(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(十)抛物线及其标准方程新人教A版选修2_1

课时跟踪检测（十） 抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．抛物线y ＝12x 2
上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．148
D ．124
解析：选C 将方程化为标准形式是x 2
＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124．故到焦点的
距离最小值为1
48
．
2．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2
＋y 2
＝16相切，则p 的值为( ) A ． B ．1 C ．2
D ．4
解析：选C ∵抛物线y 2
＝2px 的准线x ＝－p
2与圆(x －3)2＋y 2
＝16相切，∴－p
2＝－1，
即p ＝2．
3．已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝( )
A ．7
2 B ．5
2 C ．3
D ．2
解析：选C 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ＝4FQ ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3．故选C ．
4．设圆C 与圆x 2
＋(y －3)2
＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆
D ．圆
解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆
C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹
是一条抛物线．
5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的
焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2
＝833y
B ．x 2
＝1633y
C ．x 2
＝8y
D ．x 2
＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于c
a ＝
a 2＋
b 2
a 2
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝2，所
以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ．抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p
22＝2，
所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2
＝16y ．
6．抛物线x ＝14m
y 2
的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y 2
＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)
7．若抛物线y 2
＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 解析：设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1， 由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9， ∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：9
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y 2
＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y 2
＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2
＝10x 上
一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2
＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，
过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，
垂足为(2,1)时，则k ＝－2，
此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2
＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，－p 2，准线l ：y ＝p
2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，
而|MN |＝3＋p 2，3＋p
2
＝5，即p ＝4．
所以抛物线方程为x 2
＝－8y ，准线方程为y ＝2． 由m 2
＝－8×(－3)＝24，得m ＝±26．
法二：设所求抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－p 2． ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，
故⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
＝6p ， m 2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨
⎧
p ＝4，
m ＝±2 6.
∴抛物线方程为x 2
＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2
＝－
2py (p >0)，
因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2
＝－5y ． (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0．5， 故D (3．5，h －6．5)，
代入方程x 2
＝－5y ，解得h ＝4．05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线
D ．抛物线
解析：选D 设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点
P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．
2．抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△
FPM 为等边三角形时，其面积为( )
A ．2 3
B ．4
C ．6
D ．4 3
解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l ． 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4， ∴S △PMF ＝
34
×42
＝43．故选D ． 3．已知抛物线x 2
＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ．3
2
C ．1
D ．2 解析：选D 设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)．过M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，过
A 作AC ⊥l 于C ，过
B 作BD ⊥l 于D ，则|MN |＝
|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|BF |2≥|AB |
2
＝3，所以AB 中点到x 轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB 过焦点，故选D ．
4．设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5．若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )
A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2＝2x 或y 2
＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x
D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p
2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，
则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
02p ，y 0－2．由已知得，AF ·AM ＝0，即y 2
0－8y 0＋16＝0，
因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8p
，4．
由|MF |＝5得，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C ．
5．设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝________．
解析：因为FA ＋FB ＋FC ＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝x A ＋1＋
x B ＋1＋x C ＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y 2
＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM |＝5，
∴点P 的坐标为(4,4)，
∴S △PMF ＝1
2
×5×4＝10．
设△PMF 的内切圆圆心为O ′，半径为r ， ∴S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF ， 即12(5＋5＋25)r ＝10，解得r ＝5－52， 故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π．
答案：15－552
π
7．已知M 是抛物线y 2
＝2px (p >0)上任一点(不与原点重合)，F 是其焦点． 求证：以MF 为直径的圆与y 轴相切．
证明：如图，过M 作MN ⊥l 于N ，交y 轴于点Q ，O ′是MF 的中点，作O ′R ⊥y 轴于R ．
∵|MF |＝|MN |，|OF |＝|OP |＝|QN |， ∴|O ′R |＝1
2(|OF |＋|QM |)
＝1
2(|QM |＋|QN |) ＝12|MN |＝1
2
|MF |， ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切．
8．设P 是抛物线y 2
＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．
(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1． 由抛物线的定义，知|PF |＝d ，
于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．
如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22
＋12
＝5． (2)把点B 的横坐标代入y 2
＝4x 中，得y ＝±12，
因为12>2，所以点B 在抛物线内部．
自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)． 由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，
则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．。