高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课

D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1

2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即

1
=
2
1
+1,则

设 Tn= +
2


3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2

1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.

2
+

2 +1
1
,②
−
+…+
2

2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
q=2,求项数n.
(2)已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首
末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.
分析:(1)可通过建立关于首项a1,项数n的方程求解.
(2)根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个
Tn=2+(n-1)2n+1.
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题型四
转化为等比数列问题
4
1
2
【例3】 设数列{an}的前n项和Sn= an- ×2n+1+ ,n∈N+,求数列
2 2 = (6 + ) = 64,
根据题意,有
3 3 = (9 + 3) 2 = 960,
6
=- ,
= 2,
5
解得
或
40 (舍去).
=8
=
3
故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
1
1
1
则 + +…+
=
=
=
1 1
2
,
+1
1
1
1
= + · ,
2
2
2

-1 .
又 a1= ,
1
3
1
∴ -1=2.
1
故数列
1

UITANGLIANXI
题型四
【变式训练 3】 已知在数列{an}中,a1= ,an+1=
(1)证明:数列
IANLITOUXI
1
1
2
2
-1 是以 为首项, 为公比的等比数列.
,n=1,2,3,….
得
(36-)2 = (37-),
=
99
,
= 12,
4
解得
或
81
= 16
= .
4
所以这四个数分别为 12,16,20,25 或
99 81 63 49
4
,
4
,
4
, .
4
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题型四
反思等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列
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题型四
反思1.将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解,这是求解有
关数列通项公式与前n项和公式的基本思想.
2.已知数列{an}的首项a1,且an+1=man+k(m,k为常数).

(1)当m≠1时,可得an+1-c=m(an-c),则有an+1-man=c(1-m),c=
,转
(
)
A.
1
B.-
3
1
3
C.
1{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而
a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.
当 q≠1 时,S3=
1- 3
所以
1-
1 (1- 3 )
1-
=a1q+10a1,
=q+10,整理得 q2=9.
1
因为 a5=a1q =9,即 81a 1=9,所以 a1= .
题型四
反思等差数列与等比数列的综合问题,解答时应注意在题设条件
下,寻求它们之间的内在联系,寻求它们之间的相互转化,寻求它们
之间的相互利用.
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题型四
【变式训练4】 已知数列{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
,
−
-1

2
.
(+1)
又 1+2+3+…+n=
故数列
2
2 +1

2 +1
1
即 Tn=2-
2
-1
由 ①-②,得 Tn= +
1
2
2

1
+ 3+…+ ,①
2
1
则 Tn=
IANLITOUXI


2
,
2+
的前 n 项和 Sn=2-
2
+
(+1)
2
=
2 ++4
2
−
+2
2
4
9
答案:C
5
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1
2
3
UITANGLIANXI
4
5
2已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7
5
的等差中项为 4 ,则S5=(
)
A.35
B.33 C.31 D.29
解析:设公比为 q(q≠0),则由 a2a3=2a1,知 a1q3=2,
∴an=2(2n-2n-1)=2×2n-2n=2n.
当n=1时,a1=S1=2,
综上所述,an=2n(n∈N+).
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(2)nan=n·2n,
则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,②
由①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
1-(2-1) 2(- )
∴Sn=
+
2.
1-
(1-)
反思对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯.
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题型四
【变式训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),
∴a4=2.
5
1
1
又 a4+2a7= ,∴a7= .∴a1=16,q= .
2
∴S5=
1 (1- 5 )
答案:C
1-
=
4
1 5
16 12
1
12
2
=31.
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1
1
2
3
UITANGLIANXI
4
5
3 已知在各项都是正数的等比数列{an}中,a1, a3,2a2 成等差数列,则
3
1
由 ①-②,得 an= (an-an-1)- (2n+1-2n).
3
3
整理得an+2n=4(an-1+2n-1),
所以数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列.
所以an+2n=4×4n-1,所以an=4n-2n.
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由①-②,得
Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
即有(1-a)Sn
=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)
(1--1 )
=1-(2n-1)a +2·
1-

n 2(- )
=1-(2n-1)a +
.
1-
n
∵1-a≠0,
习题课——等比数列习题课
-1-
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1.了解分期付款的含义,理解复利的实质.
2.掌握有关分期付款的还贷问题.
3.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.
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9 + 10
7 + 8
2
的值为(
A.1+ 2
C.3+2 2
答案:C
)
B.1- 2
D.3-2 2
2
= 2
1
∴n 的值为 6,公比 q=2 或 q= .
2
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题型四
错位相减法求和
【例2】 求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和.
分析:数列中含字母参数,应注意分类讨论,利用错位相减法.
解:当a=0时,数列变为1,0,0,…,0,
则Sn=1+0+…+0=1,
当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),
[1+(2-1)] 2
=n .
2
则 Sn=
当a≠1且a≠0时,
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②
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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=-6,a6=0,
1 + 2 = -6,
所以
1 + 5 = 0.
解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
数,然后求解.
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题型四
1 (1- )
解:(1)由题意,得
1-
=93,a 1qn-1=48,
又q=2,可解得n=5.
(2)设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,由题
意,
2 = (36-) + ,
1
1
1
1
2

(2)求 + +…+ .
分析:(1)中根据已知条件列方程组求an,bn.(2)中应先求出Sn再求
和.
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题型四
解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则d>0,an=3+(n1)d,bn=qn-1.
中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,
在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使
用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,
切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
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1-
化为等比数列求解.
(2)当m=1时,an+1-an=k,利用等差数列求解.
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题型二
题型三
(2)求数列


1
2
2
3
+1
-1 是等比数列;

的前 n 项和 Sn.
(1)证明:∵an+1=
∴
∴
1
+1
1
+1
=
+1
-1=
2
2
且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)当n>1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),
a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),
6
3
=
6 - 5
3 -
3
=c
=8,解得 c=2.
2
∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,
∴x1=2,x2=64.
= 2,
= 64,
∴ 1
或 1
显然 q≠1.
= 64
= 2.
1 = 2,
1 -
2-64
当
时,Sn=126=
=
,
1-
1-
= 64
∴q=2.
由 an=a1qn-1,可得 64=2×2n-1,
∴n=6.
1 = 64,