关系，以及圆的切线性质的基础上进行授课的。

本节内容主要让学生了解直线与圆的位置关系的应用，以及如何利用这一关系解决实际问题。

教材通过实例的引入，让学生理解直线与圆的位置关系在现实生活中的应用，提高学生的学习兴趣，培养学生的实践能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于直线与圆的位置关系的基本概念和性质已经有了一定的了解。

但是，对于如何将理论知识应用于实际问题，解决实际问题，学生的实践能力还有待提高。

因此，在教学过程中，我将以实例为载体，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直线与圆的位置关系，以及如何利用这一关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例的分析，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的实践能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的应用。

2.教学难点：如何将理论知识应用于实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、引导法、实践法等教学方法，结合多媒体课件、实例等教学手段，引导学生主动探究，提高学生的实践能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：讲解直线与圆的位置关系的理论知识，以及如何利用这一关系解决实际问题。

3.实践：让学生分组讨论，选取实例进行分析，将理论知识应用于实际问题。

4.总结：总结直线与圆的位置关系的应用，以及学生在实践过程中的收获。

5.布置作业：布置一些实际问题，让学生课后思考，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：直线与圆的位置关系1.直线与圆相离2.直线与圆相切3.直线与圆相交4.实例分析5.理论知识与实际问题相结合八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、实践能力、情感态度三个方面进行。

苏教科版初中数学九年级上册直线与圆的位置关系

苏教科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！直线与圆的位置关系课前参与姓名：________一、预习提纲（一）预习内容：课本P68—70；（二）问题探究：1.作图（1）如图，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线。

（2）如图，点D,E,F在⊙O上，分别过点D,E,F作⊙O的切线,3条切线两两相交于点A,B,C。

（3）如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？在上图中作出来。

2.知识整理（1）叫做三角形的内切圆。

（2）叫做三角形的内心。

（3）叫做圆的外切三角形。

3.思考一下，你通过预习还存在哪些疑惑？写在下面吧！课中参与例1．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F, ∠B=50°，∠C=70°，求∠EDF 的度数。

例2　已知：点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交外接圆于D ．则DB 与DI 相等吗？为什么？例3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，6=∆ABC S ,求△ABC 的内切圆半径r 。

例4．如图，等边△ABC 的边长为4，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，求⊙O 的半径。

课堂检测1．下列说法中，正确的是（）A 、垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B 、圆有且只有一个外切三角形C 、三角形有且只有一个内切圆D 、三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等2．已知点I 为△ABC 的内心，且∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠BIC= 。

3．在⊿ABC 中，∠A=50°F B （1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= .(2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= .4．已知直角三角形两直角边长为5、12，则它的外接圆半径R ＝，内切圆半径r ＝．5．如图，OA 、OB 是两条射线，点C 、D 分别在OA 、OB 上。

教学设计《直线与圆的位置关系》精选全文

可编辑修改精选全文完整版《直线与圆的位置关系》教学设计这个问题而使教学偏离重点，必要时可使用信息技术工具解决这个问题．教学目标知识与技能:了解直线与圆的三种位置关系的含义及图示．过程与方法:学会用两种方法判断直线与圆的位置关系．当直线与圆有公共点时，能通过联解方程组得出直线与圆的公共点的坐标．情感态度价值观:通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步理解到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想．重点用解析法判断直线与圆的位置关系难点理解能够通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系教法启发式探究式教学用具多媒体课时 2课时教学活动师生活动设计意图1.问题情境问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？2．揭示课题——直线与圆的位置关系问题2．前面问题能够转化为直线圆的位置关系问题．请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？直线与圆的位置关系公共点个数 d 与r 的关系图形相交两个r d让学生实行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．能够展示表格，使问题直观形象．让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。

从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

相切一个r d =相离没有r d >3．直线与圆位置关系的判断问题3:方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？问题4:这是利用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“dr 法”）．请问用“dr 法”的一般步骤如何？步骤:（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径r ；（3）求出圆心到直线的距离d（4）比较d 与r 的大小，确定直线与圆的位置关系．①当r d >时，直线l 与圆C 相离； ②当r d =时，直线l 与圆C 相切； ③当r d <时，直线l 与圆C 相交．问题5:对于平面直角坐标系中的直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l ，联立方程组 00222111=++=++C y B x A C y B x A ，我们有如下一些结论:①1l 与2l 相交，⇔方程组有唯一解；通过教师追问，引起学生思考．教师引导学生分析归纳引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法。

《直线和圆的位置关系》教学设计

《直线和圆的位置关系》教学设计《直线和圆的位置关系》教学设计（精选5篇）教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。

教学设计要遵循教学过程的基本规律，选择教学目标，以解决教什么的问题。

今天应届毕业生店铺为大家编辑整理了《直线和圆的位置关系》教学设计，希望对大家有所帮助。

《直线和圆的位置关系》教学设计篇1一、素质教育目标㈠知识教学点⒈使学生理解直线和圆的位置关系。

⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。

㈡能力训练点⒈通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。

⒉在7.1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系。

⑴点P在⊙O上OP＝r⑵点P在⊙O内OP＜r⑶点P在⊙O外OP＞r初步培养学生能将这个点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系互相对应的理论迁移到直线和圆的位置关系上来。

㈢德育渗透点在用运动的观点揭示直线和圆的位置关系的过程中向学生渗透，世界上的一切事物都是变化着的，并且在变化的过程中在一定的条件下是可以相互转化的。

二、教学重点、难点和疑点⒈重点：使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系。

⒉难点：直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的关径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解。

⒊疑点：为什么能用圆心到直线的距离九圆的关径大小关系判断直线和圆的位置关系？为解决这一疑点，必须通过图形的演示，使学生理解直线和圆的位置关系必转化成圆心到直线的距离和圆的关径的大小关系来实现的。

三、教学过程㈠情境感知⒈欣赏网页flash动画，《海上日出》提问：动画给你形成了怎样的几何图形的印象？⒉演示z＋z超级画板制作《日出》的简易动画，给学生形成直线和圆的位置关系的印象，像这样平面上给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然存在着若干种不同的位置关系，如果从数学角度，它的若干位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下。

苏科版数学九年级上册直线与圆的位置关系课件

尝试练习
2.已知⊙O的半径为5cm，圆心O与直线AB的距离为
d，根据条件填写d的范围:
d > 5cm
(1)若AB和⊙O相离，则
；
d = 5cm
(2)若AB和⊙O相切，则
；
0cm≤d < 5cm
(3)若AB和⊙O相交，则
.
圆的切线直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半
径长1cm，则CD= c3m.
C
A
O
D B
巩固练习 1.如图，在平面直角坐标系中，
半径为2的⊙P的圆心P的坐标
y
为（-3，0），将⊙P沿x轴正
方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 1或5 .
POx
2.如图，已知AB是⊙ O的切线，半径OC的延长线与
探索新知
1．尝试（1）P为⊙O外一点，如何用直角三角板经过点P作⊙O的切线？这样的切线能作几条？
（2）如图PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，沿直线
OP将图形对折，你发现了哪些等量关系？
你能通过证明
验证这些关系吗？

A
O•
P
B
概括
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
直线和圆的位置关系
位置关系
公共点个数
直线和圆的位置关系
o
o
dr
r d
o r
d
∟

“直线和圆的位置关系”教学设计

・
２・４
中学数学月刊
２１０２年第１期
编者按：为加强编辑部与中学的联系，刊编委第二次“ 本走进课堂” 于２１，０１年１Ｏ月１９日赴苏州工
业园区第二高级中学听课交流．园区二中始建于１５９６年，苏州工业园区办学历史最悠久的中学．０１是２０
习奠定基础．
２教材分析
问题
（）习直线和直线的位置关系以及点和圆１复
的位置关系．
（）过生活实例抽象出直线和圆的位置关２通
系，运用几何画板进行实时演示，生共同找出并师
判断直线和圆的位置关系的两种方法：数法，代几
“盎诙和固的侄置关系＂教设针
周敏（苏省苏州工业园区第二高级中学２５２）江１１１作者简介周敏，州工业园区第二高级中学苏
教师，先后有多篇文章发表．堂教学过程中注重与课
学生的有效交流，堂教学设计关注不同层次学生课不同程度的发展需求，追求课堂教学的有效性，学让生在轻松的教学活动中对所学知识有理解深刻，并
系积累经验．
从直观到抽象，实际问题到数学模型，生从师
共同完成对新知的探索．学生感悟到数形结合让
的魅力：数缺形时少直观，少数时难入微． “ 形 ”

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抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二
圆的切线问题
【例2】 (2011· 福建卷)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴
上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝ 4y是否相切？说明理由．
解析如图，取 AB 中点 C，连接 OC、
OA. 则 OC ⊥ AB ， |OA|＝ 2 2 ， OC ＝ |0－2×0＋5| 2 2 ＝ 5， 1 ＋－2 ∴AC＝ 8－5＝ 3，∴AB＝2AC＝2 3.
答案
2 3
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4．(2012· 泰州模拟)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y －1)2＝2的两切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
解 (1)依题意，点 P 的坐标为(0，m)．∵MP⊥l，
0－m ∴ ×1＝－1，解得 m＝2，即点 P 的坐标为(0,2)． 2－0 从而圆的半径 r＝|MP|＝ 2－02＋0－22＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考
(2)∵直线 l 的方程为 y＝x＋m， ∴直线 l′的方程为 y＝－x－m.
(2)AO＝ 9＋25＝ 34，lAO：5x－3y＝0， 1 1 1 点 C 到直线 OA 的距离 d＝，S＝ d· AO＝ . 2 2 34
抓住2个考点
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考向三
【例3】
直线与圆的综合问题
(2013· 淮安模拟)如图所示，已知
以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一 (1)证明
y＝kx＋1，由 2 2 x－1 ＋y＋1 ＝12，
消去 y 得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为 Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．
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知 AB＝2 R2－d2＝2
法三
(1Байду номын сангаас证明
因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 A(0,1)，
而 AC＝ 5<2 3＝R，所以点 A(0,1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 A.所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点． (2)解由平面几何知识知过圆内定点 A(0,1)的弦，只有和 AC(C
答案
x－ 3y＋2＝0
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揭秘3年高考
2．(2011· 安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a＝________. 解析答案由已知得圆的圆心为(－1,2)，则3×(－1)＋2＋a＝0， ∴a＝1. 1
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3．已知直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则AB ＝________.
第4讲直线与圆的位置关系
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揭秘3年高考
考点梳理
1．直线与圆的位置 (1)位置关系有三种：_____、 _____ 、相交．相离相切 (2)直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法． ①代数法：联立直线和圆的方程，根据方程组的个数，判定
位置关系．
若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离．
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法二
|k＋2| (1)证明圆心 C(1，－1)到直线 l 的距离 d＝ 2，圆 1＋k
k2＋4k＋4 11k2－4k＋8 C 的半径 R＝2 3，R2－d2＝12－＝，而在 1＋k2 1＋k2 S＝11k2－4k＋8 中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故 11k2－4k＋8>0 对 k∈R 恒成立，所以 R2－d2>0，即 d<R，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点． (2)解由平面几何知识， 8－4k＋11k2 ，下同法一． 2 1＋k
等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线
构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形． (2)对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．一个命题规律直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，通常考查位置关系的判断，圆的切线方程、直线与圆相交的弦长．圆与其他知识的交汇，一般在解答题中出现，题目难度不是很大．
y＝－x－m，由 2 x ＝4y，
得 x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当 m＝1 时，即 Δ＝0 时，直线 l′与抛物线 C 相切； ②当 m≠1，即 Δ≠0 时，直线 l′与抛物线 C 不相切．综上，当 m＝1 时，直线 l′与抛物线 C 相切；当 m≠1 时，直线 l′与抛物线 C 不相切．
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∴直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0. → → (3)∵AQ⊥BP，∴AQ· ＝0. BP → → → → → ∴BQ· ＝(BA＋AQ)· BP BP → → → → → → ＝BA· ＋AQ· ＝BA· . BP BP BP 当直线 l 与 x 轴垂直时，得
注意：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
(3)当直线与圆相交时，交点间的距离为圆的弦长，常用几何法求弦长，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为
抓住2个考点
l 2 r，则＋d2＝r2. 2
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【助学· 微博】二个结论 (1)当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离
距离为1，满足条件．
②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
|－k＋2| 3 即 kx－y＋5－3k＝0，故 2 ＝1，得 k＝ . 4 k ＋1 3 ∴方程为 y－5＝ (x－3)，即 3x－4y＋11＝0. 4 综上，所求直线方程为 x＝3 或 3x－4y＋11＝0.
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解析由对称性知所求距离即为圆 C 到直线 2x－y＝0 的距
15 离，即为 d＝＝3 5. 5
答案
3 5
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5．(2012· 泰州期末考试)过点C(3,4)且与x轴、y轴都相切的两个不同圆的半径分别为r1、r2，则r1r2＝________.
解析
由题意，可设圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(其中
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考点自测
1．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为________．
解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为
2，点 P 在圆上，设切线方程为 y－ 3＝k(x－1)， |2k－k＋ 3| 3 即 kx－y－k＋ 3＝0，∴ ＝2，解得 k＝ . 2 3 k ＋1 3 ∴切线方程为 y－ 3＝ (x－1)，即 x－ 3y＋2＝0. 3
条，这是因为有一条过这点的切线斜率不存在．
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【训练2】 (2013· 南京金陵中学月考)已知圆C：x2＋y2－4x－6y
＋12＝0，点A(3,5)． (1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
解 (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1. ①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的
(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；
(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·2＝－1. k
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【训练1】(2012· 南京师大附中)如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E 点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，
C(2,1)．
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程； (2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC
圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，
直线l与l1相交于点P.
(1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程； → → (3)BQ· 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说 BP 明理由．
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解
(1)设圆 A 的半径为 R.
∵圆 A 与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切， |－1＋4＋7| ∴R＝＝2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0.连接 AQ，则 AQ⊥MN. ∵|MN|＝2 19，∴|AQ|＝ 20－19＝1. |k－2| 3 由|AQ|＝ 2 ＝1，得 k＝ . 4 k ＋1
|m|＝|n|＝r)，则有(3－m)2＋(4－n)2＝r2，整理得r2－6m－8n ＋25＝0，即r2±14r＋25＝0或r2±2r＋25＝0，由此得r1r2＝ 25. 答案 25
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考向一
直线与圆的位置关系