【高考数学二轮复习压轴题微专题】第50讲 以解析几何为背景的探索性与新颖性问题-解析版

第50讲 以解析几何为背景的探索性和新颖性的问题
本讲中的许多问题牵涉到直线与圆锥曲线的关系问题, 这是解析几何综合题求解过 程中经常碰到的重大知识点汇集得最多最为紧密的地方, 在数学上任何一个知识点都有 其生成与发展以至应用的过程,它们绝对不是独立的概念,必然与其他知识点有着密切的 联系,构成一串串的知识链, 所以许多数学知识要联系起来看, 直线与曲线的位置关系以 及由此引出的探索性与新颖性问题正是需要集合众多的知识与方法才能攻克的题型.
以解析几何为背景的探索性与新颖性问题研究的核心仍然是直线与圆锥曲线的关系 问题,在题目的设计上布置了一个新的场景,探索性问题大部分是存在判断型. 新颖性问题则在研究型上做文章,所以攻克这类高考热点题型, 主要应㧓住以下几点.
（1）直线与圆锥曲线的相对位置关系,如交点个数问题, 仅通过方程组解的状况来判 断是不够的,如椭圆是一条光滑的封闭曲线, 可以类似于直线与圆的位置关系加以研究 (用判别式), 双曲线与抛物线都不是封闭曲线, 当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线 的对称轴平行时, 直线与曲线仅有一个公共点,并不仅是方程组求解时 0∆= 的情景, 圆锥 曲线与圆锥曲线的关系问题更要结合图形及相关性质加以分析.
(2) 研究直线被圆锥曲线所截弦的问题, 消元后若求弦长,则常用韦达定理和
弦长公 式 12L x =- 或
12L y =-. 若运用直线的参数方程,
则利用参数 方程中参数 t 的几何意义: 12L t t =-, 求弦上某点的坐标,则常用韦达定理和定比分点 公式、中点坐标公式, 可见韦达定理在解析几何中的应用非常重要,若牵涉到参变量,则参 变量的取值范围不容忽视.
（3）关于直线与圆锥曲线关系中点的对称问题,如曲线上两点关于已知直线对称, 求 某参变量的取值范围,必须紧紧㧓住垂直、平分两个方面并结合两个对称点的存在性.
解析几何探索性与新颖性问题的解答常常是代数的方法与几何图形的分析结合在一 起,有时还要与函数、导数,不等式、三角函数、数列、向量等知识相交汇, 此类题型的解法 “奇伟”“瑰丽", 从中时时会显露出数学之美. 解题时应当好好揣摩题
意, 并想方设法作进 一步探讨,若不敢越雷池一步,势必会束缚人的才智, 也不利于创新思维的开发与创新精 神的培养.
下面介绍的就是近几年中出现的各类好题,仔细研读它们,你会发现以解析几何为背 景的探索性、新颖性与研究性问题粗一看总是“山穷水复疑无路",一旦领悟,找到了攻克 的方向,就会出现“柳暗花明又一村”了.
典型例题
【例1】(1) 已知椭圆 2222:1(0)x y C a b b a +=>> 的离心率
e =
, 且椭圆 C 上的点到点 (3,0)T 的最大距离为 4 , 若 ()00,P x y 在椭圆 C 上, 则 00,x y Q b a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭ 称为点 P
的一个 “和谐点”, 直线 l 与椭圆交于 ,A B 两点, A B 、 两点的“和谐点”分别为 ,M N , 已知以 M 、N 为直径的圆经过坐标原点. (1) 求椭圆 C 的方程;
（2） AOB ∆ 的面积是否为定值? 若为定值,试求出该定值;若不是定值, 请说明理由. 【分析 】本题给出了“和谐点”的新情景,所谓“和谐点”的本质是点(坐标轴)的伸缩变换, 解决的方法是相关点法. OMN ∆ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形. 若其面积 为定值, 能否具有运动变化中的不变性? 而 AOB ∆ 与 OMN ∆ 等高,问题就转化为只需探求底边的关系, 应借助平面几何知识推证. 另外,涉及坐标的三角形面积公式为 : 在 ABC ∆ 中,
(,),(,)AB x y AC u v ==, 程 ABC ∆ 的面积为
1
||2S xv yu =
-, 此结论与 2015 年高
考数学上海卷理科第21 题类同, 读者可以参阅下面的例 2第(1)问,利用离心率建立a,b 的关系, 消元后根据有界性利用最大距离为 4 得到 b , 再确定 ,a 从而求得椭圆C 的方程. 第(2)问,建构M 、N 与△AOB 的面积关系为解题的关键,在用坐标法研究几何问题时,应充分利用几何图形的性质简化运算过程,
【解析 】(1) 由题意得
c e a =
=, 故 2a b =.
椭圆 C 的方程可设为 2
2
2
44(0)x y b b +=>.
设 (,)R x y 是椭圆 C 上的任意一点, 其到 T 点距离的平方为
222222222222||(3)69694436943(1)124,[,]
RT x y x x y x x b x x x b x b x b b =-+=-++=-++-=--++=-+++∈-
若 01b <<, 当 x b =- 时, 2||RT 取得最大值 2
(3)b +, 即
2(3)16b +=. 解得 1(b = 舍去);
若 1b , 当 1x =- 时, 2
||RT 取得最大值 2124b +, 即 2
12416b +=.
解得 1,2b a ==.
故椭圆 C 的方程为 2
21
4y x +=.
(2) 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则
1212,,,22y y M x N x ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. (1) 当直线 AB 的斜率不存在时, 即 1212,x x y y ==-, 由以 MN 为直径的圆经过坐标原点可得 OM ON ⊥, 即
22
1211210224y y y x x x +⋅=-=, 即 22
114x y =
又点 ()
11,A x y 在椭圆上, ∴2211414x x +=, 解得
11x y ==. ∴
1121
12AOB S x y y ∆=
⋅-=
2. 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y kx m =+.
由2
24y kx m y x =+⎧⎪
⎨+⎪⎩消去y 得()222
4240k x kmx m +++-=
由根与系数的关系可得
212122
224
,44km m x x x x k k --+==++. 由以 MN 为直径的圆经过坐标原点可得 OM ON ⊥,
从而有
12
1204y y x x +
=, 即 121240x x y y +=.
故 ()()()
()22
12
121212440x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=. 将 1212,x x x x + 之值代人,整理得 2222240,42m k k m --=∴+=.
而
()()()22
2
21212122
216444k m x x x x x x k +--=+-=
+
故
||AB =
而点 O 到直线 AB 的距离
d =
2
2111||222424
14122ADB
S AB d m m m
∆∴=⋅==+-=⨯=
综合 1、2 可知, AOB ∆ 的面积为定值 1 .
【例2】已知椭圆 22
21x y +=, 过原点的两条直线 1l 和 2l 分别与椭圆交于 ,A B 和
C D 、, 记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S .
(1) 设 ()()1122,,,A x y C x y , 用 A C 、 的坐标表示点 C 到直线 1l 的距离, 请证明:
12212S x y x y =-
(2) 设 1l 与 2l 的斜率之积为
1
2-
, 求面积 S 的值.
【分析 】本题以直线与椭圆的位置关系为考查对象,涉及证明与求值.第(1)问的证明实质是推导用坐标表示的平行四边形的面积公式。

读者可以从中归纳出三角形面积如何用坐标表示,虽然这是常规题,但能力立意突出,切入点也较多,可以有不同的证法与解法。

【解析 】(1) 证法一、依题意, 直线 1l 的方程为
1
1y y x x =
,
点 C 到直线 1l 的距离为
d =
=
,
又
1221||2||||2AB AO S AB d x y x y ===⋅=- 证法二、由题意知 04A C S S ∆=, 且
1
||||1cos 2AOC S OA OC ∆=
⋅-
2
222122111
||||1||||()22||||12OA OC OA OC OA OC OA OC OA OC x y x y ⎛⎫
⋅=⋅-=⋅-⋅ ⎪⋅⎭=
==-
故 12
212S x y x y =-.
（2）解法一、设直线 1
l 的斜率为 k , 则直线
2l
的斜率为
1
2k -
.
直线 1l 的方程为 y kx =, 由 2221x y y kx ⎧+=⎨
=⎩,得
x =, 不妨设
1x =
由对称性得
1y =
.
同理可得
22x y =
=
, 因此 12212S x y x y =-.
解法二、将 ()()1122,,,A x y C x y 代人 22
21x y +=, 得 2211222221
21x y x y ⎧+=⎨+=⎩
两式相乘, 得 (
)()
2
2
221
12
2221x y x
y ++=, 展开得 22222222
121212214221x x y y x y x y +++=
即 ()
()2
2
12121221221x x y y x y x
y ++-=. (1)
而 1l 与 2l 的斜率之积为 12-, 故有 2121
12y y x x ⋅=-, 即 12
1220x x y y +=, 代人(1)式得 ()2
122121x y x y -=
, 即
12212x y x y -=
, ∴12212S x y x y =-=
解法三、椭圆 22
21x y += 可化为2
2
1
1
2y x +=,
参数方程为 cos [0,2).sin 2x y θ
θπθ=⎧⎪
∈⎨=⎪⎩
设 1122cos ,sin ,cos ,22A C θθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭, 则
112
1212122cos cos 2l OA Oc
k k k k θθθθ==⋅=-
整理得 1212cos cos sin sin 0θθθθ+=, 即
()12cos 0θθ-=.
由 (1) 知
1221122122cos cos sin 22S x y x y θθθθ=-=⋅
-⋅
(
)121212cos cos sin θθθθθθ=-=-=【例3】$已知椭圆Γ的方程为22
2
210 ()x y a b a b +=>>， 点P 的坐标为( ,)a b -
(1) 若直角坐标平面上的点 ,(0,),(,0)M A b B a - 满足 1
()2PM PA PB =
+, 求点 M 的
坐标;
(2) 设直线 11:l y k x p =+ 交椭圆 Γ 于 C D 、 两点, 交直线 22:l y k x = 于点 E , 若
2
122
b k k a =-, 证明: E 为 CD 的中点;
（3）对于椭圆 Γ 上的点 (cos ,sin )(0)Q a b θθθπ<<, 如果椭圆 Γ 上存在不同的两
点 12,P
P 使得 12PP PP PQ +=, 写出求作点 12 P P 、 的步骤,并求出使 12,P P 存在的 θ 的取值范围;
(4) 设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l
与椭圆 Γ 的两个交点 12 P
P 、 满足 12PP PP PQ +=; 令 10,5a b ==, 点 P 的坐标是 (8,1)--, 若椭圆 Γ 上的点 12 P
P 、 满足 12PP PP PQ +=, 求点 12 P P 、 的坐标.
【分析 】本例以直线与圆锥曲线的关系为载体,并把平面向量、解析几何、三角知识综合起来,考查向量的运算.直线与圓锥曲线关系中弦、弦的中点点与曲线的位置关系、三角恒等变形、三角不等式等众多的基础知识与解题技能,考查多个方面的数学核心素养.通常我们讲以解析几何为背景的探索性与新颖性问题,有一类题型涉及新定义、新概念、新场景,其实“新”并非一定“难”,理解了条件中的“新”,化“新”为“旧”不难解决,另一类题型涉及多方面的数学知识,探究的问题一大，堆且各不相同,这才是高难度的探索性与新颖性问题.比如本题集计算、证明作图、探究于一体,烟雾重重,难度较大,这类题的求解既要宏观把握,又要落实细节,偶翻钱
锺书《宋诗选注》,深受启发.解数学难题好比人入山水之间,景色千变万化,险景常临眼前,仿佛是郑獬诗所描写:“前树未回疑路断,后山才转便云遮”,通过思考解决难题其意境正如王安石诗:“青山缭绕疑无路,忽见千帆隐映来”“一水护田将绿绕,两山排闼送青来”,陆游诗:“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,陆游诗:“一雨池塘水面平,淡磨明镜照檐楹东风忽起垂杨舞,更作荷心万点声”,这些诗句都写得无比贴切生动,这岂不正是解数学难题的心路历程? 【解析】
(1)设点M 的坐标为()()()00,,
,2,2,x y PA a b PB a b =-=-,
()
()0013
3,,22
2PM PA PB a b x a y b ⎛⎫∴=
+=-=+- ⎪⎝⎭ 于是,点M 的坐标为,22a b ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. (2)证明由12222,
1y k x p x y a b
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
222222222
1120b a k x a k px a p a b +++-=.
CD ∴中点坐标为2212222
22
11,a k p b p
b a k b a k ⎛⎫-⋅ ⎪++⎝⎭
22
122221
,.b b k k k a a k =-∴=-
由1221,
,y k x p b y x a k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
得1l 与2l 的交点E 的坐标为221222
22211,.a k p b p b a k b a k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
由同一法,可知1l 与2l 的交点E 为CD 的中点.
(3)第一步:取PQ 的中点cos sin ,22a a b b R θθ-+⎛⎫
⎪⎝⎭
; 第二步:过点R 作斜率为()()
cos 11sin b a θθ--
+的直线交Γ于12,P P 两点.
由(2)可知,R 是12P P 的中点,则12PPQP 是平行四边形,有12PP PP PQ +=.
要使12,P P 存在,则点
cos sin ,22a a b b R θθ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭
必须在椭圆内. 将cos 2a a x θ-=代人椭圆Γ的方程,得222(cos 1)14y b θ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦,
当且仅当2222(sin 1)(cos 1)144b b θθ⎡⎤+-<-⎢⎥⎣⎦
时,点R 在椭圆内.
整理得,22
(1sin )(cos 1)4θθ++-<,即2sin 2cos 1θθ-<,
亦即sin 4πθ⎛
⎫
-
< ⎪
⎝
⎭,
又0,0arcsin 44
πθπθ<<∴<<
+.
(4)设OF 的斜率为1k ,过作斜率为2
22
1b k k a =-的直线交椭圆于1P ,2P 两点.
由(2)可知,F 是12P P 的中点,四边形12PPQP 是平行四边形.
12PP PP PQ ∴+=,直线12P P 即为所求.
由10,5a b ==及点()8,1P -,得PQ 的中点为11,2S ⎛
⎫-
⎪⎝⎭,OS 的斜率1.2
os k =- 过点S 且斜率2251102
os os k k =-=的直线方程是()1
22y x =-.
记l 与Γ的交点为12,P P ,则12PP PP PQ +=,由()22110025
122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
解得()()
128,3,6,4P P --.
强化训练
1. 从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的动点M 作圆222x y b +=的两条切线,切点为P
和
Q ,直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ,求
EOF 面积的最小值.
【解析 】【解法一】
设()()()001122,,,,,M x y P x y Q x y 由题设知000,0x y ≠≠, 直线MP 和MQ 的方程分别为2
2
1122,x x y y b x x y y b +=+=, 点M 在直线MP 和MQ 上,
2210102020,x x y y b x x y y b ∴+=+=,
从而()()1201200x x x y y y -+-=,即
012120
y x x y y x -=-,可得直线PQ 的方程为2
00x x y y b +=.
直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为20,0b E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和200,b F y ⎛⎫
⎪⎝
⎭.
EOF 的面积4
00
1122BOF
b S
OE OF x y ==⋅. 22222200b x a y a b +=,又2222000000
2,2
ab
b x a y ab x y x y +=∴, 3BOF
b S
a ∴,当222222
002a b b x a y ==时,EOF 面积取得最小值3b a
.
【解法二】
设()[)()
cos ,sin 0,2M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆2
2
2
x y b +=的切点弦,
其方程为2
cos sin a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b
x y a θθ
==.
33
1
2sin2
BOF E F
b b
S x y
a a
θ
=
=,当且仅当M
点坐标为,
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
时等号成立.
2.设抛物线22(0)
y px p
=>的焦点是,,
F A B是抛物线上互异的两点,直线AB与x轴不垂直,线AB的垂直平分线交x轴于点()
,0
D a,记m AF BF
=+.
(1)证明:a是p与m的等差中项;
(2)设3
m p
=,直线//
l y轴,且l被以AD为直径的动圆截得的弦长恒为定值,求直线l的方程.
【解析】
()1【证明】
如答图310
-所示,根据条件知,抛物线准线:,0,
22
p p
l x F
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
'
过A作AP l
⊥'于P,过B作BQ l
⊥'于Q,过C作CR l
⊥'于R.
设()
2
2,2
A A
A pt pt,()
2
2,2
B B
B pt pt,则()()
()
22,
A B A B
C p t t P t t
++.
易知()
22
2
A B
p
CR p t t
=++,
于是2
m p AF BF p AP BQ p CR p
+=++=++=+
()()
2222
221
2
A B A B
p
p t t p p t t
⎡⎤
=+++=++
⎢⎥
⎣⎦
.
又()
22
221
,
22
B A
AB CD A B
B A A B
pt pt
k k t t
pt pt t t
-
==∴=-+
-+
易知直线()()()
22
:.
A B A B A B
CD y t t x p t t p t t
⎡⎤
=-+-+++
⎣⎦
从而知()
22
A B
a p t t p
=++,于是()
22
221
A B
a p t t
=++.
综上所述知,a是p与m的等差中项.
(2)根据(1)的结论知,当3m p =时,D 点坐标为()2,0p .
令()22,2A A A pt pt ,则以AD 为直径的QE ,圆心坐标为()()21,A A E p t pt +,
半径r =设直线:l y k =.作EG l ⊥于G ,则()
21A EG p t k =+-, 于是知直线l 被圆E 所截得的线段长度为:
== 由于此截得的线段长度恒为定值.
32302p k p k ∴-=⇒=
于是直线3:2p l x =.。