2016年 山东省 高二上数学 期中测试卷1

2016年山东省高二上数学期中测试卷2
一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分．）1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2+c2﹣a2=bc，则角A等于（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理求出cosA，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数．
【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，
根据余弦定理得：cosA===，
又A∈（0，π），所以A=．
故选：B．
2．点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0两侧，则a的范围是（）
A．a＜﹣7或a＞24B．﹣7＜a＜24C．a=﹣7或a=24D．﹣24＜a＜7
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】由已知点（3，1）和点（﹣4，6）分布在直线3x﹣2y+a=0的两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：若（3，1）和点（﹣4，6）分布在直线3x﹣2y+a=0的两侧
则[3×3﹣2×1+a]×[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0
即（a+7）（a﹣24）＜0
解得﹣7＜a＜24．
故选B．
3．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理及已知可求sinB=1，结合B的范围可求B为直角，即可判断此三角形的解的情况．
【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，
∴由正弦定理，得：sinB===1，
∴由B∈（0，180°），可得：B=90°，
∴C=180°﹣A﹣B=60°，
∴此三角形有一解．
故选：A．
4．数列1，2，3，4，…的一个通项公式为（）
A．n+B．n﹣C．n+D．n+
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】由数列1，2，3，4，…可得1+，，，，…，即可得出通项公式．
【解答】解：由数列1，2，3，4，…
=n+．
可得一个通项公式为a
n
故选：A．
5．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形【考点】三角形的形状判断．
【分析】由三角形的三边判断出b为最大边，根据大边对大角可得B为最大角，利用余弦定理表示出cosB，将已知的三边长代入求出cosB的值，由cosB的值小于0及B为三角形的内角，可得B 为钝角，即三角形为钝角三角形．
【解答】解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，
∴B为最大角，
∴由余弦定理得：cosB===﹣＜0，
又B为三角形的内角，
∴B为钝角，
则△ABC的形状是钝角三角形．
故选C
6．在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）
A．（0，2）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣1，2）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．
【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，
∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，
得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．
∴﹣2＜x＜1．
故选B
7．关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】其他不等式的解法．
【分析】现根据条件求得a、b、c的值，可得点P的坐标，从而得出结论．
【解答】解：由于不等式≥0的解集为﹣1≤x＜2或x ≥3，
如图所示：故有 a=﹣1、b=3、c=2；
或者a=3、b=﹣1、c=2．
故有 a+b=2，且c=2，故点P的坐标为（2，2），显然点P在第一象限，
故选：A．
8．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．a2＞ab＞b2B．ac2＜bc2C．D．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的基本性质可知A正确；B若c=0，则ac2=bc2，错；C利用不等式的性质“同号、取倒，反向”可知其错；D作差，因式分解即可说明其错．
【解答】解：A、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，
∴a2＞ab＞b2，故A正确；
B、若c=0，则ac2=bc2，故不正确；
C、∵a＜b＜0，∴＞0，∴，故错；
D、∵a＜b＜0，∴＜0，∴，故错；故答案为A．
9．若S n =1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n ，则S 17+S 33+S 50等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【考点】数列的求和．
【分析】a n =（﹣n ）n+1，可得a 2k ﹣1+a 2k =（2k ﹣1）﹣2k=﹣1．利用分组求和即可得出．
【解答】解：∵a n =（﹣n ）n+1，∴a 2k ﹣1+a 2k =（2k ﹣1）﹣2k=﹣1．（k ∈N *）．
则S 17=﹣1×8+17=9， S 33=﹣1×16+33=17， S 50=﹣1×25=﹣25． ∴S 17+S 33+S 50=9+17﹣25=1． 故选：C ．
10．设a ，b ∈R +，且a ≠b ，a+b=2，则必有（ ） A ．1≤ab ≤B ．
＜ab ＜1
C ．ab ＜
＜1D ．1＜ab ＜
【考点】基本不等式．
【分析】由a ≠b ，a+b=2，则必有a 2+b 2＞2ab ，，化简即可
得出．
【解答】解：∵a ≠b ，a+b=2，则必有a 2+b 2＞2ab ，，∴1
＜ab ＜．
故选：D ．
11．若实数x ，y 满足，则z=x ﹣2y 的最小值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣3
C ．1
D ．9 【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得A （3，5），
化目标函数z=x ﹣2y 为，
由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有
最小值为﹣7． 故选：A ．
12．已知数列{a n }的通项公式为a n =2n （3n ﹣13），则数列{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6
【考点】数列的求和．
【分析】令a n ≤0，解得n ，即可得出． 【解答】解：令a n =2n （3n ﹣13）≤0，解得=4+，
则n ≤4，a n ＜0；n ≥5，a n ＞0．
∴数列{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n=4． 故选：B ．
13．在△ABC 中，A=60°，b=1，S △ABC =，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
【考点】正弦定理．
【分析】由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a ，利用正弦定理可得
=2R=
的值．
【解答】解：△ABC 中，∵A=60°，b=1，S △ABC ==bc •sinA=•，∴c=4．
再由余弦定理可得a 2=c 2+b 2﹣2bc •cosA=13，∴a=．
∴
=2R=
=
=
，R 为△ABC 外接圆的半径，
故选：B ．
14．已知数列{a n }：， +， ++， +++，…，那么数列{b n }={}的前n 项和为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法． 【分析】先求得数列{a n }的通项公式为a n ==，继而数列
的通项公式为
=
=4（
），
经裂项后，前n 项的和即可计算． 【解答】解：数列{a n }的通项公式为a n ==
=
数列
的通项公式为
==4（） 其前n 项的和为4[（
）+（
）+（
）+…+（
）]=
故选A
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若acosB+bcosA=csinC ，S=（b 2+c 2﹣a 2），则∠B=（ ）
A ．90°B．60°C．45°D．30° 【考点】余弦定理的应用．
【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC 的值，进而求得C ，然后利用三角形面积公式求得S 的表达式，进而求得a=b ，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B ．
【解答】解：由正弦定理可知
acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin （A+B ）=2RsinC=2RsinC •sinC
∴sinC=1，C=．
∴S=ab=（b2+c2﹣a2），
解得a=b，因此∠B=45°．
故选C
二、填空题（本大题共5小题，每小题分5，共25分）
16．在△ABC 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 a=，b=2，B=45°，则角A=30°．
【考点】余弦定理．
【分析】根据正弦定理，求出sinA的值，再根据大边对大角以及特殊角的三角函数值，即可求出A的值．
【解答】解：△ABC 中，a=，b=2，B=45°，
由正弦定理得， =，
即=，
解得sinA=，
又a＜b，
∴A＜B，
∴A=30°．
故答案为：30°．
17．公比为2的等比数列前4项和为15，前8项和为255．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意结合等比数列的求和公式可得数列的首项，然后再代入求和公式可求．
【解答】解：∵等比数列的公比为2，
∴前4项和S
4==15a
1
=15，
解得a
1
=1
∴前8项和S
8
==255 故答案为：255
18．已知S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和，若S
7
=7，S
15
=75，则数列
的前20项和为55．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可知，数列{}是等差数列，结合已
知可求d，及s
1
，然后再利用等差数列的求和公式即可求解
【解答】解：由等差数列的性质可知，等差数列的前n项和，则是关于n的一次函数
∴数列{}是等差数列，设该数列的公差为d
∵S
7=7，S
15
=75，
∴， =5
由等差数列的性质可知，8d==4，∴d=， =﹣2
∴数列的前20项和T
=﹣2×20+×=55
20
故答案为：55
19．若对于∀x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是[，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；利用导数求
闭区间上函数的最值．
【分析】∀x＞0，≤a恒成立，即函数f（x）=的最大值小于等于a，利用导数当研究函数的最值，可得答案．
【解答】解：∵对于∀x＞0，≤a恒成立，
故函数f（x）=的最大值小于等于a，
∵f′（x）=，
故当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，且恒为负，当﹣1＜x≤1时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，且恒为正，当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，且恒为正，
即x=1时，函数有最大值
故a的取值范围是：[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
20．给出下列函数：
①y=x+；
10（x＞0，x≠1）；
②y=lgx+log
x
③y=sinx+（0＜x≤）；
④y=；
⑤y=（x+）（x＞2）．
其中最小值为2的函数序号是③⑤．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】运用分类讨论可判断①②不成立；由函数的单调性可知④不成立；运用正弦函数的单调性可得③对；由x﹣2＞0，运用基本不等式可知⑤对．
【解答】解：①y=x+，当x＞0时，y有最小值2；x＜0时，有最大值﹣2；
10（x＞0，x≠1），x＞1时，有最小值2；0＜x＜1②y=lgx+log
x
时，有最大值﹣2；
③y=sinx+（0＜x≤），t=sinx（0＜t≤1），y=t+≥2
=2，x=最小值取得2，成立；
④y==+，t=（t≥），y=t+递增，t=时，取得最小值；
⑤y=（x+）（x＞2）=（x﹣2++2）≥（2+2）=2，x=3时，取得最小值2．
故答案为：③⑤．
三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
21．已知{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=﹣5．
（Ⅰ）求{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．
【分析】（1）用两个基本量a 1，d 表示a 2，a 5，再求出a 1，d ．代入通项公式，即得．
（2）将S n 的表达式写出，是关于n 的二次函数，再由二次函数知识可解决之．
【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，
，
解出a 1=3，d=﹣2，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣2n+5．
（Ⅱ）=4﹣（n ﹣2）2． 所以n=2时，S n 取到最大值4．
22．已知关于x 的不等式ax 2﹣3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}
（1）求实数a 、b 的值；
（2）解关于x 的不等式＞0（c 为常数）
【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．
【分析】（1）由题意可得，1和b 是ax 2﹣3x+2=0的两个实数根，由韦达定理求得a 和b 的值．
（2）关于x的不等式＞0 等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，分当c=2时、当c＞2时、当c＜2时三种情况，分别求得不等式的解集．
【解答】解：（1）由题意可得，1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根，由韦达定理可得 1+b=，且1×b=，
解得 a=1，b=2．
（2）关于x的不等式＞0 等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，当c=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当c＞2时，不等式的解集为{x|x＞c，或 x＜2}；当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c，或 x＞2}．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合已知可得sin2B=sinAsinC．又，结合sinB＞0，可求sinB的值，结合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC 的最大边，从而可求B的值．
（II）由余弦定理结合已知可得ac≤9，由三角形面积公式可得
，即可求得△ABC的面积最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac ． 由正弦定理得sin 2B=sinAsinC ．
又
， 所以．
因为sinB ＞0，
则．…4分
因为B ∈（0，π），
所以B=或．
又b 2=ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边， 故．…7分
（II ）由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得9=a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ，得ac ≤9．
所以，．
当a=c=3时，△ABC 的面积最大值为
…12分．
24．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）利用2S n =3n +3，可求得a 1=3；当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，两式相减2a n =2S n ﹣2S n ﹣1，可求得a n =3n ﹣1，从而可得{a n }的通项公式；
（Ⅱ）依题意，a n b n =log 3a n ，可得b 1=，当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，于是可求得T 1=b 1=；当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ），利用错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3， 当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，
此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1，
所以a n =．
（Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=，
当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，
所以T 1=b 1=；
当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ），
所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ）， 两式相减得：2T n =+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n
=﹣
， 所以T n =﹣
，经检验，n=1时也适合， 综上可得T n =﹣．。