2013年第二学期北京四中初二期中数学试题(附答案)

数学试卷
（考试时间为100分钟，A 卷满分为100分,B 卷满分为20分） 班级________ 学号_______ 姓名 分数_________
（A 卷）
一．精心选一选: （本题共30分，每小题3分）
1．3a -在实数范围内有意义，则a 的取值范围是 ( )． A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ≥―3 D ．a ≤―3
2．若双曲线k
y x
=与直线21y x =+一个交点的横坐标为－1，则k 的值为（ ）．
A ．－1. B. 1 C.－2 D.2
3．已知平行四边形ABCD 的两条对角线 AC 、BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为（-2，3），则点C 的坐标为 （ ）． A.（-3，2） B.（-2，-3） C.（3，-2） D.（2，-3）
4．若29x y -+与|x －y －3|互为相反数，则x ＋y 的值为 （ ） ． A ．27 B ．9 C ．12 D ．3
5．下列线段不能组成直角三角形的是 （ ）．
A ．1,2,3a b c ===
B ．53
,1,44a b c ===
C ．2,3,5a b c ===
D ．7,23,24a b c === 6．在算式3
()3
-
3()3
-的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是
（ ）．
A ．加号
B ．减号
C ．乘号
D ．除号
7．若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为 （ ）． A ．10 B ．27 C ．10或27 D ．10或7
8．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的为 （ ）． A ．AB=CD ，AD=BC B ．AD=BC ，AD ∥BC C ．AB=CD ，∠B=∠D D ．AB ∥CD ，∠A=∠C
9．已知b >0，化简二次根式b a 3-的正确结果是 （ ）．
A ．ab a --
B ．ab a -
C ．ab a
D ．ab a -
10．如图，直线l 交y 轴于点C ，与双曲线y ＝x
k （k ＜0）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点 （不与A 、B 重合），Q 为线段BC 上的点（不与 B 、C 重合），过点A 、P 、Q 分别向x 轴作垂线， 垂足分别为D 、E 、F ，连结OA 、OP 、OQ ，设 △AOD 的面积为S 1、△POE 的面积为S 2、 △QOF 的面积为S 3，则有（ ）
A ．S 1＜S 2＜S 3
B ．S 3＜S 1＜S 2
C ．S 3＜S 2＜S 1
D ．S 1=S 2=S 3
二．细心填一填: （本题共18分，每小题3分） 11．计算1
24183
-⨯
= ． 12．比较大小：
51
2
- 12．（填“>”、 “<”或“=”）．
13．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=2cm ，则BC=_____cm ． 14．已知：如图，线段AB 、DE 表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB ＝3m ，∠ABC ＝45°，要使∠EDC ＝60°，则需BD ＝ m. 15．如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底2cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是______________
（第14题图） （第15题图） （第16题图）
A
B
C D
E
蚂蚁A
蜂蜜 C
2
4
3
O
三．用心算一算:(17题每小题4分，18题5分，共13分) 17．计算： (1)23)31(123
1
0---+-； (2) 2)32()122)(488(---+．
18．已知: 21x =-， 求223x x +-的值．
四．解答题（19、20题5分，21题6分，共16分）
19．已知：如图，A 、C 是 DEBF 的对角线EF 所在直线上的两点，且AE=CF ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
20．如图，直线1y k x b =+与双曲线y ＝2
k x
相交于A （1，2），B （m ，－1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）, E （x 3,y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞2k
x
的
解集．
21．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AB=6，AD=8，在AB 上取一点E ，将纸片沿DE 翻折，使点A 落在BD 上的点F 处，求AE 的长．
五．动手画一画（4分）
22．如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出边长为53,10,5的格点三角形△ABC.
A B
C
D
E
F
O x
y
A
B
②△ABC 的面积=_______________．
六．解答题 （第23、24题每题6分，25题7分，共19分）
23．如图，已知ΔABC 是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ΔABM 和ΔCAN ，D 、E 、F 分别是MB ，BC ，CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE=EF
24．如图，直线y=2x ﹣6与反比例函数()0k
y x x
=>的图象交于点A （4，2），与
x 轴交于点B ．
（1）求k 的值及点B 的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点C ，使得ΔABC 为等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若=
∠
=
∠
∠，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，4
3
2
=
1∠
图4中，四边形ABCD为矩形，且4
AB，8
=
BC．
=
（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，
（3）如图4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明.
（B 卷）
1．（4分）如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ//y 轴，分别交函数x
k 1
y =
（x ＞0）和x
k 2y =
（x ＞0）的图象于点P 和Q ，连接OP 、OQ ．
则下列结论：(1)∠POQ 不可能等于90°； (2)
1
2
k PM QM k =； (3)这两个函数的图象一定关于x 轴对称；
(4)△POQ 的面积是）（|k ||k |2
1
21+.
其中正确的有________（填写序号） 2．（4分）在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB ＝90°，D ，E 是线段AB 上两点，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则△ABC 的面积是 ．
3.(6分) 如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)都在反比例函数x
k y =的图象上． (1)求m ，k 的值；
(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求M 、N 两点的坐标．
O
x
y
P
M Q
A
B
C
4．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABDE ，连接AD 、BE ，交点为O ，且OC ＝24． （1）求证：OC 平分∠ACB ； （2）求BC 的长．
E
B
C
A
O
D
答案与提示:（A ）卷 一: BBDAD DCCAB
二:11、6；12、〉；13、4；14、3
322
-；15、10；16、10或45； 三：17、2
(1).31;(2)2526;3
-
--+18、-2；19、提示：连接BD ，证明AO=CO ，DO=BO ；20、2132(1).1,;(2);(3)20,1;y x y y y y x x x =+=<<-<<>21、8
3
；
22、（1）如图
（2）7.5
23、提示：连接MC 、AN ，证明△MAC 与△BAN 全等，可得MC=BN.再通过三角形的中位线定理可证DE 、EF 分别是MC 、BN 的一半，从而可得DE=EF 。

24、（1）k=8,B(3,0)
(2)C 点的坐标为(5,0);(35,0);(35,0);(5.5,0).-+
25、（1）作图如下： ·························· 2分
（2）解：在图2中，52204222==+====HE GH FG EF ，
∴四边形EFGH 的周长为58． ····················· 3分 在图3中，51222=+==GH EF ，53456322==+==HE FG ．
∴四边形EFGH 的周长为5853252=⨯+⨯． ············· 4分 （4）猜想：矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． 如图4，证法一：延长GH 交CB 的延长线于点N ．
∵21∠=∠，51∠=∠， ∴52∠=∠． 而FC FC =， ∴Rt △FCE ≌Rt △FCM ． ∴M F EF =，MC EC =． 同理：EH NH =，EB NB =． ∴162==BC MN ．
∵190590∠-︒=∠-︒=∠M ，390∠-︒=∠N ， ∴N M ∠=∠． ∴GN GM =． 过点G 作GK ⊥BC 于K ，则82
1
==
MN KM ． ∴54842222=+=+=KM GK GM ．
∴四边形EFGH 的周长为582=GM ． ·················· 7分 证法二：∵21∠=∠，51∠=∠， ∴52∠=∠． 而FC FC =， ∴Rt △FCE ≌Rt △FCM ． ∴M F EF =，MC EC =．
∵190590∠-︒=∠-︒=∠M ，490∠-︒=∠HEB ， 而41∠=∠， ∴HEB M ∠=∠． ∴HE ∥GF ． 同理：GH ∥EF ． ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∴HE FG =． 而41∠=∠，
∴Rt △FDG ≌Rt △HBE ． ∴BE DG =．
过点G 作GK ⊥BC 于K ，则8=+=+=+=EC BE CM GD CM KC KM ∴54842222=+=+=KM GK GM ． ∴四边形EFGH 的周长为582=GM ．
（B ）卷
1、（4）；
2、36或6；
3、解 (1)由题意可知
m (m ＋1)＝(m ＋3)(m －1)．
A B
C
D G
H
E
F 1
2 3 4
M
图4
N
K 5
新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网-
新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

版权所有@新世纪教育网 解 得m ＝3．
∴A (3，4)，B (6，2)．
∴k ＝4×3＝12．
(2)存在两种情况，一是当AB 做为边时，如图①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为(x 1，0)，N 1点坐标为(0，y 1)．
∵四边形AN 1M 1B 为平行四边形，
∴点A 对应点N 1，点B 对应点M 1．
∵点A 的横坐标为3，点B 的纵坐标为2．
∴线段N 1M 1可看做由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． ∴N 1点的坐标为(0，4－2)，即N 1(0，2)；
M 1点的坐标为(6－3，0)，即M 1(3，0)．
②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为(x 2，0)，N 2点坐标为(0，y 2)．
∵AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2，
∴N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．
∴线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．
∴M 2点坐标为(－3，0)，N 2点坐标为(0，－2)．
二是当AB 作为对角线时，此种情况不存在。

4、提示：（1）过点O 分别向直线AC 、BC 做垂线段OM 、ON ，证明△MOA 与△NOB 全等，可得OM=ON ，即可证得OC 平分角ACB ；
（2）BC=5.。