中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题含答案

中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题含答案
一、锐角三角函数
1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；
（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；
（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】
（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中，sin AC B AB =
，所以3sin 3725155
AC AB ︒
=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.
（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4
sin 15125
CM AC CAM =⋅∠=⨯
=，3
cos 1595
AM AC CAM =⋅∠=⨯=.
在Rt ADM △中，tan MD
DAM AM
∠=，
所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =
+=+==-=，.
设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24917
16
=，解得617
v=.
经检验，617
v=是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.
(1)求的面积；
(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)
(参考数据：，，，，，，
)
【答案】（1）560000（2）565.6
【解析】
试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；
（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.
试题解析：(1)过点作交的延长线于点，
在中，，
所以米.
所以(平方米).
(2)连接，过点作，垂足为点，则.
因为是中点，
所以米，且为中点，
米，
所以米.
所以米，由勾股定理得，
米.
答：、间的距离为米.
考点：解直角三角形
3．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：
∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣
∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.
【解析】
试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.
在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长
度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．
试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB 与OD相交于点M，连接OB，
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，
∵tan∠ABC=，∴，∴，
∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，
∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，
∴BG=BQ=，GN=NQ=，
∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：
AI=25，
设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，
∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=
时，∴QD=，
∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=
∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，
∵tan∠OED=，∴，
∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．
考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.
4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4
cos 5
AOC ∠=
．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．
（1）求证：AP OQ =；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050
(10)13
x x y x x -+=<<；（3）8OP =
【解析】 【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结
OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻
找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；
（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4
cos 5
AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】
（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠，
∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，
{OP DQ
POA QDO OA DO
=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；
（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5
AOC ∠=， ∴4455OH OP x =
=，35PH x =， ∴1
32
AOP S AO PH x ∆=
⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴
22
10(
)()AOP
y CP x S OP x
∆-==， ∴2360300
x x y x
-+=，当F 与点D 重合时，
∵4
2cos 210165
CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴
101016x x =-，解得50
13
x =， ∴2360300x x y x
-+=
50
(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4
cos 1085
OP OA AOC =⋅∠=⨯
=； ②当90POE ∠=o 时，
101025
4cos cos 25OC CQ QCO AOC =
===
∠∠，
∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622
=-=， ∵
50
1013
OP <<，
∴7
2
OP =
（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，
∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．
5．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米． 【解析】
试题分析：先根据两个坡比求出AE 和BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和BC ，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC ，梯形的面积公式可得出答案． 试题解析：∵迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，DE=30m ， ∴AE=18米，
在RT △ADE 中，22DE AE +34 ∵背水坡坡比为1：2， ∴BF=60米，
在RT △BCF 中，22CF BF +5
∴周长345（345）米， 面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．
6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，连接BD ，将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′（B ′与B 重合），且点D ′刚好落在BC 的延长上，A ′D ′与CD 相交于点E ． （1）求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分（如图1中阴影部分A ′B ′CE ）的面积；
（2）将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得△AA ′B ′成为等腰三角形？若存
在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）45
2
；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32 669-． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝
'''''
=A B CE A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤
115时和当11
5
＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，
根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''
=A B CE A D CD ∴
682
=CE ∴CE ＝
3
2
cm ， ∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝86345
22222
⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝3
2
（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32
， ∴y ＝
12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452
；
②当
115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝4
3
（8﹣2x ） ∴()2
14y 8223x =
⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；
②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245
， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣
245）2+（2x +18
5
）2＝36， 解得：x ＝
6695-，x ＝669
5
--（舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝24
5
， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2 ∴36+4x 2＝（6﹣245）2+（2x +18
5
）2 解得：x ＝
32
． 综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32秒、6695
-．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
7．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O
于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ． （1）求证：△PAC ∽△PDF ；
（2）若AB ＝5，¼¼AP BP
=，求PD 的长．
【答案】(1)证明见解析；（2310
【解析】 【分析】
（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶AD
AC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；
（2）连接OP ，由¶¶AP
BP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝
BC
AC
，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP
GE ED =，然后根据勾股定理即可得到结果． 【详解】
（1）证明：连接AD ，
∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径， ∴¶¶AD
AC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ， ∵∠FPC ＝∠B ， ∴∠ACD ＝∠FPC ， ∴∠APC ＝∠ACF ， ∵∠FAC ＝∠CAF ， ∴△PAC ∽△CAF ；
（2）连接OP ，则OA ＝OB ＝OP ＝
15
22
AB =， ∵¶¶AP
BP =， ∴OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ， ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2BC，
∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BC
AC
，
∴
1
2 CE BE
AE CE
==，
∴AE＝4BE，
∵AE+BE＝AB＝5，
∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，
∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，
∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED
=，
∴
2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==，
∴GE＝2
3，OG＝
5
6
，
∴PG＝225
OP OG
6
+=，
GD＝222 3
DE GE
+=，
∴PD＝PG+GD＝310
2
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得
△OPG∽△EDG是解题的关键．
8．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；
（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233
384
y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=4
5
PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+
4
5
PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=
18
5
，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0） ∴y ＝a （x+2）（x ﹣4） 把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3 ∴a ＝﹣
38
∴抛物线解析式为y ＝﹣
38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34
x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP ＝∠COB ＝90°
∵∠DCP ＝∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B （4，0），C （0，3）
∴OB
＝4，OC ＝3，BC ∴PD ＝
45
PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+
4
5
PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小 ∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC ∴S △ABC ＝12AB•OC ＝1
2
BC•AE ∴AE ＝
6318
55
AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18
∴5PA+4PC 的最小值为18．
（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°
∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝
3
5
FG FQ = ∴FG ＝
35FQ ＝95
∴x Q ＝1﹣9455=-，QG 125==
①若点Q 在x 轴上方，则Q （412
55
-，）
设直线l解析式为：y＝kx+b
∴
40 412 55 k b
k b
-+=
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
解得：
3
4
3
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线l：33
4
y x
=+
②若点Q在x轴下方，则Q（
412
55
--，）
∴直线l：33
4
y x
=--
综上所述，直线l的解析式为
3
3
4
y x
=+或
3
3
4
y x
=--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论
9．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
(1)求证：∠EPD=∠EDO；
(2)若PC=3，tan∠PDA=
3
4
，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（25.【解析】
【分析】
（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=3
4
，可求出CD=2,进而求得
OC=3
2
，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
【详解】
（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，
∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，
∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.
（2）连接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△PAD中，
AD=4，22
PA AD
+，∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△OCD中，
OC=3
2
，
22
OC CD
+
5
2
，
∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=
2
5
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
25
4
，
∴OE=5
2
．
【点睛】
本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠PDA=3
4
，得线段的长是解题关键.
10．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．
【答案】（1）证明见解析（2）
613
【解析】
【分析】
（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；
（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值．
【详解】
（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，
∴BC＝CE，AC⊥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥CE，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F，∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，
∴在Rt△BDE中，
2222
BD BE DE64213
=+=+=∵S△BDE＝
1 2
×DE•AD＝
1
2
AF•BD，
∴AF＝613
13
213
=，
∵Rt△ABC中，AB＝22
34
+＝5，
∴Rt△ABF中，
sin∠ABF＝sin∠ABD＝
613613
5
AF
AB
==
方法二、如图2所示，过点O作OF⊥AB于点F，
同理可得，OB＝
1
13
2
BD=，
∵S△AOB＝11
OF AB OA BC
22
⋅=⋅，
∴OF＝236
55
⨯
=，
∵在Rt△BOF中，
sin∠FBO＝
0613
513
F
OB
==，
∴sin∠ABD＝613．
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD ．
11．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O e 的切线. ②当6BD =，3
tan 4
F =
时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203
CF =. 【解析】 【分析】
（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；
②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=4
3
BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =3
4
，即可求出CF ． 【详解】
解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，
90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥Q ， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，
180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC .
OA OC =Q ，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q ， 321∴∠=∠.
42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥Q ， OC CF ∴⊥.
又OC Q 为O e 的半径， CF ∴为O e 的切线.
②由（1）知//CF AD ，
BAD F ∴∠=∠，
3tan tan 4
BAD F ∴∠==， 3
4
BD AD ∴
=. 6BD =Q
4
83
AD BD ∴=
=， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==. OC CF Q ⊥， 90OCF ∴∠=︒，
3
tan 4OC F CF ∴==，
解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
12．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PA AD PC CD
；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝3
5
，CF＝5，求BE
的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到
∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到
CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，
设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为
⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3
5，得到
BE
AB
＝
3
5
，于是求得
结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=3
5
，
∴sin∠FAD=3
5
，
在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R t△OCD中，设OC=r，
∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，
∵sin∠EAD=3
5，∴
3
5
BE
AB
，
∵AB=20，
∴BE=12．
【点睛】
本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．
13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．
（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；
（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），
①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；
②求出使为直角三角形时的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.
【解析】
【分析】
（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求
解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．
【详解】
解：（1）把点坐标代入直线表达式，
解得：，则：直线表达式为：，令，则：，
则点坐标为，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
把点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故：抛物线的解析式为：，
故：答案为：，；
（2）①∵在线段上，且轴，
∴点，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值是3，
②当时，点的纵坐标为-3，
把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；
当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，
设：直线的表达式为：，
把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），
当时，不合题意舍去，
故：使为直角三角形时的值为3或；
（3）∵，，
在中，，则：，，
∵轴，
∴，
若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，
则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.
当过点的直线与抛物线有一个交点，
点的坐标为，设：点坐标为：，
则：，过点作的平行线，
则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，
解得：过点直线表达式为：，
将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，
，
将代入上式并整理得：，
解得：，则点的坐标为，
则：点坐标为，则：，
∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，
即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，
直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
，解得：，
则点、的横坐标分别为，，
作交直线于点，
则，
作轴，交轴于点，则：，，
，
则：，
同理：，
故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N点的坐标．
14．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求tan∠BAE的值；
（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为
22
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；
（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；
（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，
∴△ABF∽△ACE．
（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．
∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ， ∴BE ＝EB ，
∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°， ∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°， ∴HC ＝EH ，
∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1， ∴x+x ＝2+1， ∴x ＝1，
在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°， ∴tan ∠EAB ＝
221
BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．
作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝
2
2
， ∵AC 22AB BC +2， ∴OA ＝OC ＝OB ＝
12AC ＝222
+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝2
2
， ∴HM ＝OH+OM 22
+，
在Rt △EHM 中，EH ＝22
22222EM HM 22⎛⎫⎛⎫
+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．． 【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
15．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD=
4
5
，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．
【答案】tan ∠AEC=3, CD=12
125
【解析】
解：在RT △ACD 与RT △ABC 中
∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=
45
在RT △ABC 中，
4
5
BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由
3
5
BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且2 则2，2 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC
EC
=3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=
45CD AC = ,，12
125。